专题08 三角函数的积化和差与和差化积（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
2、常用三角公式
和角与差角公式：，，
；
二、考点解读
1、积化和差公式
cs αcs β＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
sin αsin β＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
sin αcs β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cs αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
2、和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝eq \f(x＋y,2)，β＝eq \f(x－y,2).这样，上面的四个式子可以写成，
sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；
sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)；
cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；
cs x－cs y＝－2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2).
【说明】和差化积公式的适用条件是什么？
【解析】只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式；
1、积化和差公式；
2、和差化积公式；
3、常用三角变换公式与技巧；
题型1、与积化和差问题相关
例1、（1）求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.
（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
【说明】积化和差公式的功能与关键：
（1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式；
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质；
（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；
题型2、与和差化积问题相关
例2、（1）已知cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值；
（2）已知cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，试求cs(α＋β)的值；
【说明】和差化积公式应用时的注意事项：
1、在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如 eq \f(1,2)－cs α＝cs eq \f(π,3)－cs α；
题型3、积化和差与和差化积问题的简单整合
例3、（1）求sin220°＋cs250°＋sin 20°·cs 50°的值．
（2）sin220°＋cs280°＋eq \r(3)sin 20°cs 80°＝________.
题型4、与解决三角形问题的交汇
例4、（1）在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2)；
（2）在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cs eq \f(A,2)·cs eq \f(B,2)cs eq \f(C,2)；
【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证；
特别注意：
1、解决与三角形有关问题时应注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等；
2、在△ABC中有一些重要的三角关系：sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；
sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)，cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2)；sin(2A＋2B)＝－sin 2C；cs(2A＋2B)＝cs 2C；
题型5、利用积化和差与和差化积公式进行探究
例5、在中，，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由.
【说明】本题三角恒等变换与对数的简单交汇；用到了待定系数法与等价转化思想；
题型6、利用积化和差与和差化积公式求角
例6、（1）若sin α＋sin β＝eq \f(\r(3),3)(cs β－cs α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－eq \f(2π,3)B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
（2）在中，若，则是__________三角形
【说明】本题主要由和差化积公式化简得出，进而得出，从而判断的形状；是和差化积公式与三角形的简单交汇；.
题型7、利用积化和差与和差化积公式证明恒等式
例7、（1）已知3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))，求证：sin 2α＝1.
（2）在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).
【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证；
题型8、有关三角变换的辨析
例8、（1）已知sin 2x＝m，cs2x＝n，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的值．
【错解】taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan x,1－tan x)＝eq \f(cs x＋sin x,cs x－sin x)＝eq \f(cs x＋sin x2,cs2x－sin2x)＝eq \f(1＋sin 2x,cs 2x)＝eq \f(1＋m,n).
【错因分析】三角恒等变换的每一步，必须在函数
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))内进行，才能确保结果准确，但在第三步的变形过程中，分子、分母同乘csx＋sin x≠0，缩小了定义域的范围，导致错误；
（2）已知1＋sin x－25cs2x＝0，x是第二象限的角，求cseq \f(x,2).
【错解】 由1＋sin x－25cs2x＝0，得25sin2x＋sin x－24＝0，解得sin x＝eq \f(24,25)或sin x＝－1.
因为x是第二象限的角，即eq \f(π,2)所以cseq \f(x,2)＝eq \r(\f(1＋csx,2))＝eq \f(3,5)；
【错因分析】x是第二象限的角，其范围应为2kπ＋eq \f(π,2)【说明】本题涉及易错点2 忽略角的范围而致误；
当知道角在第几象限时，必须写出角所在象限的角的集合，找出其半角的范围，再根据情况讨论．
题型9、万能代换公式的应用
例9、设tan eq \f(θ,2)＝t，求证：eq \f(1＋sin θ,1＋sin θ＋cs θ)＝eq \f(1,2)(t＋1)．
【提示】利用万能代换公式，分别用t表示sin θ，cs θ，代入待证等式的左端即可证明．
【说明】在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cs α都可以表示成eq tan \f(α,2)＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值；
1、若cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β等于
2、化为和差的结果是
3、已知，，则__________.
4、若cs xcs y＋sin xsin y＝eq \f(1,2)，sin 2x＋sin 2y＝eq \f(2,3)，则sin(x＋y)＝
5、在△ABC中，若B＝30°，则cs Asin C的取值范围是
6、直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．
7、在△ABC中，若sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
8、已知，均为锐角，且，则（ ）
A．B．
C．D．
9、已知“cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值；
10、已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．