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人教A版普通高中数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数学案
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这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数学案，共17页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
自查自测
知识点一 对数
1．在M＝lg(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( B )
A．(－∞，3]
B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3，4)
2．(教材改编题)设lg 2＝a，lg 3＝b，则lg1210＝( )
A．12a+bB．1a+2b
C．2a＋bD．2b＋a
A 解析：lg1210＝1lg12＝1lg3+2lg2＝12a+b．
3．计算：lg62＋lg63＝1．
4．计算：lg92·lg43＝14．
核心回扣
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质
①lga1＝0．②lgaa＝1．③algaN＝N．
④lgaan＝n(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaMN＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)对数的换底公式
lgab＝lgcblgca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
自查自测
知识点二 对数函数与反函数
1．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( )
A．(1，2)
B．12，1∪(1，＋∞)
C．12，+∞
D．(2，＋∞)
C 解析：根据对数函数的性质，得2x－1＞0，解得x＞12，所以函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为12，+∞．故选C.
2．已知实数a＝lg32，b＝lg2π，c＝lg210，则有( A )
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．c＜a＜bD．c＜b＜a
3．函数f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必不过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A 解析：函数f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)的图象如图所示．故选A．
4．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(4，－1)．
5．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12＝－lg32．
核心回扣
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
【常用结论】
1．换底公式的变形
(1)lgab·lgba＝1，即lgab＝1/(a，b均大于0且不等于1)．(2) ＝nmlgab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．(3)lgNM＝lgaMlgaN＝lgbMlgbN (a，b，N均大于0且不等于1，M ＞0)．
2．换底公式的推广：lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．
应用 求值：(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)＝ ．
54 解析：原式＝lg2lg3+lg2lg9lg3lg4+lg3lg8＝lg2lg3+lg22lg3lg32lg2+lg33lg2＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54．
对数的运算
1．(2024·莆田模拟)已知2x＝3，lg483＝y，则x＋2y的值为( )
A．32B．5
C．4D．3
D 解析：由2x＝3，得x＝lg23，又lg483＝y，故x＋2y＝lg23＋2lg483＝lg28＝3.故选D.
2．已知声强级(单位：分贝)L＝10lg II0，其中常数I0(I0＞0)是能够引起听觉的最弱的声强，I是实际声强．当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的( )
A．110B．10110
C．10-10D．10-110
D 解析：L1－L2＝1，即10lg I1I0－10lg I2I0＝1，所以I1I2＝10110，所以I2＝10-110I1.故选D.
3．计算：lg381-lg98×lg23-2lg23＋lg 2＋lg 5＝ ．
0 解析：原式＝lg334－32×lg32×lg23－3＋lg 10＝4－32－3＋12＝0.
4．(2024·德州模拟)已知2m＝3n＝6，则m+nmn＝ ．
1 解析：由2m＝3n＝6，得m＝lg26，n＝lg36，所以1m＝lg62，1n＝lg63，所以m+nmn＝1n＋1m＝lg63＋lg62＝lg66＝1.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)．
对数函数的图象及应用
【例1】(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的大致图象为( )
B 解析：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增．又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称，因此y＝lga|x|的大致图象为选项B.
(2)当0＜x≤12时，4x＜lgax，则实数a的取值范围是( )
A．0，22B．22，1
C．(1，2)D．(2，2)
B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝lgax的大致图象如图所示．
由题意可知只需满足lga12＞412，解得22＜a＜1.故选B.
[变式] 若将本例(2)中的条件“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则实数a的取值范围为 ．
0，22 解析：若方程4x＝lgax在0，12上有解，则函数y＝4x与y＝lgax的图象在0，12上有交点，所以0＜a＜1，lga12≤412，解得0＜a≤22，即a的取值范围为0，22．
研究对数型函数图象的思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等，通过排除法求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1．在同一个坐标系中，函数f(x)＝1ax与g(x)＝lg ax的图象可能是( )
A 解析：由题意，得a＞0且a≠1，所以函数g(x)＝lg ax单调递减，故排除B，D.对于A，C，由函数f(x)＝1ax的图象，可知0＜a＜1，对于函数g(x)＝lg ax，g(1)＝lg a＜0，故A正确，C错误．
2．已知函数f(x)＝|ln x|.若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是( )
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
B 解析：f(x)＝|ln x|的图象如图所示，因为0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，且0＜a＜1，b＞1，即－ln a＝ln b，即ab＝1.所以2a＋b≥22ab＝22，当且仅当2a＝b，即a＝22，b＝2时，等号成立，所以2a＋b的取值范围为[22，＋∞)．
对数函数的性质及应用
考向1 比较大小
【例2】(1)已知a＝lg62，b＝lg124，c＝lg186，则( )
A．c＞b＞aB．a＞b＞c
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
A 解析：由对数运算公式，得1a＝lg26＝1＋lg23，1b＝lg412＝1＋lg43，1c＝lg618＝1＋lg63.易知lg23＞lg43＞lg63＞0，则1a＞1b＞1c＞1，故c＞b＞a.
