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2023-2024学年湖南省益阳市大通湖管理区两校联考七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省益阳市大通湖管理区两校联考七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x3)2=x9
C. (x+1)2=x2+1D. 2x2÷x=2x
3.小王记录了2月份连续16天的最高气温，并整理成如下表格：
那么这16天每天的最高气温的中位数是( )
A. 12.5B. 13C. 13.5D. 14
4.《孙子算经》中记载鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔，若设鸡x只，兔y只，可列方程组( )
A. x+y=942x+4y=35B. x+y=352x+4y=94C. x+y=354x+2y=94D. x+y=944x+2y=35
5.下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. m2−2m−3=m(m−2)−3B. x2−8x+16=(x−4)2
C. (x+5)(x−2)=x2+3x−10D. 6ab=2a⋅3b
6.若关于x，y的方程组x+2y=m2x+y=2m的解满足x+y=2，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，能判断AB//EF的条件是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠ADE=∠DEF
C. ∠ADE=∠B
D. ∠ADE=∠EFC
8.如图，已知直线b平移后得到直线a，∠1=65∘，∠2=140∘，则∠3的度数为( )
A. 45∘
B. 35∘
C. 30∘
D. 25∘
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为( )
A. 6
B. 4.5
C. 4
D. 5
10.如图，在边长为(x+a)的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是( )
A. x2−a2=(x−a)(x+a)B. x2+2ax=x(x+2a)
C. (x+a)2−a2=x(x+2a)D. (x+a)2−x2=a(a+2x)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.将方程6x+y=8写成用含x的代数式表示y，则y=______
12.分解因式：a2−1=__________.
13.若xm=3，xn=2，则x2m+3n=______⋅
14.若x2+2(m+3)+36是一个完全平方式，则m的值为______.
15.甲、乙两同学近期4次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S甲2=3.2，乙同学成绩的方差S乙2=4.1，则他们的数学测试成绩谁较稳定______.
16.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32∘，则∠2=______度．
17.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40∘，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=85∘，则∠A=______.
18.这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第21行的数是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
按要求解方程：
(1)2x−y=57x−3y=20(代入法)；
(2)4x+y=53x−2y=1(加减法).
20.(本小题6分)
先化简，再求值：13(9x2−3y)−2(x2+y−1)，其中x=−2，y=−13.
21.(本小题8分)
如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1
(1)按要求画出三角形A1B1C1；
(2)写出点A1、B1、C1的坐标；
(3)试计算三角形ABC的面积．
22.(本小题8分)
为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)抽取的样本中，男生的身高众数在______组，中位数在______组；
(2)抽取的样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
(3)已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在C组的学生人数.
23.(本小题9分)
填充证明过程和理由
如图，AD//EF，∠1+∠2=180∘，DG平分∠ADC，求证∠1=∠B.
证明：∵AD//EF，
∴∠2+∠3=180∘(______).
又∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠3(______).
∵DG平分∠ADC，
∴______(______).
∴∠3=∠4.
∴______(______).
∴∠1=∠B.
24.(本小题9分)
古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”.
小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？
25.(本小题10分)
阅读与思考
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2−2x−8.
(2)分解因式：x3−8x2+12x.
(3)若x2+px−6可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值.
26.(本小题10分)
【探索发现】
(1)已知：如图1，AB//CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM.证明：∠AMC=∠BAM+∠MCD.
【深入思考】
(2)如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG=∠AGE，求证：AC//EF；
【拓展延伸】
如图3，在(2)的条件下，AB//CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN=25∘，∠ANF=∠AEG，∠MGE=2∠CAN+3∠MEG.求∠MFC的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B.
一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转180∘，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故此选项不合题意；
B、(x3)2=x6，故此选项不合题意；
C、(x+1)2=x2+2x+1，故此选项不合题意；
D、2x2÷x=2x，故此选项符合题意．
故选：D.
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、单项式的除法法则计算即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、单项式的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：将该地16天的最高气温按照从小到大的顺序排列为：6，8，9，12，12，12，13，13，14，16，16，17，18，19，19，20，
可得出中位数为：13+142=13.5.
故选：C.
