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湖南省益阳市大通湖管理区两校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案）
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这是一份湖南省益阳市大通湖管理区两校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省益阳市大通湖管理区两校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、单选题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．式子的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y2＝3x
5．一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，15
C． D．0.3，0.4，0.5
7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，AD＝16，BC＝15（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，F为AD的中点，若∠AEF＝54°（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
11．如图，在▱ABCD中，AC＝8，AD＝5，则▱ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
13．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
14．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，记为点P，点D落在G处，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
16．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
17．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
18．已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限 ．
19．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么b的值是 ；A2021的纵坐标是 ．
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
22．（12分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
23．（12分）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
则a＝ ，b＝ ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
24．（12分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
25．（14分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共15小题，共60分）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二次根式；
B、没有意义；
C、不是二次根式；
D、中π﹣4＜0，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子（a≥0）叫二次根式．
2．式子的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】运用倒数与二次根式的知识进行求解、辨别．
【解答】解：∵＝＝+8，
∴式子的倒数是，
故选：A．
【点评】此题考查了运用倒数和二次根式的知识进行化解计算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】各式化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝；
B、原式＝5；
C、原式＝3；
D、原式不能化简．
故选：A．
【点评】此题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．
4．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y2＝3x
【分析】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【解答】A、y＝x2，自变量次数不为1，故本选项错误；
B、y＝，故本选项错误；
C、y＝，故本选项正确；
D、y2＝8x中的变量y的次数是2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
5．一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，﹣k＜0，此时函数图象经过二、三、四象限；当k＜0时，﹣k＞0，此时函数图象经过一、二、三象限，据此可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0、三、四象限；
当k＜2时，﹣k＞0、二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，15
C． D．0.3，0.4，0.5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵32+52＝52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵92+128＝152，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（）5+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项正确；
D、∵0.52+0.72＝0.42，∴能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，AD＝16，BC＝15（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
【分析】在Rt△ADC中由勾股定理求出AC的长，在Rt△ACB中，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：在Rt△ADC中，AD＝16，
∴AC＝＝＝20，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝25，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2.4米，
∴AB4＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，BD2+A′D4＝A′B2，
∴BD2+32＝6.25，
∴BD6＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝3.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.5+1.5＝2.2米．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD
【分析】依据平行四边形的判定方法，即可得到能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
【解答】解：A、AB∥CD；不能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、AB∥CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、AB∥CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，F为AD的中点，若∠AEF＝54°（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
【分析】过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
【解答】解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，
则BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝54°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝108°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣108°＝72°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．
11．如图，在▱ABCD中，AC＝8，AD＝5，则▱ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【分析】由勾股定理的逆定理得出∠AOD＝90°，即AC⊥BD，得出▱ABCD是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OC＝AC＝8BD＝7，
∴OA2+OD2＝25＝AD2，
∴∠AOD＝90°，即AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积＝AC×BD＝；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
13．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
【分析】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x＝3的对称点为（2，
代入直线y＝2x+b，可得
7+b＝3，
解得b＝﹣1，
一次函数y＝6x﹣1与y轴交点为（0，﹣3），
（0，﹣1）关于直线x＝2的对称点为（2，
代入直线y＝kx+3，可得
6k+3＝﹣1，
解得k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
14．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，所以A，
此时甲池水位不变，所有水注入乙池．当乙池水位到达连接处时，所以升高速度变慢，甲和乙部分同时升高，此时比连通部分快．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
15．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，记为点P，点D落在G处，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB8+BN2＝AN2，
即52+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝6﹣3＝5，
∵AB＝8，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，如图2，
此时S＝S菱形CMPN＝×3×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×7＝5，
∴4≤S≤7正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