(2)已知a＝lg315，b＝lg420，2c＝1.9，则( )
A．a＞c＞bB．c＞a＞b
C．b＞a＞cD．a＞b＞c
D 解析：a＝lg315＝lg3(3×5)＝1＋lg35＞1，b＝lg420＝lg4(4×5)＝1＋lg45＞1，c＝lg21.9＜1.因为lg35＝lg5lg3＞lg5lg4＝lg45，所以a＞b＞c.故选D.
比较对数函数值大小的方法
考向2 解对数方程或不等式
【例3】(1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为x＝ ．
5 解析：原方程变形可得lg2(x－1)＋lg2(x＋1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又由题知x＞1，所以x＝5.
(2)已知函数f(x)＝lg2x，x＞0， lg12-x，x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是 ．
(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：由题意，得a＞0， lg2a＞-lg2a或a＜0， -lg2-a＞lg2-a，解得a＞1或－1＜a＜0.故实数a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考向3 对数函数性质的综合应用
【例4】(2024·泰安模拟)已知f(x)＝lg13x2-ax+5a.
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
解：若a＝2，则f(x)＝lg13x2-2x+10.
因为x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9＞0，当且仅当x＝1时，等号成立，
可知f(x)的定义域为R，且y＝lg13x在定义域内单调递减，可得fx≤lg139＝－2，
所以f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：因为y＝lg13x在定义域内单调递减，
由题意，可知y＝x2－ax＋5a在[1，＋∞)上单调递增，且x2－ax＋5a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
故a2≤1， 1-a+5a＞0，解得－14＜a≤2，
所以a的取值范围为-14，2．
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)在转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
1．已知函数f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)满足f2a＜f3a，则f(2x－1)＞0的解集为( )
A．(0，1)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
C 解析：(方法一)因为函数f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a＜3a，且f2a＜f3a，所以f(x)＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质，可得f(2x－1)＞0，即2x－1＞1，所以x＞1.
(方法二)由f2a＜f3a，知lga2a＜lga3a，所以lga2－1＜lga3－1，所以lga2＜lga3，所以a＞1.由f(2x－1)＞0，得lga(2x－1)＞0，所以2x－1＞1，即x＞1.
2．(多选题)设函数y＝ln (x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝12对称
AD 解析：因为x2－x＋1＝x-122＋34＞0恒成立，所以函数的定义域为R，A正确；由复合函数的单调性，知函数y＝ln (x2－x＋1)在12，+∞上单调递增，在-∞，12上单调递减，B错误；由x2－x＋1＝x-122＋34≥34，得y＝ln (x2－x＋1)≥ln 34，所以函数的值域为ln34，+∞，C错误；易知函数的图象关于直线x＝12对称，D正确．故选AD.
3．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a＞0，且a≠1)．若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
1，83 解析：当a＞1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)＞1，且8－2a＞0，解得1＜a＜83．当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递增，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)＞1，且8－2a＞0，解得a∈∅.综上可知，实数a的取值范围是1，83．
课时质量评价(十一)
1．函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A．0B．1
C．2D．a
C 解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝lgax在[a2，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.故选C.
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f13＋f(9)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
A 解析：因为函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝lg3x，所以f13＋f(9)＝lg313＋lg39＝－1＋2＝1.故选A．
3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1-2x，x≤1， fx-1，x＞1，则f(0)－f(lg25)＝( )
A．－14B．14
C．34D．54
B 解析：因为f(0)＝1－20＝0，f(lg25)＝f(lg25－1)＝flg252＝flg252-1＝flg254＝1-2lg254＝1－54＝－14，所以f(0)－f(lg25)＝0－-14＝14．故选B.
4．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过500 000名至少经过的天数为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．31B．32
C．40D．50
D 解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2 000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt＞500 000，得ekt＞1 000，即4t10＞1 000，两边取常用对数，得t10lg 4＞3，即t＞15lg2≈150.301≈49.8.故选D.
