高考数学一轮复习 专题11.8 《计数原理、概率、随机变量及其分布列》单元测试卷

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1、揣摩例题。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·全国·高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用二项分布的方差公式即可得到答案.
【详解】
因为，所以.
故选：D.
2．（2021·全国·高一课时练习）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先求出摸一次摸出白球的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为
故选：C
3．（2021·全国·高二课时练习）因新冠肺炎疫情防控工作需要，M、N两社区招募义务宣传员，现有A，B，C，D，E，F6位大学生和甲、乙、丙3位党员教师自愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M、N两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且B由于工作原因只能派往M社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A．120B．90C．60D．30
【答案】C
【分析】
分别将党员教师及6位大学生进行分组，再分别派往两个社区即可得结果.
【详解】
由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B．按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区．
第一步：根据题意将剩余的5位大学生分成两组，其中一组2人，另一组3人，有（种）情况，
第二步：根据题意将3位党员教师分成两组，其中一组1人，另一组2人，有（种）情况，
再分别派往两个社区，不同的选派方案种数为．
故选：C.
4．（2021·全国·高二课时练习）随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出，，再根据两点分布的方差公式计算可得；
【详解】
解：由题意，得，∴，．
由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故．
故选：D
5．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））的展开式中项的系数为（ ）
A．140B．C．D．1120
【答案】B
【分析】
利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数.
【详解】
，
的展开式的通项公式为，
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以，
所以的展开式中项的系数.
故选：B.
6．（2021·全国·高二课时练习）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据游戏规则写出3人游戏的所有可能情况，并确定小明得1分、0分的概率，进而可知4次游戏后小明的可能得分情况，再应用独立事件的概率求法求各情况的概率并写出分布列，最后根据所得分布列，求期望即可.
【详解】
进行“手心手背”游戏，3人出现的所有可能情况有（心，心，心），（心，心，背），（心，背，心），（背，心，心），（心，背，背），（背，心，背），（背，背，心），（背，背，背），
∴小明得1分的概率为，得0分的概率为.
进行4次游戏，小明得分之和共有5种情况，即0分，1分，2分，3分，4分.
由独立重复试验的概率计算公式可得：
，，
，，
，
则X的分布列为
∴.
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题知使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），进而根据独立事件的概率求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意题，要使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），
甲、乙对应的投中情况可能为（散射，未投中），（双耳，未投中），（依杆，未投中），（依杆，有初），（依杆，贯耳），（依杆，散射），
所以甲获胜的概率为： .
故选：C
8．（2021·浙江·高三月考）已知随机变量的分布列如下表：
其中，则的方差取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由分布列的性质与方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解
【详解】
由题意可知：，
，
，
设，
因为，在单调递减，
所以，
所以方差取值范围是
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·全国·高二课时练习）已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，展开式里x的有理项有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
由题意可得，从而求出，再由二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】
由题意，得，
即，解得或（舍去），∴.
通项（）.
根据题意，得，解得或.
∴展开式里所有x的有理项为，.
故选：AB
10．（2021·湖南郴州·高三月考）给出下列命题，其中正确命题是（ ）
A．若样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，则样本数据，，…，的平均数为3
B．随机变量的方差为，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，则
【答案】BCD
【分析】
利用离散型随机变量的期望的性质判定选项A错误；利用离散型随机变量的方差的性质判定选项B正确；利用正态分布的对称性判定选项C正确；利用二项分布判定选项D正确.
【详解】
对于选项A：
由，得：
，
所以选项A错误；
对于选项B：
由，得：
，
所以选项B正确；
对于选项C：
因为随机变量服从正态分布，
所以，
又因为，
则，
由正态分布的对称性可得：
，
故选项C正确；
对于选项D：
将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则
正面向上的次数服从二项分布，
所以，
故选项D正确.
故选：BCD.
11．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）为了响应国家发展足球的战略，哈六中在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得10分，没踢进一球得分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立.记为小明的得分总和，记为小明踢进球的个数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】
由题可知，，进而可求，，，，即得.
【详解】
由题可知，则，
∴，故A正确；
∴
，故B正确；
∴，故C正确；
∴，故D错误.
故选：ABC
12．（2021·全国·高二课时练习）设，随机变量的分布列是（ ）
则当在上增大时（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】BD
【分析】
根据期望和方差公式表示出、，再根据函数的性质判断即可；
【详解】
解：由题意，，
所以，
所以在上随增大而增大；
在上随增大而增大，在上随增大而减小，即先增大后减小．
故选：BD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）2019年7月1，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为______.
【答案】
【分析】
由已知随意投放有4中，错误投放有3种，即可求解.
【详解】
“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、
“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶内，有4种投放方法，
被处罚的投放有“可回收物”、“有害垃圾、“干垃圾”3种投法，
该居民会被处罚的概率为.
故答案为:.
