第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
2．函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【常用结论】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（3）对于任意的，总存在，使得；
（4）对于任意的，总存在，使得；
（5）若存在，对于任意的，使得；
（6）若存在，对于任意的，使得；
（7）对于任意的，使得；
（8）对于任意的，使得；
（9）若存在，总存在，使得
（10）若存在，总存在，使得．
二、题型分类精讲
题型一 求函数的极值与极值点
策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程
【典例1】已知函数，求函数的极值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（ ）
A．B．C．bD．4
4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（ ）
A．-3B．1C．27D．-5
5．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ）
A．的极大值为B．的极小值为
C．的单调减区间为D．的值域为
7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：
①；②；③；
④；⑤．
其中正确结论的序号是__．
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)求函数的极值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)设a＝0．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并说明理由．
(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．
题型二 极值、极值点中的参数问题
【典例1】已知函数，．
(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数的单调区间．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（ ）．
A．－1B．0C．1D．2
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数的极值点为1和2，且在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数在处有极值，且极值为8，则（ ）
A．有三个零点
B．
C．曲线在点处的切线方程为
D．函数为奇函数
8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极小值为2，则______
10．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．
11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.
四、解答题
13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若，函数在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数的取值范围.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为实数．
(1)已知函数在处取得极值，求的值；
(2)已知不等式对都成立，求实数的取值范围．
题型三 求函数的最值
策略方法
1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（ ）（注：）
A．3B．
C．5D．
2．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．0，,e2C．D．
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．eC．D．
4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．
7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________．
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，，且，则的最小值为__________．
9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.
三、解答题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求实数的值．
11．（2023·全国·模拟预测）已知.
(1)求的最值；
(2)当，时，若恒成立，求正整数的最大值.
12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.
(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；
(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.
题型四 最值中的参数问题
【典例1】已知和有相同的最大值（），求的值；
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A．0B．4C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数只有一个零点
B．函数只有极大值而无极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若当时，，则t的最大值为2
三、填空题
8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数（）.
(1)若的零点有且只有一个，求的值；
(2)若存在最大值，求的取值范围.
12．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
题型五 函数极值、最值的综合应用
【典例1】已知函数的最小值为0．求实数的值；
【典例2】已知函数．
(1)证明：
(2)若，求．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．e
2．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为
C．若有两个零点，，则
D．若，且，则的最大值为
6．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，则（ ）
A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称
B．存在实数，使函数为单调函数
C．任意实数，函数都存在最小值
D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线
三、填空题
7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.
8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，则的取值范围是____________.
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在，且时，.
10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求实数的取值范围①求函数的极值与极值点
②极值、极值点中的参数问题
③求函数的最值
④最值中的参数问题
⑤函数极值、最值的综合应用