5．已知函数f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x＞0，则ff116＝ ．
19 解析：因为f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x＞0，所以f116＝lg4116＝－2，f(－2)＝3-2＝19，所以ff116＝19．
6．函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的值域为 ．
(－∞，－2] 解析：函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)＝lg2xx+12＝lg21x+1x+2≤lg212x·1x+2＝lg214＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故值域为(－∞，－2].
7．若函数f(x)＝ln 4-mx4-2x的图象关于原点对称，则实数m的值为 ．
－2 解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，即ln 4+mx4+2x＝－ln 4-mx4-2x，所以4+mx4+2x＝4-2x4-mx，解得m＝±2.当m＝2时，f(x)＝ln 4-2x4-2x，定义域{xx≠2}不关于原点对称，故舍去；当m＝－2时，f(x)＝ln 4+2x4-2x，定义域为{x-2＜x＜2}，符合要求．故m＝－2.
8．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝lg x＋1-x1+x．若f(a)＝2，则f1a＝ ．
－2 解析：因为f1x＝lg 1x＋1-1x1+1x＝－lg x＋x-1x+1，所以f(x)＋f1x＝lg x＋1-x1+x－lg x＋x-1x+1＝0，故f(a)＋f1a＝0.由f(a)＝2，得f1a＝－2.
9．已知函数f(x)＝lga(1－x)，g(x)＝lga(x＋1)，其中a＞0且a≠1.
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
解：由1-x＞0，x+1＞0，得－1＜x＜1.
所以函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．
(2)若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．
解：当a＞1时，由f(x)＞g(x)，得1－x＞x＋1＞0，解得－1＜x＜0；
当0＜a＜1时，由f(x)＞g(x)，得0＜1－x＜x＋1，解得0＜x＜1.
综上可知，当a＞1时，x的取值范围为(－1，0)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(0，1)．
10．已知一个15位正整数N＝a×1014(1≤a＜10)，且30N仍是一个整数，则30N的值为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：令x＝30N(x＞0)，则x30＝N＝a×1014(1≤a＜10)，故30lg x＝lg a＋14，lg x＝lga+1430，lg a∈[0，1)，所以lg x∈715，12．又lg 2＜715≈0.47＜lg 3＜12＜lg 4＝2lg 2，故x＝3.故选A．
11．我国5G技术遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg21+SN．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．43%B．33%
C．23%D．13%
C 解析：由题意，得Wlg25 000Wlg21 000－1＝lg5000lg1000－1＝3+lg53－1＝1-lg23≈1-0.3013≈23%，所以C大约增加了23%.故选C.
12．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝ ．(写出一个即可)
lg2x(答案不唯一) 解析：符合对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝lg2x，nf(x)＝nlg2x＝lg2xn＝f(xn)．
13．(2024·昆明模拟)设函数f(x)＝lg22x·lg2x16．
(1)解方程f(x)＋6＝0；
(2)设不等式2x2＋x≤43x-2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域．
解：f(x)＝(lg22＋lg2x)·(lg2x－lg216)＝(1＋lg2x)·(lg2x－4)＝(lg2x)2－3lg2x－4.
(1)由f(x)＋6＝0，得(lg2x)2－3lg2x＋2＝0，解得lg2x＝1或lg2x＝2，所以x＝2或x＝4.
所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.
（2）由2x2＋x≤43x-2，得2x2＋x≤26x-4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，故M＝{x|1≤x≤4}．
f(x)＝(lg2x)2－3lg2x－4，x∈M，
令t＝lg2x，所以0≤t≤2，则f(x)＝g(t)＝t2－3t－4＝t-322－254为开口向上，对称轴为直线t＝32的抛物线．
因为0≤t≤2，所以－254≤g(t)≤－4，
所以函数f(x)(x∈M)的值域为-254，-4．
14．已知函数f(x)＝lgax+1x-1(a＞0且a≠1)．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性．
解：函数f(x)是奇函数．证明如下：
由x+1x-1＞0，可得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
因为对任意的x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，都有－x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
且f(－x)＝lga-x+1-x-1＝lgax-1x+1＝lgax+1x-1-1＝－lgax+1x-1＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)若a＝2，求函数y＝f(2x)的值域．
解：当a＝2时，f(x)＝lg2x+1x-1，y＝f(2x)＝lg22x+12x-1＝lg21+22x-1．
因为f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以2x＞1，
所以22x-1∈(0，＋∞)，1＋22x-1∈(1，＋∞)，所以lg21+22x-1∈(0，＋∞)，
所以函数y＝f(2x)的值域是(0，＋∞)．
(3)是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间b，32a上的值域为(1，2)？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．因为函数f(x)＝lgax+1x-1＝lga1+2x-1在b，32a上的值域为(1，2)，又a＞0，且a≠1，由f(x)的定义域得b，32a⊆(1，＋∞)，所以32a＞b＞1.
