适用于新教材提优版2024届高考数学一轮复习学案第八章直线和圆圆锥曲线8.6双曲线新人教A版

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知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的等于非零常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
教材改编题
1．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．－13)
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(00)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2eq \r(3)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(00)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
焦距
范围
或，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：；对称中心：______
顶点
轴
实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：，实半轴长：，虚半轴长：_____
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)∈_________
a，b，c的关系
c2＝(c>a>0，c>b>0)