高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第3章函数的概念与性质单元测试B含解析答案

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第三章 函数的概念与性质单元测试B学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）A． B．C． D．2．若函数的定义域为，则的定义域为（    ）A． B． C． D．3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．6．若满足对任意的实数、都有且，则（    ）A．1008 B．2018 C．2014 D．10097．函数在上取得最小值，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为10．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ）A．B．若，则C．函数的值域是D．函数在上单调递增11．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．三、填空题12．定义，设函数，则的最大值为 13．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．14．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．四、解答题15．根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足16．已知为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.17．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完.(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？18．已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.19．已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．(1)若函数是“类函数”，求实数的值；(2)若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值；(3)已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由．参考答案：1．A【分析】通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像.【详解】由题意，在中，定义域为，值域为，选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确.选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误.选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误.选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以故D中图象不是函数的图像，D错误.故选：A.2．D【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D3．A【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或故必要性不成立因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A4．C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a的范围.【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1.所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，只需，解得：.故选：C5．D【分析】根据题意得到函数在上是增函数，，进而结合函数的单调性和对称性求得答案.【详解】因为函数且在上是增函数，，所以函数在上是增函数，.于是，时，；时，；时，；时，.所以，的解集为.故选：D.6．B【分析】本题首先可根据得出，然后用同样的方式得出、以及，从而得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为对任意的实数、，都有，且，所以，即，同理，即；，即；，即；故，则，故选：B.【点睛】本题主要考查抽象函数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，考查探究规律的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．C【分析】现将整理为分段函数的形式，即，画出函数图象，根据图象判定的位置【详解】由题，将，即，则可得到函数图象如下，根据图象可得当时，，则；当时，，则，故，故选C【点睛】本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题8．D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．9．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．10．ABD【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；对C，函数，当时，，故C错误；对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11．AC【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，又，即关于对称，故B不正确；所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，因为在区间上，有，所以在上单调递增，因为，即，所以的图象关于点成中心对称，故A正确；因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，故C正确；因为，故D错误；故选：AC12．【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，结合图象可得出函数的最大值.【详解】当时，即，解得或，此时，；当时，即，解得，此时，，所以，，作出函数的图象如下：由图可知.故答案为：.13．【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.【详解】由题知，，所以恒成立，即．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得，因此，，由单调递增，单调递增，易知函数单调递增，故等价于等价于即，解得．故答案为：14．【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用换元法即可求解；（2）设，然后结合待定系数法即可得解；（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.【详解】（1）解：令，则，故，所以；（2）解：设，因为，所以，即，所以，解得，所以；（3）解：因为①，所以②，②①得，所以.16．（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式．（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域．【详解】（1）∵ 函数是定义在上的奇函数，∴，且，∴，设，则，∴，∴（2）可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得结合图象可知：（1）当时，（2）当时，（3）当时，17．(1)(2)100【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案.【详解】（1）每件商品售价为0.05万元，x千件商品销售额为万元，①当时，根据年利润销售收入-成本，；②当时，根据年利润销售收入-成本，.综合①②可得，；（2）①当时，，当时，取得最大值万元；②当时，，当且仅当，即时，取得最大值万元.综合①②，由于，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.18．(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解(3)或【分析】（1）根据题意，令，即可判断；（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.（2）在上单调递增.证明：由题意，可知，假设，使得，则，而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则，因此，因为，且当时，，所以，又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.（3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，因此，，故，，因为，恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，则，恒成立，故，解得或.19．(1)(2)，.(3)存在，使得函数.【分析】（1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组即得解；（2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解；（3）求出，得到时，，即得解.【详解】（1）由题得，对于任意实数x，都有，即，所以，即，所以.所以（2）由题得，对于任意实数x，都有，，，因为，所以，设，所以，所以，，所以，，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；同理，，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；由题得，所以，.（3）由题得，因为，所以，所以，所以，所以，令得，，，所以，所以是周期函数.所以，所以.所以存在，使得函数.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.