第12讲 函数的图像（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1．利用描点法作函数的图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
eq \(―――――――――――――――――――――――→,\s\up27(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)) y＝f (ax)的图象；
②y＝f (x)的图象
eq \(――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d10(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af (x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f (x)的图象eq \(――――――――――――――――→,\s\up10(x轴下方部分翻折到上方),\s\d10(x轴及上方部分不变))y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d10(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f (|x|)的图象．
【常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)；
(3)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于(a，0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)；
(3)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型一 作函数的图像
策略方法 作函数图象的两种常用方法
【典例1】已知.
（1）画函数的图象；
（2）若直线与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围以及所有交点横坐标之和.
【题型训练】
一、解答题
1．（1）画函数的图象，并写出单调增区间；
（2）函数有两个零点，求a的取值范围.
2．画函数图象：．
3．画函数图象
题型二 函数图像的辨识
策略方法 辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023年全国卷数学预测卷）函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023年高三数学（理）押题卷四）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
8．（重庆市2023届普高三模拟调研（三）数学试题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题）函数在区间的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（河北省2023届高三模拟（一）数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023年高考数学（理）终极押题卷）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
题型三 函数图像的应用
策略方法 1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.
【典例2】对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.
【题型训练】
一、单选题
1．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（重庆市第八中学2023届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[0，1]
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（江西省赣州市2023届高三二模数学（文）试题）定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））已知函数，若不等式有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·天津红桥·统考一模）函数，关于的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（山东省青岛市即墨区2022-2023学年高三下学期教学质量检测数学试题）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.
14．（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟数学试题）已知函数，则不等式的解集是___________．
15．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________．
16．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围为__________________.
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是___．
18．（2023届高三上学期一轮复习联考（一）全国卷文科数学试题）已知函数，若不等式的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______________．
19．（2023·北京西城·统考二模）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
①作函数的图像
②函数图像的辨识
③函数图像的应用