人教A版（2019）高中数学选修二讲义08 导数的综合

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导数的综合一、 课堂目标1．掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值．2．掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题．3．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．4．掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．二、 知识讲解1. 利用导数求函数的单调性知识精讲求函数单调区间的方法步骤：（1）确定函数 的定义域；（2）求出导函数 解析式，解方程 ，求出该方程在定义域内的一切实根；（3）把定义域端点和导函数零点按照由小到大的顺序排列在数轴上，将 的定义域分割成一系列区间；（4）考察各个小区间上的符号，根据符号判断相应区间上的单调性．注意：求函数单调区间注意书写规范，最后总结：函数的单调增区间是......，函数的单调减区间是.......经典例题1. 已知函数 ．（ 1 ）求函数（ 2 ）经过点的单调区间．作函数图象的切线，求该切线的方程．巩固练习2. 已知函数（ 1 ）求函数（ 为自然对数的底数）．的单调递增区间．（ 2 ）求曲线 在点 处的切线方程．2. 利用导数求函数的极值与最值知识精讲求函数 极值的方法：（1）确定函数的定义域；（2）求导数 ；（3）解出方程 在定义域内的全部实根；（4）检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：①如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；②如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；③如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．知识点睛（1）对于函数定义域内的某个点 来说，该点为极值点的充分条件是函数在这点的两侧导数异号，必要条件是 ；（2）判断函数的极值点，不能单单依赖于导数，还需要考察定义域内的不可导点，此时需要从极值的定义出发．知识精讲求函数 最值的方法：若函数 在 上连续，在 上可导，求其最值的步骤如下：（1）求出函数 在 上的极值；（2）将所求的若干极值与 和 比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．知识点睛（1）求最值时，定义域如果是全体实数与开区间，不用考虑端点值；定义域如果不是开区间，需考虑端点值；（2）在给定范围求参，如果范围的两个端点是常数，做题方法就是求在区间的单调性、比较端点值即可；（3）如果给的端点值是含参的，需要进行分类讨论：首先求得函数得单调区间，将所给范围放在不同得单调区间进行讨论及所给区间夹得极值点范围．经典例题3. 已知函数（ 1 ）求（ 2 ）求在点的极值．．处的切线方程．巩固练习4. 已知函数（ 1 ）求曲线（ 2 ）求函数在点，为 的导函数．处的切线方程．的单调区间和极值．5. 已知函数 的图象经过点 且在 处， 取得极值．求：（ 1 ）函数（ 2 ）的解析式．的单调区间．3. 利用导数研究含参函数的单调性、极值与最值知识精讲直接求解含参函数的单调性、极值与最值 ：（1）对函数 求导、合并、整理；（2）针对函数含参导数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；（3）将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．知识点睛求解含参函数的思想方法：(1)求导之后，观察导函数的函数类型、画出草图、判断函数的单调性.(2)二次型含参函数①首先观察参数是否在二次项上，如果在二次项上需要先对二次函数的开口方向进行一次分类讨论及参数为零的情况，然后根据图象画出草图判断函数的单调性．②导函数是二次函数时求解根时主要两种：能因式分解与不能因式分解（利用求根公式及配方法求根），在不能因式分解时需要首先应用判别式 来判断是否有根．(3)当导函数是一次函数并且参数在一次项上，分类讨论注意参数为零的情况．(4)当函数出现对数函数，注意定义域的判断．给出已知区间的最值或极值而逆向求参：做题思路：①先对单调性进行分类讨论；②再以极值点与端点进行分类讨论，确定每种情况的最值；③最后与题目条件结合，判断参数的解值是否可取．经典例题6. 已知函数 ．求 的单调区间．7. 已知函数 ， ， 是自然对数的底数．（ 1 ）若函数（ 2 ）求函数在在区间处取得极值，求 的值及上的最小值．的极值．巩固练习8. 已知函数，其中．求函数 的单调区间．9. 已知函数 ．求函数 的单调区间．10. 已知函数 ．求函数 的单调区间．4. 利用导数研究函数的恒成立问题知识精讲单函数型（1） ， 恒成立（2） ， 恒成立（3） ， 恒成立（4） ， 恒成立双函数型（1），恒成立（2） ， 恒成立方法提升(1)整体函数构造法：转化为求含参的函数的最值问题求解.构造法属于常用及通用方法，解题思路将所给不等式构造成左边为含参函数右侧是常数，通常是零，将左侧设计成函数,根据题意求解最值，恒 常数．