2025版高考数学全程一轮复习练习第十章第五节事件的相互独立性与条件概率全概率公式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第十章第五节事件的相互独立性与条件概率全概率公式，共12页。试卷主要包含了了解两个随机事件独立性的含义．，8，0等内容，欢迎下载使用。

1.了解两个随机事件独立性的含义．
2．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
3．了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率．
4．会利用全概率公式计算概率．
问题思考·夯实技能
【问题1】 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
【问题2】 P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)>0)之间存在怎样的等量关系？
关键能力·题型剖析
题型一 相互独立事件的概率
角度一 事件独立性的判断
例 1 [2024·河南郑州模拟]现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则( )
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
题后师说
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．
(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与与B，与也相互独立．
角度二 相互独立事件的概率
例 2 [2024·江苏扬州模拟]某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立．
(1)求比赛进行四局结束的概率；
(2)求甲获得比赛胜利的概率．
题后师说
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
巩固训练1
(1)(多选)[2024·广东深圳模拟]连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝ “第一次出现2点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有( )
A．A与B不互斥且相互独立
B．A与D互斥且不相互独立
C．B与D互斥且不相互独立
D．A与C不互斥且相互独立
(2)为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，且三个项目是否成功相互独立．
①求恰有两个项目成功的概率；
②求至少有一个项目成功的概率．
题型二 条件概率
例 3 (1)[2024·河北保定模拟]把一枚硬币任意掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝ “第二次出现正面”，则P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
(2)[2024·安徽黄山模拟]先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，则概率P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
题后师说
求条件概率的常用方法
巩固训练2
(1)[2024·河南郑州模拟]袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字4，5，6.每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次．设事件A为“三次记下的号码之和是15”，事件B为“三次记下的号码不全相等”，则P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
(2)[2024·广东珠海模拟]某地的中学生中有60%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或爱好乒乓球．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为________．
题型三 全概率公式的应用
例 4 (1)[2024·辽宁锦州模拟]甲单位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1名志愿者，则取到男性志愿者的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)[2024·广东深圳模拟]钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%，30%和20%，而掉在上述三处被找到的概率分别是0.8，0.3和0.1，则找到钥匙的概率为________．
题后师说
利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．
(3)代入全概率公式计算．
巩固训练3
(1)[2024·河北衡水模拟]设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.78 B．0.8 C．0.82 D．0.84
(2)[2024·江苏南京模拟]某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________．

1．[2021·新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
2．[2023·全国甲卷]有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A.0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
3．[2022·全国乙卷]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
4．[2024·河北邯郸模拟]已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为________．
第五节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立．
【问题2】 提示：P(AB)＝P(B)P(A|B)，(其中P(B)>0)．
关键能力·题型剖析
例1 解析：由题意得，事件甲的概率P1＝，事件乙的概率P2＝，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是52＝25，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为12＋22＋22＝9，
则事件丙的概率P3＝，所以事件丁的概率P4＝，
对于A，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P5＝≠P2·P3，所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为6，其概率P6＝≠P2·P4，所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P7＝≠P1·P3，所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P8＝＝P1·P2，所以甲与乙相互独立，D正确．故选D.
答案：D
例2 解析：(1)比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜，
第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率P1＝＝，
第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率P2＝＝，
故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝＝.
(2)设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，丙获胜为事件C，
比赛进行三局，甲获胜的概率为＝，
比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，
甲获胜的概率为×6＝，
比赛进行七局，有以下8种情况：AABCCBA，AABBCCA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCCBAAA，
甲获胜的概率为×8＝，
故甲获得比赛胜利的概率为＝.
巩固训练1 解析：(1)对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即A与B相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与B不互斥，故A正确；对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与D不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确；对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与D不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即A与C相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确．故选ABD.
(2)①设投资农产品加工成功为事件A，投资绿色蔬菜种植成功为事件B，投资水果种植成功为事件C，则恰有两个项目成功的概率为：
P(ABCBC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＝，
所以恰有两个项目成功的概率为.
②设至少有一个项目成功为事件D，则
P(D)＝1－P()＝1－＝＝，
所以至少有一个项目成功的概率为.
例3 解析：(1)由题意知，第一次出现正面的概率是，
第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是＝，
∴P(B|A)＝＝ .故选C.
(2)用(x，y)表示第1次掷骰子得到的点数为x，第2次掷骰子得到的点数为y，掷两次骰子，基本事件的个数为：6×6＝36，
因为事件A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“x，y满足x＋y<6”，记事件C＝“x＋y为奇数，且x＋y<6”，所以事件A包含的基本事件个数为：3×3×2＝18，事件C包含的基本事件个数为：3×2＝6，
根据古典概率公式知，
P(A)＝＝，P(C)＝P(AB)＝＝，
由条件概率公式知，P(B|A)＝＝＝.故选B.
答案：(1)C (2)B
巩固训练2 解析：(1)事件A所包含的基本事件有(4，5，6)，(4，6，5)，(5，4，6)，(5，6，4)，(6，5，4)，(6，4，5)，(5，5，5)共7个，事件AB所包含的基本事件有(4，5，6)，(4，6，5)，(5，4，6)，(5，6，4)，(6，5，4)，(6，4，5)共6个，所以P(B|A)＝＝.故选A.
(2)同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4，
记“该同学爱好乒乓球”为事件A，记“该同学爱好羽毛球”为事件B，
则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝＝＝0.8.
答案：(1)A (2)0.8
例4 解析：(1)设事件取到男性为B，事件所抽到的单位为甲单位为A1，
事件所抽到的单位为乙单位为A2，
则P(B)＝P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)，
故P(B)＝＝.故选A.
(2)记事件A1为“钥匙掉在宿舍里”，A2为“钥匙掉在教室里”，A3为“钥匙掉在宿舍里”，
事件B为“找到钥匙”，由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51.
答案：(1)A (2)0.51
巩固训练3 解析：(1)设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.
由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.故选C.
(2)分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.
由已知可得，P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，
由全概率公式可得，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.
答案：(1)C (2)0.56
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1．解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P (丙)P(丁)，
故选B.
答案：B
2．解析：报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故选A.
答案：A
3．解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3＝p1(p2＋p3－2p2p3)．设第二盘与乙比赛，则p乙＝p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3＝p2(p1＋p3－2p1p3)．设第二盘与丙比赛，则p丙＝p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3＝p3(p1＋p2－2p1p2)．p甲－p乙＝p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．故选D.
答案：D
4．解析：记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，
依题意，P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，
所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.
答案：