先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得：
x+y=352x+4y=94.
故选：B.
根据题意结合“有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚”可以列出相应的方程组，本题得解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
5.【答案】B
【解析】解：A、m2−2m−3=m(m−2)−3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
B、x2−8x+16=(x−4)2，是因式分解，符合题意；
C、(x+5)(x−2)=x2+3x−10，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
D、6ab=2a⋅3b，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
故选：B.
直接利用完全平方公式分解因式结合因式分解的定义得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：方程组中的两个方程相加得，
3x+3y=3m，
即x+y=m，而x+y=2，
所以m=2.
故选：B.
根据方程组的解法，将方程组中的两个方程相加得x+y=m即可．
本题考查二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB//EF，故A、D不符合题意；
B、∠ADE=∠DEF，能判定AB//FE，故B符合题意；
C、∠ADE=∠B，能判定DE//BC，故 C不符合题意．
故选：B.
由平行线的判定方法，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
8.【答案】D
【解析】解：过点B作BC//a，
则∠ABC+∠1=180∘，
因为∠1=65∘，
所以∠ABC=115∘，
因为∠2=140∘，
所以∠CBD=140∘−115∘=25∘，
由平移的性质可知，a//b，
所以BC//b，
所以∠3=∠CBD=25∘，
故选：D.
过点B作BC//a，根据平行线的性质求出∠ABC，根据平移的性质得到a//b，进而得到BC//b，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平移的性质、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADH=∠ADC，
∴AH=AC=12，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=9，AC=12，
∴AB= 122+92=15，
∴BH=AB−AH=3，
在Rt△BDH中，∠BHD=90∘，
BD=BC−DC=BC−DH=9−DH，
∴DH2=BD2−BH2，
∴DH2=(9−DH)2−32，
∴DH=4，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为4.
故选：C.
作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DC=2，然后根据垂线段最短求解．
本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为(x+a)2−a2，
由右图可表示阴影部分的面积为x(x+2a)，
∴(x+a)2−a2=x(x+2a)，
故选：C.
分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．
此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．
11.【答案】8−6x
【解析】解：将方程6x+y=8写成用含x的代数式表示y，则y=8−6x，
故答案为：8−6x.
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
12.【答案】(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).
【解答】
解：a2−1=(a+1)(a−1).
故答案为：(a+1)(a−1).
13.【答案】72
【解析】解：∵xm=3，xn=2，
∴x2m+3n=(xm)2×(xn)3
=32×23
=72.
故答案为：72.
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键．
14.【答案】3或−9
【解析】解：∵x2+2(m+3)+36是一个完全平方式，
∴x2+2(m+3)+36=(x±6)2=x2±12x+36，
即2(m+3)=±12，
解得m=3或−9，
故答案为：3或−9.
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】甲
【解析】解：因为S甲2=3.2故填甲．
根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16.【答案】58
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90∘，∠1=32∘，
∴∠2=∠3=90∘−32∘=58∘.
根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可．
本题重点考查了平行线及直角板的性质，是一道较为简单的题目．
17.【答案】55∘
【解析】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40∘，得到△A′B′C，
∴∠A=∠A′，∠ACA′=40∘，
∵∠A′=180∘−∠ACA′−∠A′DC=180∘−40∘−85∘=55∘，
∴∠A=55∘，
故答案为：55∘.
由旋转的性质可得∠A=∠A′，∠ACA′=40∘，由三角形内角和定理可求∠A′=60∘，即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
18.【答案】1830
【解析】解：∵虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，
∴利用图象即可得出：第四行是21+7+8+9=45，
第n行的数是3(n−1)(3n−2)2，
当n=21，3×(21−1)×(3×21−2)2=1830，
故答案为1830.
根据图形可得三角形各边上点的数字变化规律，进而得出第4行、第n行的数字．
此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键．
19.【答案】解：(1){2x−y=5①7x−3y=20②，
由①得y=2x−5③，
把③代入②解得x=5，
把x=5代入①解得y=5，
所以，方程组的解为x=5y=5；
(2){4x+y=5①3x−2y=1②
①×2得8x+2y=10③，
③+②解得x=1，
把x=1代入①解得y=1，
所以，方程组的解为x=1y=1.