①当0＜a＜1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递增．
所以fb=1， f32a=2，即1+2b-1=a，1+232a-1=a2.
因为b＞1，所以1＋2b-1＞1，所以1＋2b-1＝a无解．或者因为32a＞1，所以1+232a-1＞1，所以1+232a-1=a2无解．
故此时不存在实数a，b满足题意．
②当a＞1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递减，
所以f32a=1，fb=2，
即1+232a-1=a，1+2b-1=a2，
解得a＝2a=-13舍去，b＝53．
综上所述，存在实数a＝2，b＝53．
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
减函数
增函数
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量
过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
2．通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
自查自测
知识点一 对数
1．在M＝lg(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( B )
A．(－∞，3]
B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3，4)
2．(教材改编题)设lg 2＝a，lg 3＝b，则lg1210＝( )
A．12a+bB．1a+2b
C．2a＋bD．2b＋a
A 解析：lg1210＝1lg12＝1lg3+2lg2＝12a+b．
3．计算：lg62＋lg63＝1．
4．计算：lg92·lg43＝14．
核心回扣
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质
①lga1＝0．②lgaa＝1．③algaN＝N．
④lgaan＝n(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaMN＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)对数的换底公式
lgab＝lgcblgca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
自查自测
知识点二 对数函数与反函数
1．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( )
A．(1，2)
B．12，1∪(1，＋∞)
C．12，+∞
D．(2，＋∞)
C 解析：根据对数函数的性质，得2x－1＞0，解得x＞12，所以函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为12，+∞．故选C.
2．已知实数a＝lg32，b＝lg2π，c＝lg210，则有( A )
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．c＜a＜bD．c＜b＜a
3．函数f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必不过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A 解析：函数f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)的图象如图所示．故选A．
4．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(4，－1)．
5．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12＝－lg32．
核心回扣
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
【常用结论】
1．换底公式的变形
(1)lgab·lgba＝1，即lgab＝1/(a，b均大于0且不等于1)．(2) ＝nmlgab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．(3)lgNM＝lgaMlgaN＝lgbMlgbN (a，b，N均大于0且不等于1，M ＞0)．
2．换底公式的推广：lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．
应用 求值：(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)＝ ．
54 解析：原式＝lg2lg3+lg2lg9lg3lg4+lg3lg8＝lg2lg3+lg22lg3lg32lg2+lg33lg2＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54．
对数的运算
1．(2024·莆田模拟)已知2x＝3，lg483＝y，则x＋2y的值为( )
A．32B．5
C．4D．3
D 解析：由2x＝3，得x＝lg23，又lg483＝y，故x＋2y＝lg23＋2lg483＝lg28＝3.故选D.
2．已知声强级(单位：分贝)L＝10lg II0，其中常数I0(I0＞0)是能够引起听觉的最弱的声强，I是实际声强．当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的( )
A．110B．10110
C．10-10D．10-110
D 解析：L1－L2＝1，即10lg I1I0－10lg I2I0＝1，所以I1I2＝10110，所以I2＝10-110I1.故选D.
3．计算：lg381-lg98×lg23-2lg23＋lg 2＋lg 5＝ ．
0 解析：原式＝lg334－32×lg32×lg23－3＋lg 10＝4－32－3＋12＝0.
4．(2024·德州模拟)已知2m＝3n＝6，则m+nmn＝ ．
1 解析：由2m＝3n＝6，得m＝lg26，n＝lg36，所以1m＝lg62，1n＝lg63，所以m+nmn＝1n＋1m＝lg63＋lg62＝lg66＝1.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)．
对数函数的图象及应用
【例1】(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的大致图象为( )
B 解析：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增．又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称，因此y＝lga|x|的大致图象为选项B.
(2)当0＜x≤12时，4x＜lgax，则实数a的取值范围是( )
A．0，22B．22，1
C．(1，2)D．(2，2)
B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝lgax的大致图象如图所示．
由题意可知只需满足lga12＞412，解得22＜a＜1.故选B.
