第15练 导数与函数的单调性（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
3．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
(注：是自然对数的底数)
4．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
5．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若为奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）.
A．为偶函数
B．为奇函数
C．的最小值为a
D．的单调递增区间为
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知,若,则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知函数，则（ ）
A．恒成立B．是上的增函数
C．在取得极小值D．只有一个零点
三、填空题
14．（2023春·宁夏吴忠·高三统考开学考试）设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．
15．（2023·全国·高三专题练习）若正实数满足则________
16．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
17．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数，则不等式的解集是________．
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(a∈R且a≠0)，讨论函数的单调性．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调区间；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为函数的导函数，讨论的单调性.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），讨论的单调性.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，讨论函数的单调性；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．
二、单选题
6．（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·校联考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________ ．
12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
13．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数讨论的单调性；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数的单调区间；
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,讨论的单调性;
二、单选题
4．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北·校联考三模）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
三、多选题
7．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
四、填空题
8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数有且仅有两个零点，且，则_______.
9．（2023·山东济南·统考三模）已知函数，，当实数满足时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.