素养拓展10 导数中的隐零点问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；
第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若，求的取值范围.
解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.
（2）由于,，且. 设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此
, 故恒成立；
当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.
【典例2】已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知
有两个零点有两个相异实根.令，则，
由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.令
，，令，，则
，在上单增，又，
，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，
由①知，函数在单调递增，即，，
实数的取值范围为.
【典例3】已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且 QUOTE e−2解析：（1）．
（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．
由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．
【题型训练】
1．已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
在区间递减；
在区间递增．
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
．
令，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间即递减；
在区间即递增．
（3）当时，，
由（2）知，在上递增，，
所以存在使得，即．
在区间，递减；在区间递增．
所以当时，取得极小值也即最小值为，
由于，所以．
，
，
根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，
所以有个零点．
2.已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，
∵，∴切点为，
∵，∴切线斜率，∴切线方程为
（2），．
当时，，单调递增，∴，．
，，，令，，
∴在上单调递增，且，，
∴，使得，即，也即．
令，，，显然时，，单调递增，
∴，即．∵当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
∴．
∵，，都有，∴，得，
故实数的取值范围为．
3.已知函数为的导数.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由题意，，令，则，
当时，，，所以，从而在上单调递增，
则的最小值为，故的最小值0；
（2）由已知得当时，恒成立，
令，，
①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，
若，令 则，
令，则，
令，则，
∵在在内大于零恒成立，∴函数在区间为单调递增，
又∵，，，
∴上存在唯一的使得，
∴当时，，此时为减函数，
当时，，此时为增函数，
又∵，，
∴存在，使得，
∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，
又∵，，
∴时，，则为增函数，∴，
∴恒成立，
②当时，在上恒成立，则在上为增函数，
∵，，
∴存在唯一的使，
∴当时，，从而在上单调递减，∴，
∴，与矛盾，
综上所述，实数的取值范围为.
4.已知，.
(1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求;
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，，
，由已知可得，即.
（2）当时，，即，
化简可得，，
令，只需，
，令，
则，在上单调递增，
，，
存在唯一的，使得，
当时，，即，当时，，即，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
由得，
两边取对数得，，
，即实数a的取值范围是．
5．已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.
【解析】（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
6．已知函数，，
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由，当时，恒成立，则在R上单调递减；
当时，令，解得，
当时；当时
在上单调递减，上单调递增
综上，当时，单调递减区间为.
当时，单调递减区间为，单调递增区间.
（2）由得，恒成立，
令，，则，
所以，，
当时，，
令，则，等号仅在时取得，
所以在上单调递增，故，等号仅在时取得，即.
令，则恒成立，
在上单调递增，则，即，
，
所以在上单调递增，则，即，
所以时，在上恒成立.
当时，，，
设，则，
当时，是R上的增函数，在上单调递增，
即时，在上递增，
，故在内存在唯一解，
当时，，则在上递减，则，
则在上递减，故，
当时，在上递减，
则，
所以时，存在x使得，与在上恒成立矛盾，
综上，a的取值范围是.
7．已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由，得,设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
8．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性
(2)证明：有唯一极值点t，且．
【解析】（1）当时，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以时，，时，，
因此在上单调递减，在上单调递增；
（2）依题意，的定义域为，
，
令，显然在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
且时，，时，，
因为，所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
因此有唯一极小值点t；
由得，所以，
因为，
当且仅当时等号成立，故有唯一极值点t，且．
9．已知函数．
（1）若的极小值为，求实数的值；
（2）若，求证：．
【解析】（1）由题意，的定义域为，
且，
由得，由得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴的极小值为，
令，得，
∵，∴，解得．
（2）当时，，
设，
则，
则，
设，
则，
设，则，
由可得，由可得，
即在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，∴在上单调递增．
∵，，∴存在唯一的零点，且．
由，得，
当时， ，即，
当时， ，即，∴
，
易得在区间上单调递减，故，
∴，即．
10．已知函数在处的切线方程是．
(1)求a，b的值；
(2)若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)将切点坐标代入的，即，得，又因为，直线的斜率为
所以，得
(2)由（1）知，
因为曲线与曲线有唯一的公共点，
所以方程有唯一解，即
令，则，则
即，
当，时，，函数单调递增，易知与有且只有一个交点，满足题意；
当，时，有两个根，且两根之和为，两根之积为，所以两根一个大于4，一个小于4，此时，函数先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使有唯一实数根，则大于极大值或小于极小值.
记为极大值点，则，则恒成立，
又，即
则极大值
因为，令得，又时，
综上，要使对，曲线与曲线都有唯一的公共点，则，即；
当为极小值点，则，则，又，所以恒成立，又，所以时，，所以单减，无最小值，所以不存在，使得恒成立，
所以，的取值范围为