第15讲 导数与函数的单调性（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
二、题型分类精讲
题型一 导数与原函数图像之间的联系
策略方法
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
【典例1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间内有个极值点
D．的图象在点处的切线的斜率大于
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.
6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.
题型二 不含参数的函数单调性
策略方法 求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间．
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间．
【典例1】函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．和
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间是B．有4个零点
C．的图象关于点对称D．曲线与轴不相切
三、填空题
5．（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为____________．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数的单调递增区间为__________.
7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数的单调递增区间为___________．
8．（2023·福建·统考模拟预测）函数的单调增区间是_______．
9．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）函数有两个零点，则的取值范围是 __.
题型三 含参数的函数单调性
策略方法 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【典例1】已知函数（其中a为参数）.求函数的单调区间.
【典例2】已知函数，.讨论函数的单调性.
【典例3】设函数，求函数的单调区间.
【典例4】已知函数（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是______.
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性；
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论在上的单调性；
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数.当时，讨论函数的单调性；
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
9．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性；
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
题型四 函数单调性中的参数值（范围）问题
策略方法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x)max＞0(或f ′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】若函数在在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
5．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
7．（2023·安徽·校联考二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．
9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．