2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第七节二项分布超几何分布与正态分布

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第七节二项分布超几何分布与正态分布，共14页。试卷主要包含了3，P＝0，9，10，5)＝0，5，)，，81)＝P＝＝0等内容，欢迎下载使用。

1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其含义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “二项分布”与“超几何分布”有什么区别？
【问题2】 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
关键能力·题型剖析
题型一 二项分布
例 1 [2024·河北唐山模拟]2023年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数(尾数中的奇偶数随机出现)的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响．
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望．
题后师说
二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k的三个条件：
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
巩固训练1
[2024·河北保定模拟]某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
题型二 超几何分布
例 2 [2024·安徽安庆模拟]乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望．
题后师说
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
巩固训练2
[2024·河北石家庄模拟]北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X的分布列和数学期望．
题型三 正态分布
例 3 [2024·河南平顶山模拟]2022届高校毕业生规模首次超过千万，是近几年增长人数最多的一年，就业压力暴增，毕业生的就业动向成为各界人士关注的焦点话题．某地从2022年毕业的大学生中随机抽取1 500名，对他们的就业去向及就业月薪(单位：千元)进行统计，得到如下表格．
1 500名毕业生就业去向统计表
900名毕业生就业第一个月的月薪统计表
(1)若从该地2022年毕业的大学生中随机抽取5人，估计这5人中恰好有2人到事业单位就业的概率；
(2)若在企业就业的毕业生第一个月的月薪近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似等于这900名毕业生第一个月的月薪的均值(每组数据用该组区间的中点值为代表)，σ2近似等于这900名毕业生第一个月的月薪的方差，若该地区2022年有30 000名大学生毕业，由此估计该地在企业就业的毕业生中，就业第一个月的月薪大于7 810元的人数．(参考数据：≈1.155，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
题后师说
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．
巩固训练3
(1)[2024·重庆沙坪坝模拟]某班学生的一次的数学考试成绩ξ(满分：100分)服从正态分布：ξ～N(85，σ2)，且P(83<ξ<87)＝0.3，P(78<ξ<83)＝0.12，P(ξ<78)＝( )
A．0.14 B．0.18
C．0.23 D．0.26
(2)[2024·河南开封模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)(a>0)，若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)＝______．

1．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E(X)＝
2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
3．(多选)若随机变量X～B(9，)，下列说法中正确的是( )
A．P(X＝3)＝×()3×()6
B．期望E(X)＝3
C．期望E(4X－1)＝11
D．方差D(－2X＋5)＝8
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
状元笔记 二项分布与超几何分布的辨识
(1)超几何分布的特点
①超几何分布描述的是不放回抽样问题．②特征：考查对象分两类；已知各类对象的个数M，N；已知抽取次数n；随机变量为抽到的某类个体的个数，③实质是古典概型．
(2)二项分布的特点
①二项分布描述的是有放回抽样问题．②特征：做独立重复试验；每次试验的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次数n；随机变量为试验发生的次数．③实质是n次独立重复试验．
例 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X2；
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M>n>0)．
[解析] 这两种分布的主要区别是：二项分布是有放回抽样，而超几何分布是不放回抽样．
(1)X1的分布列为：
X1服从二项分布，即X1～B(n，)．
(2)X2的分布列为：
X2服从二项分布，即X2～B(n，)．
(3)X3的分布列为：
X3服从超几何分布．
第七节 二项分布、超几何分布与正态分布
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
【问题2】 提示：μ决定了正态曲线的左右位置，σ决定了正态曲线的“高矮胖瘦”．它们反映了正态曲线的集中位置，离散程度．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)顾客获得两个奖品的概率为：
×()＝.
(2)1个顾客没有获奖的概率为×()＋＝，
所以X～B(3，)，则X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝×()0×()3＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝×()2×()1＝，
P(X＝3)＝×()3×()0＝，
所以X的分布列为：
所以E(X)＝3×＝.
巩固训练1 解析：(1)由题意可得投到该杂志的1篇稿件初审直接被录用的概率P1＝()2＝；
投到该杂志的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2＝×()2＝.
故投到该杂志的1篇稿件被录用的概率P＝P1＋P2＝＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)，
P(X＝0)＝×()3＝，
P(X＝1)＝×()2＝＝，
P(X＝2)＝×()2×＝＝，
P(X＝3)＝×()3＝，
则X的分布列为
故E(X)＝3×＝.
例2 解析：(1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家．
记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
(2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列如下表：
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
巩固训练2 解析：(1)设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以P(A)＝＝，
所以可估计这名学生考核优秀的概率为.
(2)由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80)的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90)的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
即所求数学期望为.
例3 解析：(1)随机抽取1人，该人到事业单位就业的概率估计为＝.
记“5人中恰好有2人去事业单位就业”为事件A，
则P(A)＝)2()3＝.
(2)这900名毕业生第一个月的月薪均值为×(3.5×1＋4.5×2＋5.5×3＋6.5×2＋7.5×1)＝5.5，
方差为×[(3.5－5.5)2＋2×(4.5－5.5)2＋3×(5.5－5.5)2＋2×(6.5－5.5)2＋(7.5－5.5)2]＝，
则σ＝ ＝≈1.155.
设在企业就业的毕业生第一个月的月薪为X(单位：千元)，则X～N(5.5，)，
P(X>7.81)＝P(X>μ＋2σ)＝＝0.022 75，
该地2022年毕业生中到企业就业的毕业生人数有30 000×＝9 000，
故到企业就业的毕业生第一个月的月薪大于7 810元的人数为9 000×0.022 75≈205人．
巩固训练3 解析：(1)因为ξ～N(85，σ2)，P(83<ξ<87)＝0.3，所以P(ξ<83)＝＝0.35，又P(78<ξ<83)＝0.12，
所以P(ξ<78)＝P(ξ<83)－P(78<ξ<83)＝0.23.故选C.
(2)因为f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，
即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
即根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，
即P(ξ>3)＝0.5，而P(3<ξ≤4)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.2，故P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝0.2.
答案：(1)C (2)0.2
随堂检测
1．解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
故A，D错误．故选C.
答案：C
2．解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故错误．故选D.
答案：D
3．解析：随机变量X～B(9，)，
则P(X＝3)＝×()3×()6，故A错误；
E(X)＝9×＝3，故B正确；
E(4X－1)＝4E(X)－1＝4×3－1＝11，故C正确；
因为D(X)＝9××(1－)＝2，所以D(－2X＋5)＝(－2)2D(X)＝4×2＝8，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
4．解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2答案：0.14
民宿点
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
普通型民宿
16
8
12
14
13
18
9
20
品质型民宿
6
16
4
10
11
10
9
12
成绩
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
5
15
25
10
就业去向
考研深造
企业
事业单位
其他情况
人数/百人
6
4.5
3
1.5
月薪/千元
[3，4)
[4，5)
[5，6)
[6，7)
[7，8]
人数/百人
1
2
3
2
1
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
1
2
3
4
P