【解析】(1)首先将2x−y=5转化成y=2x−5，然后代入7x−3y=20求解即可；
(2)首先①×2得8x+2y=10，然后与3x−2y=1相加求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
20.【答案】解：13(9x2−3y)−2(x2+y−1)
=3x2−y−2x2−2y+2
=x2−3y+2，
当x=−2，y=−13时，原式=(−2)2−3×(−13)+2=7.
【解析】根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图：
(2)A1(0,2)，B1(−2,−4)C1(4,0)
(3)梯形ABDE的面积是：12(BD+AE)⋅DE=12(6+4)×6=30；
△AEC的面积=12AE⋅EC=12×4×2=4；
△BDC的面积是：12BD⋅CD=12×6×4=12.
则△ABC的面积=梯形ABDE的面积−△AEC的面积−△BDC的面积=30−4−12=14.
【解析】(1)把A，B，C三点分别向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可得到三个对应点，然后顺次连接三个对应点即可；
(2)根据(1)所作图形，写出点的坐标即可；
(3)根据△ABC的面积=梯形ABDE的面积−△AEC的面积−△BDC的面积即可求解．
本题考查了图形的平移的作图，可以平移各个顶点，然后顺次连接各个对应点即可．三角形的面积直接计算不易，可以转化为几个容易求面积的图形的和或差求解．
22.【答案】B C
【解析】解：(1)∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
(2)女生身高在E组的百分比为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%=2(人)；
(3)840×1040+820×25%
=210+205
=415(人)，
∴估计身高在C组的学生约有415人．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
(3)确定男、女学生身高在160≤x<170之间的百分比即可求解．
本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，同旁内角互补；等量代换；∠1=∠4；角平分线定义；AB//DG；内错角相等，两直线平行．
【解析】证明：∵AD//EF，
∴∠2+∠3=180∘(两直线平行，同旁内角互补).
又∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠3(同角的补角相等).
∵DG平分∠ADC，
∴∠1=∠4(角平分线的定义).
∴∠3=∠4.
∴AB//DG(内错角相等，两直线平行).
∴∠1=∠B.
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；等量代换；∠1=∠4；角平分线定义；AB//DG；内错角相等，两直线平行．
由平行线的性质和角平分线的定义可得∠3=∠4，由此可判定AB//DG，再由平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键．
24.【答案】420
【解析】解：(1)根据题意得：45a+15=60(a−2)，
解得：a=9，
∴45a+15=45×9+15=420，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人；
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据题意得：
x−y=1504x+2y=5100，
解得：x=900y=750，
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
(3)设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意得：
60m+45n=420，
∴m=7−34n.
又∵m，n均为自然数，
∴m=7n=0或m=4n=4或m=1n=8，
∴共有3种租车方案．
(1)根据“如果我们七年级租正确用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入45a+15中，即可求出结论；
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到等量关系式正确列方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵x2−2x−8=x2+(4−2)x+4×(−2)
∴x2−2x−8=(x+4)(x−2)；
(2)原式=x(x2−8x+12)，
∵x2−8x+12=x2+(−2−6)x+(−2)×(−6)，
∴x2−8x+12=(x−2)(x−6)，
∴x3−8x2+12x=x(x−2)(x−6)；
(3)∵−6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3，
∴p=−1+6=5或p=1−6=−5或p=2−3=−1或p=−2+3=1，
因此整数p的值可能为5或−5或1或−1.
