第16练 导数与函数的极值、最值（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
11．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
2．（2023·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
7．（2023·全国·高三专题练习）的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并求其最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0，,e2B．C．D．
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，函数（是的导数）的图象关于原点对称，若在上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，为的导函数，则（ ）
A．有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线在点处的切线斜率为
C．为偶函数
D．在时值域为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数在定义域内不存在极值点，则实数a的取值范围是______．
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点和，则实数a的取值范围为______.
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求证：.
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.