高中数学湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.5 向量的数量积精练

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.5 向量的数量积精练，共5页。

1．cs 20°－cs 50°＝( )
A．cs 35°cs 15° B．sin 35°sin 15°
C．2sin 15°sin 35° D．2sin 15°cs 35°
2．cs 15° sin 105°＝( )
A． eq \f(\r(3),4)＋ eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),4)－ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)＋1 D． eq \f(\r(3),2)－1
3．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B． eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(1,2) D．1
4．把tan x－tan y化为积的形式为( )
A． eq \f(cs （x－y）,cs x cs y) B． eq \f(sin （x＋y）,sin x cs y)
C． eq \f(sin （x－y）,cs x cs y) D． eq \f(cs （x＋y）,cs x sin y)
5．sin220°＋cs250°＋sin20°cs 50°＝( )
A．－1 B．2
C． eq \f(4,3)D． eq \f(3,4)
6．若cs x cs y＋sin x sin y＝ eq \f(1,2)，sin 2x＋sin 2y＝ eq \f(2,3)，则sin (x＋y)＝( )
A． eq \f(2,3) B．－ eq \f(2,3)
C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
7．cs 2α－cs 3α化为积的形式为________．
8．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))化为和差的结果是________．
9．求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.
10．已知cs α－cs β＝ eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－ eq \f(1,3)，求sin (α＋β)的值．
[提能力]
11．(多选)在△ABC中，若 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(cs B,cs A)，则△ABC可以是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．任意三角形 D．钝角三角形
12．cs (x＋3)－cs (x－3)＋sin (x＋3)－sin (x－3)＝( )
A．2cs 3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
B．2 eq \r(2)sin 3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
C．－2 eq \r(2)sin 3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
D．－2 eq \r(2)sin 3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
13. eq \f(sin 35°＋sin 25°,cs 35°＋cs 25°)＝________．
14．已知sin α＋sin β＝ eq \f(1,4)，cs α＋cs β＝ eq \f(1,3)，则tan (α＋β)的值为________．
15．化简下列各式：
(1) eq \f(cs A＋cs （120°＋B）＋cs （120°－B）,sin B＋sin （120°＋A）－sin （120°－A）)；
(2) eq \f(sin A＋2sin 3A＋sin 5A,sin 3A＋2sin 5A＋sin 7A).
[培优生]
16．已知A＋B＋C＝180°，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cs eq \f(A,2)·cs eq \f(B,2)cs eq \f(C,2).
课时作业(二十) 和差化积与积化和差公式
1．解析：cs20°－cs50°＝－2sineq \f(20°＋50°,2)sineq \f(20°－50°,2)
＝－2sin35°sin (－15°)＝2sin15°sin35°.
答案：C
2．解析：cs15°sin105°＝eq \f(1,2)[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]
＝eq \f(1,2)[sin120°－sin (－90°)]＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×1＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).
答案：A
3．解析：原式＝2sin30°cs10°－sin80°＝cs10°－sin80°＝sin80°－sin80°＝0.
答案：A
4．解析：tanx－tany＝eq \f(sinx,csx)－eq \f(siny,csy)
＝eq \f(sinxcsy－sinycsx,csxcsy)
＝eq \f(\f(1,2)[sin（x＋y）＋sin（x－y）]－\f(1,2)[sin（y＋x）＋sin（y－x）],csxcsy)
＝eq \f(sin（x－y）,csxcsy).
答案：C
5．解析：原式＝－eq \f(1,2)[cs (20°＋20°)－cs (20°－20°)]＋eq \f(1,2)[cs (50°＋50°)＋cs (50°－50°)]＋eq \f(1,2)(sin70°－sin30°)
＝eq \f(1,2)(1－cs40°)＋eq \f(1,2)(1＋cs100°)＋eq \f(1,2)(sin70°－sin30°)
＝1－eq \f(1,2)cs40°＋eq \f(1,2)cs100°＋eq \f(1,2)sin70°－eq \f(1,2)sin30°
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)sin70°＋eq \f(1,2)(cs100°－cs40°)
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)sin70°－sineq \f(100°＋40°,2)sineq \f(100°－40°,2)
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)sin70°－sin30°sin70°＝eq \f(3,4).