16．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x+1≥0，
∴x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
17．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 45° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠3，
则∠8+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
18．已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限 ﹣3 ．
【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，
∴m2﹣8＝8，解得m＝±3，
∵图象经过第二、四象限，
∴m﹣2＜5，即m＜2．
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣2．
【点评】考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义．由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．
19．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 3 ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AO＝BCBC，
∴DO＝AO，
∵AO＝3，
∴DO＝5，
故答案为3．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么b的值是 ；A2021的纵坐标是 ．
【分析】将A1点坐标代入即可求出b的值；令直线与x轴的交点为G，借助于相似可求出点A1，A2……An的纵坐标的规律进而解决问题．
【解答】解：∵A1（1，3）在直线上，
∴，解得：b＝，
∴直线的解析式为：，
设直线与x轴的交点为G，
令y＝0可解得x＝−2，
∴G点坐标为（−4，0），
即OG＝4，
过点A1，A2，A6分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵△A1B1O为等腰直角三角形，
∴A8D＝OD，
∵OB1＝2A4D＝2，
∴GB1＝7+4＝6，
又∵点A6在直线上，
∴tan∠A1GO＝＝，即，
解得：A6E＝＝，则OE＝OB1+B6E＝，
∴A7（，），OB2＝5，
同理可求得：A3F＝＝（）5，则OF＝5+＝，
∴A3（，），
∴当An时，其纵坐标为2021的纵坐标是：（）2020，
故答案为：；（）2020．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标规律，发现图形中的相似是解决问题的关键．
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣3，
∴x﹣2＝6﹣2＜7，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣8
＝1﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
22．（12分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+8是一次函数，得
，
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣7时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；
（2）当y＝3时，3＝﹣7x+5，
故当x＝时，y的值为6．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
23．（12分）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
则a＝ 80 ，b＝ 80 ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
【分析】（1）根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
（2）根据平均数，众数分析得出即可．
【解答】解：（1）甲的众数为b＝80，
乙的平均数为a＝（50+60+70×2+80+90×3+100×5）÷10＝80，
故答案为：80，80；
（2）应该选派乙，理由如下：
两位同学平均成绩一样，从众数看．
【点评】本题考查了平均数、众数．平均数表示一组数据的平均程度．众数的一组数据中出现次数最多的数．
24．（12分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC；
（2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝2
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
25．（14分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
【分析】（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得，
解得：，
答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；
（2）设甲商品进a件，乙商品（100﹣a）件，
a≥5（100﹣a），
a≥80，
设利润为y元，则，
y＝10 a+20（100﹣a）＝﹣10 ，
∵y随a的增大而减小，
∴要使利润最大，则a取最小值，
∴a＝80，
∴y＝2000﹣10×80＝1200，
答：甲商品进80件，乙商品进20件．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
湖南省益阳市大通湖管理区两校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、单选题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．式子的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y2＝3x
5．一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，15
C． D．0.3，0.4，0.5
7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，AD＝16，BC＝15（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，F为AD的中点，若∠AEF＝54°（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
11．如图，在▱ABCD中，AC＝8，AD＝5，则▱ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
13．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
14．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，记为点P，点D落在G处，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
16．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
17．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
18．已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限 ．
19．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么b的值是 ；A2021的纵坐标是 ．
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
22．（12分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
23．（12分）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
则a＝ ，b＝ ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
24．（12分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
25．（14分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共15小题，共60分）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二次根式；
B、没有意义；
C、不是二次根式；
D、中π﹣4＜0，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子（a≥0）叫二次根式．
2．式子的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】运用倒数与二次根式的知识进行求解、辨别．
【解答】解：∵＝＝+8，
∴式子的倒数是，
故选：A．
【点评】此题考查了运用倒数和二次根式的知识进行化解计算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】各式化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝；
B、原式＝5；
C、原式＝3；
D、原式不能化简．
故选：A．
【点评】此题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．
4．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y2＝3x
【分析】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【解答】A、y＝x2，自变量次数不为1，故本选项错误；
B、y＝，故本选项错误；
C、y＝，故本选项正确；
D、y2＝8x中的变量y的次数是2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
5．一次函数y＝﹣kx﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，﹣k＜0，此时函数图象经过二、三、四象限；当k＜0时，﹣k＞0，此时函数图象经过一、二、三象限，据此可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0、三、四象限；
当k＜2时，﹣k＞0、二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，15
C． D．0.3，0.4，0.5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵32+52＝52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵92+128＝152，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（）5+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项正确；
