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高中数学5.3 导数在研究函数中的应用学案及答案
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这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用学案及答案，文件包含恒成立与存在性问题-讲义学生版docx、恒成立与存在性问题-讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。
恒成立与存在性问题
一、 课堂目标
1．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
2．理解含参导数中的分类讨论与数形结合思想．
二、 知识讲解
1. 单变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
①，恒成立
②，恒成立
③，恒成立
④，恒成立
（2）存在性问题
①，成立
②，成立
③，成立
④，成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法：转化为求含参函数的最值问题求解.
构造法属于常用及通用方法，解题思路：将所给不等式构造成左边为含参函数，右侧是常数，通常
是零，将左侧设计成函数，根据题意求解最值，恒常数．
例 如 ， 证 明 不 等 式的 问 题 转 化 为， 进 而 构 造 辅 助 函 数
，然后利用导数研究函数的单调性，接着证明函数的最小值大于 ．
（2）参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数函数的最值问题求解．
①解题思路：将所给不等式变形，将参数分离出来，使参数在不等式左侧，其他项移到右侧，右侧
形成新的函数，根据题意求解新函数的最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数适用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是好求导，如
果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
1. 函数的定义域为 ，，对任意，，则的解集为（ ）．
A.B.
C.D.
2. 已知函数．
（ 1 ）求证：；
（ 2 ）若在区间上恒成立，求 的最小值．
巩固练习
3. 已知函数
．
若关于 的不等式恒成立，求整数 的最小值．
经典例题
4. 已知函数
，
．
若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数 的取值范
围．
巩固练习
5. 已知函数
，
．
若对恒成立，求实数 的取值范围．
经典例题
6. 已知函数
．
若对，使成立，求实数 的取值范围（其中 是自然对数的底数）．
巩固练习
7. 已知，，其中 是自然常数，．
（ 1 ）当时，求 的极值．
（ 2 ）若有解，求 的取值范围．
2. 双变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
①
，
恒成立
②，恒成立
（2）存在性问题①
，
成立
②，成立
③，，成立
④，，成立
⑤，，成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法
根据结构特点，把一个变量看成主元，另一个变量看成副元去构造关于主元的函数.（2）参变分离法
根据式子结构特点，先进行参变分离，构造辅助函数，通过对辅助函数性质的研究，来求解参变量取值
范围.
经典例题
8. 已知函数，．
（ 1 ）当时，求函数的极值．
（ 2 ）当时，讨论函数单调性．
（ 3 ）是否存在实数 ，对任意的 ，
，且
，有
恒成立？若
存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
巩固练习
9. 设，．
（ 1 ）令
（ 2 ）若任意 ，
，求
且
的单调区间．
，都有
恒成立，求
实数 的取值范围．
经典例题
10. 已知函数，，若，，使得成立，
求 的取值范围．
巩固练习
11. 已知函数
，
，若任意
，存在
，使
，则实数 的取值范围是．
12. 已知函数
（ 1 ）若函数（ 2 ）若 ，
在
．
上为减函数，求实数 的最小值．
，使成立，求实数 的取值范围．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
13. 已知函数
（ 1 ）讨论
，
的单调区间．
，
．
（ 2 ）若恒成立，求 的取值范围．
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恒成立与存在性问题
一、 课堂目标
1．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
2．理解含参导数中的分类讨论与数形结合思想．
二、 知识讲解
1. 单变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
①，恒成立
②，恒成立
③，恒成立
④，恒成立
（2）存在性问题
①，成立
②，成立
③，成立
④，成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法：转化为求含参函数的最值问题求解.
构造法属于常用及通用方法，解题思路：将所给不等式构造成左边为含参函数，右侧是常数，通常
是零，将左侧设计成函数，根据题意求解最值，恒常数．
例 如 ， 证 明 不 等 式的 问 题 转 化 为， 进 而 构 造 辅 助 函 数
，然后利用导数研究函数的单调性，接着证明函数的最小值大于 ．
（2）参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数函数的最值问题求解．
①解题思路：将所给不等式变形，将参数分离出来，使参数在不等式左侧，其他项移到右侧，右侧
形成新的函数，根据题意求解新函数的最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数适用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是好求导，如
果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
1. 函数的定义域为 ，，对任意，，则的解集为（ ）．
A.B.
C.D.
2. 已知函数．
（ 1 ）求证：；
（ 2 ）若在区间上恒成立，求 的最小值．
巩固练习
3. 已知函数
．
若关于 的不等式恒成立，求整数 的最小值．
经典例题
4. 已知函数
，
．
若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数 的取值范
围．
巩固练习
5. 已知函数
，
．
若对恒成立，求实数 的取值范围．
经典例题
6. 已知函数
．
若对，使成立，求实数 的取值范围（其中 是自然对数的底数）．
巩固练习
7. 已知，，其中 是自然常数，．
（ 1 ）当时，求 的极值．
（ 2 ）若有解，求 的取值范围．
2. 双变量型
知识精讲
（1）恒成立问题
①
，
恒成立
②，恒成立
（2）存在性问题①
，
成立
②，成立
③，，成立
④，，成立
⑤，，成立
知识点睛
常用解题方法
（1）构造法
根据结构特点，把一个变量看成主元，另一个变量看成副元去构造关于主元的函数.（2）参变分离法
根据式子结构特点，先进行参变分离，构造辅助函数，通过对辅助函数性质的研究，来求解参变量取值
范围.
经典例题
8. 已知函数，．
（ 1 ）当时，求函数的极值．
（ 2 ）当时，讨论函数单调性．
（ 3 ）是否存在实数 ，对任意的 ，
，且
，有
恒成立？若
存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
巩固练习
9. 设，．
（ 1 ）令
（ 2 ）若任意 ，
，求
且
的单调区间．
，都有
恒成立，求
实数 的取值范围．
经典例题
10. 已知函数，，若，，使得成立，
求 的取值范围．
巩固练习
11. 已知函数
，
，若任意
，存在
，使
，则实数 的取值范围是．
12. 已知函数
（ 1 ）若函数（ 2 ）若 ，
在
．
上为减函数，求实数 的最小值．
，使成立，求实数 的取值范围．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
13. 已知函数
（ 1 ）讨论
，
的单调区间．
，
．
（ 2 ）若恒成立，求 的取值范围．
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