答案：D
6．解析：因为csxcsy＋sinxsiny＝eq \f(1,2)，
所以cs (x－y)＝eq \f(1,2)，因为sin2x＋sin2y＝eq \f(2,3)，
所以2sin (x＋y)cs (x－y)＝eq \f(2,3)，
所以2sin (x＋y)·eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，所以sin (x＋y)＝eq \f(2,3).
答案：A
7．解析：cs2α－cs3α＝－2sineq \f(2α＋3α,2)sineq \f(2α－3α,2)
＝－2sineq \f(5α,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(α,2)))＝2sineq \f(5α,2)sineq \f(α,2).
答案：2sineq \f(5α,2)sineq \f(α,2)
8．解析：原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))＋sin（α－β）))＝eq \f(1,2)cs (α＋β)＋eq \f(1,2)sin (α－β).
答案：eq \f(1,2)cs (α＋β)＋eq \f(1,2)sin (α－β)
9．解析：sin20°cs70°＋sin10°sin50°
＝eq \f(1,2)(sin90°－sin50°)－eq \f(1,2)(cs60°－cs40°)
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin50°＋eq \f(1,2)cs40°
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin50°＋eq \f(1,2)sin50°＝eq \f(1,4).
10．解析：因为csα－csβ＝eq \f(1,2)，
所以－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2). ①
又因为sinα－sinβ＝－eq \f(1,3)，
所以2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3). ②
因为sineq \f(α－β,2)≠0，
所以由①②，得－taneq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).
所以sin (α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cs\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))
＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq \f(12,13).
11．解析：由题意知sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，因此sin2A－sin2B＝0，由和差化积公式得2cs (A＋B)sin (A－B)＝0，于是cs (A＋B)＝0或sin (A－B)＝0，即A＋B＝eq \f(π,2)或A＝B.
答案：AB
12．解析：原式＝－2sineq \f(x＋3＋x－3,2)sineq \f(x＋3－（x－3）,2)＋2cseq \f(x＋3＋x－3,2)sineq \f(x＋3－（x－3）,2)＝－2sinxsin3＋2csxsin3＝－2sin3(sinx－csx)＝－2eq \r(2)sin3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))).
答案：D
13．解析：原式＝eq \f(2sin\f(35°＋25°,2)cs\f(35°－25°,2),2cs\f(35°＋25°,2)cs\f(35°－25°,2))＝eq \f(cs5°,\r(3)cs5°)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
14．解析：由sinα＋sinβ＝eq \f(1,4)，得2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2)＝eq \f(1,4)，
由csα＋csβ＝eq \f(1,3)，得2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2)＝eq \f(1,3)，
两式相除，得taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,4)，
则tan (α＋β)＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2))＝eq \f(24,7).
答案：eq \f(24,7)
15．解析：(1)原式＝eq \f(csA＋2cs120°csB,sinB＋2cs120°sinA)
＝eq \f(csA－csB,sinB－sinA)＝eq \f(2sin\f(A＋B,2)sin\f(B－A,2),2cs\f(A＋B,2)sin\f(B－A,2))＝taneq \f(A＋B,2).
(2)原式＝eq \f(sinA＋sin5A＋2sin3A,sin3A＋sin7A＋2sin5A)
＝eq \f(2sin3Acs2A＋2sin3A,2sin5Acs2A＋2sin5A)
＝eq \f(2sin3A（cs2A＋1）,2sin5A（cs2A＋1）)＝eq \f(sin3A,sin5A).
16．证明：因为A＋B＋C＝180°，所以
C＝180°－(A＋B)，eq \f(C,2)＝90°－eq \f(A＋B,2)
因此：sinA＋sinB＋sinC＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)＋sin (A＋B)
＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)＋2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)
＝2sineq \f(A＋B,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(A－B,2)＋cs\f(A＋B,2)))
＝2sineq \f(A＋B,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\f(A,2)cs\f(－B,2)))＝2cseq \f(C,2)×2cseq \f(A,2)cseq \f(B,2)
＝4cseq \f(A,2)cseq \f(B,2)cseq \f(C,2).