2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第三节二项式定理

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第三节二项式定理，共13页。试卷主要包含了25，故选B，故选C，故选D等内容，欢迎下载使用。
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 (a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
【问题2】 二项式系数与项的系数有何区别？
关键能力·题型剖析
题型一 二项展开式的通项及其应用
角度一 二项展开式中的特定项
例 1 (1)[2024·江西赣州模拟]二项式(x2－)6的展开式中的第4项为( )
A．－ B．
C． D．－160
(2)[2024·河北唐山模拟](x－)n的展开式共有七项，且常数项为20，则a＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
题后师说
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
角度二 几个多项式的积的展开式问题
例 2 (1)[2024·河南郑州模拟](x－1)4(x－2)的展开式中，x3项的系数为( )
A．2 B．14 C．48 D．－2
(2)[2024·河北秦皇岛模拟]已知(ax－2)(x＋1)4的展开式中x3的系数为－2，则实数a＝________.
题后师说
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
角度三 三项式的展开问题
例 3 [2024·河北沧州模拟](x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．－10 B．10 C．－30 D．30
题后师说
三项展开式中的特定项问题的解题方法
巩固训练1
(1)[2024·江西萍乡模拟]在二项式(a－2x)6的展开式中，若x3的系数为160，则a＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
(2)[2024·安徽宣城模拟](－2)3的展开式中常数项为( )
A．－6 B．－20
C．0 D．20
(3)[2024·江苏镇江模拟]已知实数x不为零，则(x－3)(－1)5的展开式中常数项为________.
题型二 二项式系数与各项系数和问题
例 4 (1)[2024·福建泉州模拟]关于二项式(x2－)6的展开式，下列结论正确的是( )
A．展开式所有项的系数和为－1
B．展开式二项式系数和为64
C．展开式中不含x2项
D．常数项为240
(2)[2024·山东潍坊模拟]已知(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝______．(用数字作答)
题后师说
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
巩固训练2
(1)[2024·广东珠海模拟]已知＝，设(2x－3)n＝，则a0＋a1＋a2＋…＋an＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
(2)已知(ax＋)n的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为________．
题型三 二项式系数与项的系数的最值问题
例 5 (1)[2024·河南信阳模拟]若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )
A．－960 B．960 C．448 D．－448
(2)[2024·湖北襄阳模拟]已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第( )
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项
题后师说
(1)二项式系数最大项的确定方法
①若n是偶数，则中间一项(第＋1项)的二项式系数最大．
②若n是奇数，则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大．
(2)二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，应用解出r.
巩固训练3
[2024·江西吉安模拟]已知()n的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为( )
A．－448 B．－1 024
C．－1 792 D．－5 376

1．[2024·江苏盐城模拟](2x3－)6展开式中x10项的系数为( )
A．－240 B．－20
C．20 D．240
2．若二项式(ax＋)6(a>0)的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )
A．10 B．15
C．25 D．30
3．[2022·北京卷]若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( )
A．40 B．41
C．－40 D．－41
4．[2022·新高考Ⅰ卷](1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
状元笔记 二项式定理的综合应用——整除问题和近似计算问题
题型一 整除问题
在证明整除问题或求余数问题时，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
例 1 (1)[2024·山西太原模拟]9910被1 000除的余数是( )
A．－1 B．－99 C．1 D．901
(2)[2024·江苏盐城模拟测]若(2x＋1)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2(a1＋a3＋…＋a99)－3被8整除的余数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
[解析] (1)9910＝(100－1)10＝(1－100)10＝×1002－…＋10010，
所以展开式中从第二项开始都是1 000的倍数，因此9910被1 000除的余数是1.故选C.
(2)在已知等式中，取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100，
取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝3100－1，
即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3＝3100－4，
因为3100－4＝950－4＝(8＋1)50－4
＝
＝
＝
·8－8＋5被8整除的余数为5，
即2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)－3被8整除的余数为5，故选B.
[答案] (1)C (2)B
题型二 求近似值问题
利用二项式定理求近似值时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似值的精确度．
例 2 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋…＋·xk＋…
当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：(1＋x)α≈1＋α·x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：
＝＝＝2≈2×(1＋)＝2.25.
用这样的方法，估计的近似值约为( )
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
[解析] ＝＝＝3×＝≈3×[1＋×(－)]≈2.926.故选B.
[答案] B
第三节 二项式定理
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．
【问题2】 提示：二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是，而该项的系数是an－kbk.当然在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)因为Tk＋1＝(x2)6－k(－)k，所以T4＝(x2)3(－)3＝－.故选A.
(2)因为(x－)n的展开式共有七项，故n＝6，且展开式通项公式为Tk＋1＝x6－k(－ax－1)k＝x6－2k(－a)k，令6－2k＝0，解得k＝3，故T4＝(－a)3＝20，解得a＝－1.故选B.
