2025版高考数学全程一轮复习练习第十章高考大题研究课十二概率统计与其他知识的交汇问题

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在掌握概率与统计的基本知识和基本技能的前提下，重点掌握概率统计与数列、函数的交汇问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 概率统计与数列的综合
例 1 (12分)[2023·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(＝ 记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
思路导引
(1)由全概率公式求出．
(2)设P(Ai)＝Pi→Pi＋1＝＋0.2→构造数列→根据构造的数列求通项→Pi.
(3)由(2)Pi→E(Y)．
[满分答卷·评分细则]
解析：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以，
P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.→正确写出P(B2)并计算出结果得3分．
(2)设P(Ai)＝Pi，依题意知P(Bi)＝1－Pi，则
P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)
即Pi＋1＝0.6Pi＋(1－0.8)×(1－Pi)＝0.4Pi＋0.2，→正确推导出Pi＋1与Pi的递推关系式得3分．
构造等比数列{Pi＋λ}，
设Pi＋1＋λ＝(Pi＋λ)，解得λ＝－，则Pi＋1－＝(Pi－)，又P1＝，P1－＝，所以{Pi－}是首项为，公比为的等比数列．→正确构造等比数列得3分．
即Pi－＝×()i－1，
所以Pi＝×()i－1＋.→正确求出Pi得1分．
(3)由(2)得
当n∈N*时，E(Y)＝P1＋P2＋…＋Pn
＝＝[1－()n]＋，
所以E(Y)＝[1－()n]＋.→由等比数列求和正确求出E(Y)得2分．
题后师说
此类问题常常以概率统计为命题背景，考查等差数列、等比数列的判定即前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．
巩固训练1
[2024·安徽合肥模拟]为庆祝中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题(即每位同学至少答对1题)．若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立．求：
(1)若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
(2)若第一次由甲组答题，记第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn.
题型二 概率统计与导数的综合
例 2 [2024·河北石家庄模拟]肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病．因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒、体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4 000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4 000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次．假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
(1)若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
(2)若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．
题后师说
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、导数或不等式去实现．
巩固训练2
[2024·河南焦作模拟]小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2个科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p(0(1)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)以(1)中确定的p0作为p的值．
(ⅰ)求小李这项资格考试过关的概率；
(ⅱ)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X)．
高考大题研究课十二 概率统计与其他知识的交汇问题
关键能力·题型剖析
巩固训练1 解析：(1)设第1次由甲组答题记作事件A，第1次由乙组答题记作事件，
第2次由乙组答题记作事件B，因为答对的题数之和为3的倍数分别为1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，所以答对的题数之和为3的倍数的概率为＝，
所以答对的题数之和不是3的倍数的概率为1－＝，
则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝＝.
(2)第(n＋1)次由甲组答题，是第n次由甲组答题第(n＋1)次继续由甲组答题的事件与第n次由乙组答题第(n＋1)次由甲组答题的事件和，它们互斥，
又各次答题相互独立，所以第n次由甲组答题，第(n＋1)次继续由甲组答题的概率为Pn，
第n次由乙组答题，第(n＋1)次由甲组答题的概率为(1－Pn)，
因此Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋(n∈N*)，则Pn＋1－＝－(Pn－)，
因为第一次由甲组答题，则P1＝1，所以是首项为，公比为－的等比数列，
所以Pn－＝·(－)n－1，即Pn＝·(－)n－1＋.
例2 解析：(1)设每人血样化验次数为X，
由题意若混合血样呈阴性，则X＝，若混合血样呈阳性，则X＝＋1，∵m＝0.4，∴每个学生呈阴性概率为1－0.4%＝0.996，
∴P(X＝)＝0.996k，P(X＝＋1)＝1－0.996k，
∴E(X)＝×0.996k＋(1＋)×(1－0.996k)
＝1＋－0.996k＝1＋－(1－0.004)k≈＋0.004k，
令f(x)＝＋0.004x，
则f(x)在(0，5)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，
∵k∈Z，且f(15)＝＋0.004×15≈0.126 7，f(16)＝0.126 5，
∴k＝16取得最小值，E(X)最小值为0.126 5.
∴按16人一组，每个人血样化验次数的数学期望最小，
此时化验总次数为4 000×0.126 5＝506(次)．
(2)设每组k人，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，m＝0.8时，每个学生呈阴性概率为1－0.08%＝0.992，
∴P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，
∴E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)
＝6k－5k×0.992k＋4，
每个人血样的化验费用为：
＝6－5×0.992k＋＝6－5×(1－0.008)k＋
≈6－5×(1－0.008k)＋＝1＋0.04k＋≥1＋2＝1.8，
当且仅当0.04k＝，即k＝10时取等号，
∴10个人一组，每个人血样化验费用的数学期望最小，
化验总费用为4 000×1.8＝7 200(元)．
巩固训练2 解析：(1)由题意知f(p)＝p2(1－p)＝3p2(1－p)，0则f′(p)＝－9p2＋6p＝3p(2－3p)，
当00，
当所以函数f(p)在(0，)单调递增，(，1)单调递减，
所以当p＝时，f(p)取最大值，即p0＝.
(2)(ⅰ)小李第一次考试3个科目都合格的概率为P1＝()3＝，
小李第一次考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率为P2＝3×()2×＝，
小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率为P3＝3××()2×()2＝，
所以小李这项资格考试过关的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
(ⅱ)X的所有可能取值为60，80，100，
则P(X＝60)＝()3＋()3＝，
P(X＝80)＝3×()2×＝，
P(X＝100)＝3××()2＝，
故E(X)＝60×＋80×＋100×＝.