【解析】(1)模仿例题即可求解；
(2)先提公因式法x，然后模仿例题即可求解；
(3)将常数−6进行分解即可．
本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合应用，掌握因式分解的方法是关键．
26.【答案】证明：(1)如图：过点M作MQ//AB，
∵AB//CD，
∴AB//MQ//CD，
∴∠AMQ=∠BAM，∠CMQ=∠MCD，
∴∠AMC=∠AMQ+∠CMQ=∠BAM+∠MCD，即∠AMC=∠A+∠C；
(2)证明：在三角形MGE中，∠EGM+∠MEG+∠GME=180∘，
∵∠EGM+∠AGE=180∘，
∴∠GME+∠MEG=∠AGE，
∵∠MAC+∠MEG=∠AGE，
∴∠AME=∠MAC，
∴AC//EF；
(3)解：∵AN平分∠MAC，∠CAN=25∘，
∴∠MAC=2∠CAN=50∘，
设∠MEG=x，
∴∠MGE=2∠CAN+3∠MEG=50∘+3x，
∴∠AGE=180∘−∠MGE=180∘−(50∘+3x)=130∘−3x，
∵在(2)的条件下，∠AGE=∠MAC+∠MEG=50∘+x，
∴50∘+x=130∘−3x，
解得：x=20∘，
∴∠MEG=20∘，
设∠MFN=y，
∵FN平分∠MFC，
∴∠MFC=2∠MFN=2y，
∵AB//CD，
∴∠AEF=∠MFC=2y，
∴∠AEG=∠AEF−∠MEG=2y−20∘，
∴∠ANF=∠AEG=2y−20∘，
∵AC//EF，
同理可得：∠ANF=∠CAN+∠MFN=25∘+y，
即2y−20∘=25∘+y，
解得：y=45∘，
∴∠MFC=2y=90∘.
【解析】(1)过点M作MQ//AB，则AB//MQ//CD，利用平行线的性质可得证；
(2)利用三角形内角和及邻补角定义可得证；
(3)设∠MEG=x，可得∠MGE=2∠CAN+3∠MEG=50∘+3x，∠AGE=180∘−∠MGE=180∘−(50∘+3x)=130∘−3x，∠MFN=y，可得∠ANF=∠AEG=2y−20∘，∠ANF=∠CAN+∠MFN=25∘+y，进而可求∠MFC.
本题主要考查了平行线的判定及性质，邻补角定义，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．最高气温(℃)
6
8
9
12
13
14
16
17
18
19
20
天数
1
1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
组别
A
B
C
D
E
身高(cm)
x<155
155≤x<160
160≤x<165
165≤x<170
x≥170
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，
即由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，
例如：将x2+3x+2分解因式.
解：因为x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2).
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x3)2=x9
C. (x+1)2=x2+1D. 2x2÷x=2x
3.小王记录了2月份连续16天的最高气温，并整理成如下表格：
那么这16天每天的最高气温的中位数是( )
A. 12.5B. 13C. 13.5D. 14
4.《孙子算经》中记载鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔，若设鸡x只，兔y只，可列方程组( )
A. x+y=942x+4y=35B. x+y=352x+4y=94C. x+y=354x+2y=94D. x+y=944x+2y=35
5.下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. m2−2m−3=m(m−2)−3B. x2−8x+16=(x−4)2
C. (x+5)(x−2)=x2+3x−10D. 6ab=2a⋅3b
6.若关于x，y的方程组x+2y=m2x+y=2m的解满足x+y=2，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，能判断AB//EF的条件是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠ADE=∠DEF
C. ∠ADE=∠B
D. ∠ADE=∠EFC
8.如图，已知直线b平移后得到直线a，∠1=65∘，∠2=140∘，则∠3的度数为( )
A. 45∘
B. 35∘
C. 30∘
D. 25∘
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为( )
A. 6
B. 4.5
C. 4
D. 5
10.如图，在边长为(x+a)的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是( )
A. x2−a2=(x−a)(x+a)B. x2+2ax=x(x+2a)
C. (x+a)2−a2=x(x+2a)D. (x+a)2−x2=a(a+2x)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.将方程6x+y=8写成用含x的代数式表示y，则y=______
12.分解因式：a2−1=__________.
13.若xm=3，xn=2，则x2m+3n=______⋅
14.若x2+2(m+3)+36是一个完全平方式，则m的值为______.
15.甲、乙两同学近期4次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S甲2=3.2，乙同学成绩的方差S乙2=4.1，则他们的数学测试成绩谁较稳定______.
16.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32∘，则∠2=______度．
17.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转40∘，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=85∘，则∠A=______.
18.这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第21行的数是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
按要求解方程：
(1)2x−y=57x−3y=20(代入法)；
(2)4x+y=53x−2y=1(加减法).