D、∵0.52+0.72＝0.42，∴能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，AD＝16，BC＝15（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
【分析】在Rt△ADC中由勾股定理求出AC的长，在Rt△ACB中，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：在Rt△ADC中，AD＝16，
∴AC＝＝＝20，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝25，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2.4米，
∴AB4＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，BD2+A′D4＝A′B2，
∴BD2+32＝6.25，
∴BD6＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝3.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.5+1.5＝2.2米．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD
【分析】依据平行四边形的判定方法，即可得到能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
【解答】解：A、AB∥CD；不能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、AB∥CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、AB∥CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，F为AD的中点，若∠AEF＝54°（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
【分析】过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
【解答】解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF＝BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，
则BG＝GE＝FG＝BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF＝∠FEG＝54°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝108°，
∴∠B＝∠BEG＝180°﹣108°＝72°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．
11．如图，在▱ABCD中，AC＝8，AD＝5，则▱ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【分析】由勾股定理的逆定理得出∠AOD＝90°，即AC⊥BD，得出▱ABCD是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OC＝AC＝8BD＝7，
∴OA2+OD2＝25＝AD2，
∴∠AOD＝90°，即AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积＝AC×BD＝；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
13．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1
【分析】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x＝3的对称点为（2，
代入直线y＝2x+b，可得
7+b＝3，
解得b＝﹣1，
一次函数y＝6x﹣1与y轴交点为（0，﹣3），
（0，﹣1）关于直线x＝2的对称点为（2，
代入直线y＝kx+3，可得
6k+3＝﹣1，
解得k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
14．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，所以A，
此时甲池水位不变，所有水注入乙池．当乙池水位到达连接处时，所以升高速度变慢，甲和乙部分同时升高，此时比连通部分快．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
15．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，记为点P，点D落在G处，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB8+BN2＝AN2，
即52+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝6﹣3＝5，
∵AB＝8，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝，
∴MN＝2QN＝2，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，如图2，
此时S＝S菱形CMPN＝×3×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝×5×7＝5，
∴4≤S≤7正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
16．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x+1≥0，
∴x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
17．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 45° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠3，
则∠8+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
18．已知函数y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限 ﹣3 ．
【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）是关于x的正比例函数，
∴m2﹣8＝8，解得m＝±3，
∵图象经过第二、四象限，
∴m﹣2＜5，即m＜2．
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣2．
【点评】考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义．由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．
19．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 3 ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AO＝BCBC，
∴DO＝AO，
∵AO＝3，
∴DO＝5，
故答案为3．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么b的值是 ；A2021的纵坐标是 ．
【分析】将A1点坐标代入即可求出b的值；令直线与x轴的交点为G，借助于相似可求出点A1，A2……An的纵坐标的规律进而解决问题．
【解答】解：∵A1（1，3）在直线上，
∴，解得：b＝，
∴直线的解析式为：，
设直线与x轴的交点为G，
令y＝0可解得x＝−2，
∴G点坐标为（−4，0），
即OG＝4，
过点A1，A2，A6分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵△A1B1O为等腰直角三角形，
∴A8D＝OD，
∵OB1＝2A4D＝2，
∴GB1＝7+4＝6，
又∵点A6在直线上，
∴tan∠A1GO＝＝，即，
解得：A6E＝＝，则OE＝OB1+B6E＝，
∴A7（，），OB2＝5，
同理可求得：A3F＝＝（）5，则OF＝5+＝，
∴A3（，），
∴当An时，其纵坐标为2021的纵坐标是：（）2020，
故答案为：；（）2020．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标规律，发现图形中的相似是解决问题的关键．
三、解答题（共60分）
21．（10分）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣3，
∴x﹣2＝6﹣2＜7，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣8
＝1﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
22．（12分）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+8是一次函数，得
，
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣7时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数；
（2）当y＝3时，3＝﹣7x+5，
故当x＝时，y的值为6．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
23．（12分）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
则a＝ 80 ，b＝ 80 ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
【分析】（1）根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
（2）根据平均数，众数分析得出即可．
【解答】解：（1）甲的众数为b＝80，
乙的平均数为a＝（50+60+70×2+80+90×3+100×5）÷10＝80，
故答案为：80，80；
（2）应该选派乙，理由如下：
两位同学平均成绩一样，从众数看．
【点评】本题考查了平均数、众数．平均数表示一组数据的平均程度．众数的一组数据中出现次数最多的数．
24．（12分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC；
（2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝2
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
25．（14分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
【分析】（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得，
解得：，
答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；
（2）设甲商品进a件，乙商品（100﹣a）件，
a≥5（100﹣a），
a≥80，
设利润为y元，则，
y＝10 a+20（100﹣a）＝﹣10 ，
∵y随a的增大而减小，
∴要使利润最大，则a取最小值，
∴a＝80，
∴y＝2000﹣10×80＝1200，
答：甲商品进80件，乙商品进20件．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
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