(2)参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解．①解题思路：将所给不等式变形,将参数分离出来，使参数在不等式左侧,其他项移到右侧，右侧形成新的函数，根据题意求解最值，判断参数的范围.②参变分离只对部分函数使用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是很好求导，如果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．经典例题11. 已知函数（ 1 ）求 的值；在上是增函数，在上是减函数．（ 2 ）当 时，曲线 总在直线 上方，求 的取值范围．巩固练习12. 设函数（ 1 ）讨论函数．的单调性．（ 2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．经典例题13. 已知函数 ．（ 1 ）讨论（ 2 ）若的单调性．，在上恒成立，求整数 的最大值．巩固练习14. 已知函数 ．（ 1 ）讨论函数（ 2 ）若的单调性．，不等式恒成立，求实数 的取值范围．知识精讲存在性问题：单函数（1），成立（2） ， 成立（3） ， 成立（4） ， 成立双函数（1），成立（2） ， 成立（3） ， ， 成立（4） ， ， 成立（5） ， ， 成立方法提升存在性问题求解方法与恒成立求解方法一样:整体函数构造法与参变分离法经典例题15. 已知函数（ 1 ）若函数在．上是减函数，求实数 的最小值．（ 2 ）已知 表示 的导数，若 ， ，（ 为自然对数的底数），使成立，求实数 的取值范围．巩固练习16. 已知函数（ 1 ）讨论函数（ 为自然对数的底数）．的单调性．（ 2 ）已知函数 在 处取得极大值， 在 上有解，求实数 的取值范围．5. 函数的零点、交点知识精讲(1)单函数直接描绘图象法直接描绘单函数 的图象求解函数零点相关问题的步骤：①对函数 求导；②求出函数 的单调性，极值点与极值；③画出函数 的草图；④数形结合，确定函数与 轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．注意：直接描绘单函数图象法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．知识精讲（2）单函数参变分离描绘图象法单函数 参变分离法描绘图象法的解题步骤：①求出函数 的定义域；②将函数 参变分离，转化为含参常函数 与不含参函数 的交点问题；③对不含参函数 进行求导；④求出 函数的单调性，极值点与极值；⑤画出 函数的草图；⑥数形结合，根据含参常函数与不含参函数的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数 的取值范围．知识精讲(3）双函数作差整体构造法① 有几个根 函数 与 图象有几个交点函数 图象与 轴有几个零点．② 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点函数 的图象与 轴有几个零点．双函数作差整体构造法研究 与 的交点情况的解题步骤：①构造新函数 ，从而将研究 与 的交点问题转化为研究函数 的零点问题；②对 进行求导；③通过导函数研究函数的单调性、极值点与极值；④从而简单画出函数 的图象；⑤故可以推出函数 与 轴交点的分布情况，即函数 与函数 的图象交点情况．知识点睛双函数作差整体构造法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．知识精讲（4）双函数代数变形优化法双函数代数变形优化法研究 与 的交点情况的解题步骤：①取等双函数的等式，即φ，代数变形优化等式，将等式两端转化为简单含参函数；φ与不含参函数②将等式φ③对 进行求导；分离成新的双函数，即简单含参函数φ与不含参函数；④通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；⑤从而简单画出函数 的图象；⑥数形结合，根据参数的不同取值，确定函数的图象交点情况．与φ的交点的分布情况，即函数与函数经典例题17. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数），，其中 在 处的切线方程为 ．（ 1 ）求 ， 的值．（ 2 ）求证：．（ 3 ）求证： 有且仅有两个零点．18. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）．（ 1 ）若曲线（ 2 ）求函数在点的极值．处的切线平行于 轴，求 的值．（ 3 ）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值．巩固练习19. 已知函数（ 1 ）若（ 2 ）求函数（ 3 ）若在在．处取得极值，求实数 的值．的单调区间．上没有零点，求实数 的取值范围．20. 已知函数 ．（ 1 ）若（ 2 ）若函数，求函数的单调区间．有两个零点，求实数 的取值范围．三、 思维导图你学会了吗？请你画出本节课的思维导图。四、 出门测21. 已知函数（ 1 ）（ 2 ）在区间在区间， 为上存在唯一极大值点．上有且仅有一个零点．的导数，证明：22. 已知函数（ 1 ）讨论函数（ 2 ）讨论函数在区间在区间．上极值点个数．上零点个数．9