20.(本小题6分)
先化简，再求值：13(9x2−3y)−2(x2+y−1)，其中x=−2，y=−13.
21.(本小题8分)
如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1
(1)按要求画出三角形A1B1C1；
(2)写出点A1、B1、C1的坐标；
(3)试计算三角形ABC的面积．
22.(本小题8分)
为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)抽取的样本中，男生的身高众数在______组，中位数在______组；
(2)抽取的样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
(3)已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在C组的学生人数.
23.(本小题9分)
填充证明过程和理由
如图，AD//EF，∠1+∠2=180∘，DG平分∠ADC，求证∠1=∠B.
证明：∵AD//EF，
∴∠2+∠3=180∘(______).
又∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠3(______).
∵DG平分∠ADC，
∴______(______).
∴∠3=∠4.
∴______(______).
∴∠1=∠B.
24.(本小题9分)
古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”.
小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元.”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？
25.(本小题10分)
阅读与思考
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2−2x−8.
(2)分解因式：x3−8x2+12x.
(3)若x2+px−6可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值.
26.(本小题10分)
【探索发现】
(1)已知：如图1，AB//CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM.证明：∠AMC=∠BAM+∠MCD.
【深入思考】
(2)如图2，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG，若∠MAC+∠MEG=∠AGE，求证：AC//EF；
【拓展延伸】
如图3，在(2)的条件下，AB//CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交点N，若∠CAN=25∘，∠ANF=∠AEG，∠MGE=2∠CAN+3∠MEG.求∠MFC的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B.
一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转180∘，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故此选项不合题意；
B、(x3)2=x6，故此选项不合题意；
C、(x+1)2=x2+2x+1，故此选项不合题意；
D、2x2÷x=2x，故此选项符合题意．
故选：D.
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、单项式的除法法则计算即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、单项式的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：将该地16天的最高气温按照从小到大的顺序排列为：6，8，9，12，12，12，13，13，14，16，16，17，18，19，19，20，
可得出中位数为：13+142=13.5.
故选：C.
先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得：
x+y=352x+4y=94.
故选：B.
根据题意结合“有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚”可以列出相应的方程组，本题得解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
5.【答案】B
【解析】解：A、m2−2m−3=m(m−2)−3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
B、x2−8x+16=(x−4)2，是因式分解，符合题意；
C、(x+5)(x−2)=x2+3x−10，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
D、6ab=2a⋅3b，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
故选：B.
直接利用完全平方公式分解因式结合因式分解的定义得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：方程组中的两个方程相加得，
3x+3y=3m，
即x+y=m，而x+y=2，
所以m=2.
故选：B.
根据方程组的解法，将方程组中的两个方程相加得x+y=m即可．
本题考查二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB//EF，故A、D不符合题意；
B、∠ADE=∠DEF，能判定AB//FE，故B符合题意；
C、∠ADE=∠B，能判定DE//BC，故 C不符合题意．
故选：B.
由平行线的判定方法，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
8.【答案】D
【解析】解：过点B作BC//a，
则∠ABC+∠1=180∘，
因为∠1=65∘，
所以∠ABC=115∘，
因为∠2=140∘，
所以∠CBD=140∘−115∘=25∘，
由平移的性质可知，a//b，
所以BC//b，
所以∠3=∠CBD=25∘，
故选：D.
过点B作BC//a，根据平行线的性质求出∠ABC，根据平移的性质得到a//b，进而得到BC//b，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平移的性质、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADH=∠ADC，
∴AH=AC=12，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=9，AC=12，
∴AB= 122+92=15，
∴BH=AB−AH=3，
在Rt△BDH中，∠BHD=90∘，
BD=BC−DC=BC−DH=9−DH，
∴DH2=BD2−BH2，
∴DH2=(9−DH)2−32，
∴DH=4，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为4.
故选：C.
作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DC=2，然后根据垂线段最短求解．
本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为(x+a)2−a2，
由右图可表示阴影部分的面积为x(x+2a)，
∴(x+a)2−a2=x(x+2a)，
故选：C.
分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．
此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．
11.【答案】8−6x
【解析】解：将方程6x+y=8写成用含x的代数式表示y，则y=8−6x，
故答案为：8−6x.