答案：(1)A (2)B
例2 解析：(1)(x－1)4展开式的通项为x4－k，在(x－1)4(x－2)中，x3项由(x－1)4的x2项与x的积和(x－1)4的x3项和－2的积组成，故可得x3的系数为×(－2)＝14.故选B.
(2)二项式(x＋1)4展开式的通项为x4－k，
所以(ax－2)(x＋1)4的展开式通项为·ax＝或·(－2)＝，
所以令，解得，
所以展开式中x3的系数为＝6a－8＝－2，
解得a＝1.
答案：(1)B (2)1
例3 解析：(x2－x＋y)5可以看作5个盒子，每个盒子中有x2，－x，y三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含x5y2的项为y2＝－30x5y2，故展开式中x5y2的系数为－30.故选C.
答案：C
巩固训练1 解析：(1)因为二项式(a－2x)6的展开式的通项为Tk＋1＝a6－k(－2x)k＝(－2)ka6－kxk，
所以x3的系数为a6－3(－2)3＝－160a3＝160⇒a＝－1，
故选A.
(2)由(－2)3的展开式可知：常数项为·(－2)3＝－20.故选B.
(3)(－1)5二项展开式的通项公式为Tk＋1＝·()5－k·(－1)k＝·(－1)k·25－k·xk－5，
令k－5＝－1即k＝(－1)k·25－k＝(－1)4×2＝10，
令k－5＝0即k＝·(－1)k·25－k＝·(－1)5＝－1，
所以(x－3)(－1)5的展开式中常数项为1×10＋(－3)×(－1)＝13.
答案：（A）（B）（3）13
例4 解析：(1)对于A，二项式(x2－)6的展开式中所有项的系数和为(1－2)6＝1，A错；对于B，展开式二项式系数和为26＝64，B对；对于C，展开式通项为Tk＋1＝·(x2)6－k·(－)k＝·x12－3k·(－2)k(k＝0，1，2，…，6)，令12－3k＝2，解得k＝∉N，故展开式中不含x2项，C对；对于D，令12－3k＝0，可得k＝4，故展开式中常数项为·(－2)4＝15×16＝240，D对．故选BCD.
(2)因为(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.
令x＝0，得a0＝－1；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64①；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝0②；
①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝25＝32，
所以a2＋a4＋a6＝25－a0＝33.
答案：(1)BCD (2)33
巩固训练2 解析：(1)因为＝，所以由组合数的性质得n＝7，
所以(2x－3)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，
令x＝2，得(2×2－3)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
即a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1.故选C.
(2)由于(ax＋)n的展开式的二项式系数和为64，即＝2n＝64，解得n＝6.
又由于(ax＋)6的展开式系数和为729，令x＝1得，即(a＋1)6＝729，解得a＝2或－4，
(ax＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝(ax)6－k()k＝x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，
所以展开式的常数项为，
故当a＝2时＝240，当a＝－4时＝3 840.
答案：(1)C (2)240或3840
例5 解析：(1)依题意只有n＝8时第5项的二项式系数最大，
x3项的系数为(－2)3＝－448.故选D.
(2)(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为＝1＋n＋＝79，
整理可得n2＋n－156＝0，∵n≥2且n∈N*，解得n＝12，
(1＋3x)12的展开式通项为Tk＋1＝·(3x)k＝·3kxk(k＝0，1，2，…，12)，
设展开式中第r＋1项的系数最大，则
即
解得≤r≤，因为r∈N，故r＝9，因此，展开式中系数最大的项为第10项．故选D.
答案：(1)D (2)D
巩固训练3 解析：∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝)8－k(－)k＝，k＝0，1，…，8，
则该展开式中各项系数ak＝，k＝0，1，…，8，
若求系数的最小值，则k为奇数且，即，解得k＝5，
∴系数的最小值为a5＝＝－1 792.故选C.
答案：C
随堂检测
1．解析：(2x3－)6展开式通项为Tk＋1＝(2x3)6－k(－)k＝x18－4k，
由18－4k＝10，可得k＝2，则＝240，
则(2x3－)6展开式中x10项的系数为240.故选D.
答案：D
2．解析：令x＝1，则所有的项的系数和为(a＋1)6＝64，由于a>0，所以a＝1，(x＋)6展开式的通项为Tk＋1＝x6－kx－2k＝x6－3k，故当6－3k＝0时，即k＝2，此时展开式中的常数项为＝15，故选B.
答案：B
3．解析：方法一 当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0 ①；
当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0 ②.
(①＋②)÷2，得a4＋a2＋a0＝＝41.故选B.
方法二 由二项式定理可得(2x－1)4＝(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故选B.
答案：B
4．解析：(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中含x2y6的项为x3y5＝28x2y6，所以其系数为－28.
答案：－28