2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.2　两条直线的位置关系（2份打包，原卷版+含解析）

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1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq \f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．( )
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5) C.eq \r(10) D.eq \f(\r(10),2)
4．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________．
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
跟踪训练1 (1)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2.
典例 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0
C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0
跟踪训练2 (1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4 C．2 D．6
(2)已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为____________________．
题型三 对称问题
命题点1 点(或直线)关于点对称
例3 直线3x－2y＝0关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
命题点2 点关于直线对称
例4 已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则eq \r(x－12＋y－12)＋eq \r(x－22＋y2)的最小值为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C.eq \r(10) D．2eq \r(5)
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( )
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
3．四边形ABCD的四个顶点是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，则四边形ABCD为( )
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
5．直线y＝eq \f(\r(3),3)x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是( )
A.eq \r(3)x＋y－2＝0 B.eq \r(3)x＋y＋2＝0
C．x＋eq \r(3)y－2＝0 D．x＋eq \r(3)y＋2＝0
二、多项选择题
6．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
7．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2)
B．|AB|＝2eq \r(2)
C．△ABC的面积等于4
D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
三、填空题
8．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．
9．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．
10．点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．
四、解答题
11．(1)已知点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
12．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0