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
12.【答案】(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).
【解答】
解：a2−1=(a+1)(a−1).
故答案为：(a+1)(a−1).
13.【答案】72
【解析】解：∵xm=3，xn=2，
∴x2m+3n=(xm)2×(xn)3
=32×23
=72.
故答案为：72.
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键．
14.【答案】3或−9
【解析】解：∵x2+2(m+3)+36是一个完全平方式，
∴x2+2(m+3)+36=(x±6)2=x2±12x+36，
即2(m+3)=±12，
解得m=3或−9，
故答案为：3或−9.
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】甲
【解析】解：因为S甲2=3.2
根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16.【答案】58
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90∘，∠1=32∘，
∴∠2=∠3=90∘−32∘=58∘.
根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可．
本题重点考查了平行线及直角板的性质，是一道较为简单的题目．
17.【答案】55∘
【解析】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40∘，得到△A′B′C，
∴∠A=∠A′，∠ACA′=40∘，
∵∠A′=180∘−∠ACA′−∠A′DC=180∘−40∘−85∘=55∘，
∴∠A=55∘，
故答案为：55∘.
由旋转的性质可得∠A=∠A′，∠ACA′=40∘，由三角形内角和定理可求∠A′=60∘，即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
18.【答案】1830
【解析】解：∵虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，
∴利用图象即可得出：第四行是21+7+8+9=45，
第n行的数是3(n−1)(3n−2)2，
当n=21，3×(21−1)×(3×21−2)2=1830，
故答案为1830.
根据图形可得三角形各边上点的数字变化规律，进而得出第4行、第n行的数字．
此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键．
19.【答案】解：(1){2x−y=5①7x−3y=20②，
由①得y=2x−5③，
把③代入②解得x=5，
把x=5代入①解得y=5，
所以，方程组的解为x=5y=5；
(2){4x+y=5①3x−2y=1②
①×2得8x+2y=10③，
③+②解得x=1，
把x=1代入①解得y=1，
所以，方程组的解为x=1y=1.
【解析】(1)首先将2x−y=5转化成y=2x−5，然后代入7x−3y=20求解即可；
(2)首先①×2得8x+2y=10，然后与3x−2y=1相加求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
20.【答案】解：13(9x2−3y)−2(x2+y−1)
=3x2−y−2x2−2y+2
=x2−3y+2，
当x=−2，y=−13时，原式=(−2)2−3×(−13)+2=7.
【解析】根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图：
(2)A1(0,2)，B1(−2,−4)C1(4,0)
(3)梯形ABDE的面积是：12(BD+AE)⋅DE=12(6+4)×6=30；
△AEC的面积=12AE⋅EC=12×4×2=4；
△BDC的面积是：12BD⋅CD=12×6×4=12.
则△ABC的面积=梯形ABDE的面积−△AEC的面积−△BDC的面积=30−4−12=14.
【解析】(1)把A，B，C三点分别向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可得到三个对应点，然后顺次连接三个对应点即可；
(2)根据(1)所作图形，写出点的坐标即可；
(3)根据△ABC的面积=梯形ABDE的面积−△AEC的面积−△BDC的面积即可求解．
本题考查了图形的平移的作图，可以平移各个顶点，然后顺次连接各个对应点即可．三角形的面积直接计算不易，可以转化为几个容易求面积的图形的和或差求解．
22.【答案】B C
【解析】解：(1)∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
(2)女生身高在E组的百分比为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%=2(人)；
(3)840×1040+820×25%
=210+205
=415(人)，
∴估计身高在C组的学生约有415人．
(1)根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
(2)先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
(3)确定男、女学生身高在160≤x<170之间的百分比即可求解．
本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，同旁内角互补；等量代换；∠1=∠4；角平分线定义；AB//DG；内错角相等，两直线平行．
【解析】证明：∵AD//EF，
∴∠2+∠3=180∘(两直线平行，同旁内角互补).
又∠1+∠2=180∘，
∴∠1=∠3(同角的补角相等).
∵DG平分∠ADC，
∴∠1=∠4(角平分线的定义).