14．（2021·全国·高二课时练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称为“杨辉三角”.若用表示三角形数阵的第i行第j个数，则等于___________（用数字作答）.
【答案】19600
【分析】
根据二项式的展开式可得从第二行起，第i行第j个数应为，计算即可.
【详解】
依据二项展开式可知，从第二行起，第i行第j个数应为，
∴.
故答案为：19600
15．（2021·浙江丽水·高三期中）一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________．
【答案】
【分析】
分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以，.
故答案为：.
16．（2021·全国·高二课时练习）在的展开式中，第项的二项式系数是___________，第项的系数是___________.
【答案】 ##
【分析】
写出展开式通项，可求得第项的二项式系数和系数.
【详解】
因为二项展开式的通项是，
当时，，所以第项的系数为，二项式系数为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．
（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
（2）设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，数学期望
【分析】
（1）利用对立事件的概率公式即得；
（2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件概率的加法公式即求离散型随机变量的分布列，再利用数学期望公式即得.
（1）
设该分公司A，B，C三辆押运车在星期四出车的事件分别为A､B､C，
该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D．
则．
（2）
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
．
所以X的分布列为
．
故星期四至少有一辆车外出执行任务的概率为；X的数学期望为辆．
18．（2021·福建宁德·高三期中）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
【答案】
（1）
（2）（分），(分)，甲同学的方案更优.
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据相互独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解判断即可.
（1）
因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；
（2）
甲同学的两题得分的可能取值为
所以，，
，
所以的分布列为：
因此（分），
乙同学第11题可能得分为：，，
，
乙同学第12题可能得分为：，，
，
乙同学的两题得分的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
因此(分)，
因为，所以甲同学的方案更优.
19．（2021·湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析
（3）最有可能是1人，理由见解析
【分析】
（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出X的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为、、，分别求出相应的概率，比较、、的大小关系，由此可得出结论.
（1）
5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
（2）
X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
20．（2021·广东龙岗·高三期中）2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展､更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务.为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展.为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在区发球2次或者区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在区和区每次发球得分的概率为和.
（1）如果选手甲以在区和区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？
（2）求选手甲在区得分高于在区得分的概率.
【答案】
（1）选手甲应该选择在区发球
（2）
【分析】
（1）可得选手甲在区发2次球的得分次数和在区发3次球的得分次数服从二项分布，即可求出得分的期望，比较得到答案；
（2）根据互斥事件的概率公式可计算.
（1）
设选手甲在区发2次球的得分次数为，则，故，
则甲在区发球得分的期望为.
设选手甲在区发3次球的得分次数为，则，故，
则甲在区发球得分的期望为.
由于.故选手甲应该选择在区发球.
（2）
设选手甲在区得分高于在区得分为事件，甲在区得2分､在区得0分为事件，甲在区得4分､在区得0分为事件，甲在区得4分､在区得3分为事件，则，显然，､､为互斥事件，
则，
，
.
故选手甲在区得分高于在区得分的概率为.
21．（2021·辽宁丹东·高三期中）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数.
（1）求值及的数学期望的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附：.若，则.
【答案】（1），；（2）检验员的判断是合理的，理由见解析.
【分析】
（1）分析可知，利用对立事件的概率公式可求得的值，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）根据一天抽取的个零件中，出现尺寸在之外的概率以及的值可得出结论.
【详解】
（1）抽取一个零件尺寸在之内的概率为，
从而零件尺寸在之外的概率为，故.
因此，；
（2）如果生产状态正常，一天抽取的个零件中，出现尺寸在之外的概率为，发生的概率很小，期望值为，也很小.
因此这种情况一旦发生，就有理由认为这条生产线在这一天生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见检验员的判断是合理的.
22．（2021·重庆市育才中学高三月考）今年九月，九龙坡区创建全国文明城区活动正式启动，中央文明办对九龙坡辖区内的市民进行了创建文明城区相关知识（文明城区宣传、建党100周年、社会主义核心价值观、红色基因教育等）网络问卷调查，每一位市民只有一次答题机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，绘制成如下的频率分布直方图
（1）求的值；
（2）由频率分布表直方图可以认为，此次问卷调查的得分近似服从正态分布，近似为1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求；
（3）在（2）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下的奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和对应的概率为：
记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.
附：.若，则① ②③
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解；
（3）根据题意得到随机变量的所有可能取值为20，40，60，80，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解.
【详解】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得：
，解得.
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以得分近似服从正态分布，
根据正态分布曲线的对称性，可得
.
（3）由题意，随机变量的所有可能取值为20，40，60，80(元)，
可得，

所以随机变量的分布列为
所以数学期望为：.
X
0
1
2
3
4
P
0
1
0
1
2
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
保养车辆尾号
和
和
和
和
和
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
赠送的随机话费(单位：元)
20
40
概率
20
40
60
80