2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第二节排列与组合

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第二节排列与组合，共13页。试卷主要包含了理解排列、组合的概念．，618 339…等内容，欢迎下载使用。

1.理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能利用排列、组合解决简单的实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 排列问题与组合问题的区别是什么？
【问题2】 你能说出解决排列、组合问题的多少种技巧？
关键能力·题型剖析
题型一 排列问题
例 1 (1)[2024·河北秦皇岛模拟]某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有( )
A．16种 B．20种
C．96种 D．120种
(2)[2024·九省联考]甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种
C．12种 D．8种
题后师说
对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
巩固训练1
(1)[2024·黑龙江佳木斯模拟]若把英语单词“wrd”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有( )
A．24种 B．23种
C．12种 D．11种
(2)[2024·山西运城模拟]某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为( )
A．96 B．120
C．240 D．360
题型二 组合问题
例 2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
题后师说
组合问题的两类题型
巩固训练2
(1)(多选)[2024·广东江门模拟]某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是( )
(2)[2024·安徽合肥模拟]第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______．(结果用数值表示)
题型三 排列与组合的综合问题
角度一 相邻、不相邻问题
例 3 (1)[2024·广东汕头模拟]现将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式有( )
A．192种 B．240种
C．120种 D．28种
(2)[2024·河北张家口模拟]小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个(用数字作答)．
题后师说
相邻与不相邻问题的解决方法
(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
巩固训练3
(1)[2024·河南郑州模拟]黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为( )
A．180 B．210
C．240 D．360
(2)[2024·山东菏泽模拟]新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有______种．(用数字表示)
角度二 定序问题
例 4 某6位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来6位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A．8 B．28
C．56 D．112
题后师说
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．
巩固训练4 [2024·山东潍坊模拟]现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有( )
A．128种 B．36种
C．72种 D．84种
1．[2023·全国乙卷]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
2．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
3．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
4．[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
状元笔记 分组、分配问题
题型一 不等分问题
对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
例 1 [2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
[解析] 首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有
＝60种．故选C.
[答案] C
题型二 整体均分问题
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．
例 2 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝90种分配方法．
[答案] 90
题型三 部分均分问题
对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
例 3 [2024·河南郑州模拟]某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种．
[解析] 先把5名学生分成人数为2，1，1，1的四组，共有＝(10)种分法，再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有＝24(种)分法，
所以分配方案有＝10×24＝240(种)．
[答案] 240
第二节 排列与组合
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
【问题2】 提示：(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有＝120(种)，其中没有语文教师入选的有＝24(种)，
所以满足条件的不同安排方法有120－24＝96(种)．故选C.
(2)先排甲，再排乙和丙，则有：
共有16种．故选C.
答案：(1)C (2)C
巩固训练1 解析：(1)“wrd”一共有4个不同的字母，
这4个字母全排列有＝24(种)方法，
其中正确的有1种，所以错误的有24－1＝23(种)．故选B.
(2)第一步，先从两首合唱歌曲中选一首安排在最后的方法有2种，第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种，则不同的安排方法种数为：＝120.故选B.
答案：(1)B (2)B
例2 解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165(种)．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．
故共有＝825(种)，或采用排除法：＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故共有＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：
＝790(种)．
巩固训练2 解析：(1)若任意选择三门课程，则选法总数为所以A选项错误；若物理和化学至少选一门，则选法总数为所以B选项错误；若物理和历史不能同时选，则选法总数为所以C选项正确；只选物理、不选化学和历史，选法为只选化学、不选物理，选法物理化学同时选、不选历史所以选法总数是＝15，所以D选项错误．故选ABD.
(2)由题意，要求高一年级和高二年级的同学都有，
则有
＝70－5＝65.
答案：(1)ABD (2)65
例3 解析：(1)当A，B相邻时，不同的排列方式有＝240(种)，当A，B，C相邻，且B在A，C中间时，不同的排列方式有＝48(种)，则要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式有240－48＝192(种)．故选A.
(2)先排列1，1，5，8这四个数，当1和1不相邻时，有种排法，再插入两个种排法；当1和1相邻时
＝84(种)排法．
答案：(1)A (2)84
巩固训练3 解析：(1)先把6，1，8，9排列，然后选两个空档插入3，总方法为＝240.故选C.
(2)将两个乐器节目排成一排，共有种排法，将其视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有种排法，再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有种排法，由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有＝144(种)排法．
答案：(1)C (2)144
例4 解析：8位同学排成一排准备照相时，共有如果保持原来6位同学的相对顺序不变，＝56(种)排法．故选C.
答案：C
巩固训练4 解析：五人站成一排共有＝120(种)，甲乙相邻共有＝48(种)，所以甲与乙不相邻共有＝120－48＝72(种)，其中甲在乙的左边、右边机会相同，各有×72＝36(种)，故选B.
答案：B
随堂检测
1．解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C.
答案：C
2．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.
答案：B
3．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种安排方法．故满足题意的分配方案共有＝240(种)．
答案：C
4．解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
答案：64