∴∠3=∠4.
∴AB//DG(内错角相等，两直线平行).
∴∠1=∠B.
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；等量代换；∠1=∠4；角平分线定义；AB//DG；内错角相等，两直线平行．
由平行线的性质和角平分线的定义可得∠3=∠4，由此可判定AB//DG，再由平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键．
24.【答案】420
【解析】解：(1)根据题意得：45a+15=60(a−2)，
解得：a=9，
∴45a+15=45×9+15=420，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人；
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据题意得：
x−y=1504x+2y=5100，
解得：x=900y=750，
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
(3)设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意得：
60m+45n=420，
∴m=7−34n.
又∵m，n均为自然数，
∴m=7n=0或m=4n=4或m=1n=8，
∴共有3种租车方案．
(1)根据“如果我们七年级租正确用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入45a+15中，即可求出结论；
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到等量关系式正确列方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵x2−2x−8=x2+(4−2)x+4×(−2)
∴x2−2x−8=(x+4)(x−2)；
(2)原式=x(x2−8x+12)，
∵x2−8x+12=x2+(−2−6)x+(−2)×(−6)，
∴x2−8x+12=(x−2)(x−6)，
∴x3−8x2+12x=x(x−2)(x−6)；
(3)∵−6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3，
∴p=−1+6=5或p=1−6=−5或p=2−3=−1或p=−2+3=1，
因此整数p的值可能为5或−5或1或−1.
【解析】(1)模仿例题即可求解；
(2)先提公因式法x，然后模仿例题即可求解；
(3)将常数−6进行分解即可．
本题考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法与公式法的综合应用，掌握因式分解的方法是关键．
26.【答案】证明：(1)如图：过点M作MQ//AB，
∵AB//CD，
∴AB//MQ//CD，
∴∠AMQ=∠BAM，∠CMQ=∠MCD，
∴∠AMC=∠AMQ+∠CMQ=∠BAM+∠MCD，即∠AMC=∠A+∠C；
(2)证明：在三角形MGE中，∠EGM+∠MEG+∠GME=180∘，
∵∠EGM+∠AGE=180∘，
∴∠GME+∠MEG=∠AGE，
∵∠MAC+∠MEG=∠AGE，
∴∠AME=∠MAC，
∴AC//EF；
(3)解：∵AN平分∠MAC，∠CAN=25∘，
∴∠MAC=2∠CAN=50∘，
设∠MEG=x，
∴∠MGE=2∠CAN+3∠MEG=50∘+3x，
∴∠AGE=180∘−∠MGE=180∘−(50∘+3x)=130∘−3x，
∵在(2)的条件下，∠AGE=∠MAC+∠MEG=50∘+x，
∴50∘+x=130∘−3x，
解得：x=20∘，
∴∠MEG=20∘，
设∠MFN=y，
∵FN平分∠MFC，
∴∠MFC=2∠MFN=2y，
∵AB//CD，
∴∠AEF=∠MFC=2y，
∴∠AEG=∠AEF−∠MEG=2y−20∘，
∴∠ANF=∠AEG=2y−20∘，
∵AC//EF，
同理可得：∠ANF=∠CAN+∠MFN=25∘+y，
即2y−20∘=25∘+y，
解得：y=45∘，
∴∠MFC=2y=90∘.
【解析】(1)过点M作MQ//AB，则AB//MQ//CD，利用平行线的性质可得证；
(2)利用三角形内角和及邻补角定义可得证；
(3)设∠MEG=x，可得∠MGE=2∠CAN+3∠MEG=50∘+3x，∠AGE=180∘−∠MGE=180∘−(50∘+3x)=130∘−3x，∠MFN=y，可得∠ANF=∠AEG=2y−20∘，∠ANF=∠CAN+∠MFN=25∘+y，进而可求∠MFC.
本题主要考查了平行线的判定及性质，邻补角定义，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．最高气温(℃)
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19
20
天数
1
1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
组别
A
B
C
D
E
身高(cm)
x<155
155≤x<160
160≤x<165
165≤x<170
x≥170
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，
即由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，
例如：将x2+3x+2分解因式.
解：因为x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2).
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