[变式] 若将本例(2)中的条件“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则实数a的取值范围为 ．
0，22 解析：若方程4x＝lgax在0，12上有解，则函数y＝4x与y＝lgax的图象在0，12上有交点，所以0＜a＜1，lga12≤412，解得0＜a≤22，即a的取值范围为0，22．
研究对数型函数图象的思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等，通过排除法求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1．在同一个坐标系中，函数f(x)＝1ax与g(x)＝lg ax的图象可能是( )
A 解析：由题意，得a＞0且a≠1，所以函数g(x)＝lg ax单调递减，故排除B，D.对于A，C，由函数f(x)＝1ax的图象，可知0＜a＜1，对于函数g(x)＝lg ax，g(1)＝lg a＜0，故A正确，C错误．
2．已知函数f(x)＝|ln x|.若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是( )
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
B 解析：f(x)＝|ln x|的图象如图所示，因为0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，且0＜a＜1，b＞1，即－ln a＝ln b，即ab＝1.所以2a＋b≥22ab＝22，当且仅当2a＝b，即a＝22，b＝2时，等号成立，所以2a＋b的取值范围为[22，＋∞)．
对数函数的性质及应用
考向1 比较大小
【例2】(1)已知a＝lg62，b＝lg124，c＝lg186，则( )
A．c＞b＞aB．a＞b＞c
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
A 解析：由对数运算公式，得1a＝lg26＝1＋lg23，1b＝lg412＝1＋lg43，1c＝lg618＝1＋lg63.易知lg23＞lg43＞lg63＞0，则1a＞1b＞1c＞1，故c＞b＞a.
(2)已知a＝lg315，b＝lg420，2c＝1.9，则( )
A．a＞c＞bB．c＞a＞b
C．b＞a＞cD．a＞b＞c
D 解析：a＝lg315＝lg3(3×5)＝1＋lg35＞1，b＝lg420＝lg4(4×5)＝1＋lg45＞1，c＝lg21.9＜1.因为lg35＝lg5lg3＞lg5lg4＝lg45，所以a＞b＞c.故选D.
比较对数函数值大小的方法
考向2 解对数方程或不等式
【例3】(1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为x＝ ．
5 解析：原方程变形可得lg2(x－1)＋lg2(x＋1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又由题知x＞1，所以x＝5.
(2)已知函数f(x)＝lg2x，x＞0， lg12-x，x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是 ．
(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：由题意，得a＞0， lg2a＞-lg2a或a＜0， -lg2-a＞lg2-a，解得a＞1或－1＜a＜0.故实数a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考向3 对数函数性质的综合应用
【例4】(2024·泰安模拟)已知f(x)＝lg13x2-ax+5a.
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
解：若a＝2，则f(x)＝lg13x2-2x+10.
因为x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9＞0，当且仅当x＝1时，等号成立，
可知f(x)的定义域为R，且y＝lg13x在定义域内单调递减，可得fx≤lg139＝－2，
所以f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：因为y＝lg13x在定义域内单调递减，
由题意，可知y＝x2－ax＋5a在[1，＋∞)上单调递增，且x2－ax＋5a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
故a2≤1， 1-a+5a＞0，解得－14＜a≤2，
所以a的取值范围为-14，2．
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)在转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
1．已知函数f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)满足f2a＜f3a，则f(2x－1)＞0的解集为( )
A．(0，1)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
C 解析：(方法一)因为函数f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a＜3a，且f2a＜f3a，所以f(x)＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质，可得f(2x－1)＞0，即2x－1＞1，所以x＞1.
(方法二)由f2a＜f3a，知lga2a＜lga3a，所以lga2－1＜lga3－1，所以lga2＜lga3，所以a＞1.由f(2x－1)＞0，得lga(2x－1)＞0，所以2x－1＞1，即x＞1.
2．(多选题)设函数y＝ln (x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝12对称
AD 解析：因为x2－x＋1＝x-122＋34＞0恒成立，所以函数的定义域为R，A正确；由复合函数的单调性，知函数y＝ln (x2－x＋1)在12，+∞上单调递增，在-∞，12上单调递减，B错误；由x2－x＋1＝x-122＋34≥34，得y＝ln (x2－x＋1)≥ln 34，所以函数的值域为ln34，+∞，C错误；易知函数的图象关于直线x＝12对称，D正确．故选AD.
3．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a＞0，且a≠1)．若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
1，83 解析：当a＞1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)＞1，且8－2a＞0，解得1＜a＜83．当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递增，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)＞1，且8－2a＞0，解得a∈∅.综上可知，实数a的取值范围是1，83．
课时质量评价(十一)
1．函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A．0B．1
C．2D．a
C 解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝lgax在[a2，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.故选C.
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f13＋f(9)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
A 解析：因为函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝lg3x，所以f13＋f(9)＝lg313＋lg39＝－1＋2＝1.故选A．
3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1-2x，x≤1， fx-1，x＞1，则f(0)－f(lg25)＝( )
A．－14B．14
C．34D．54
B 解析：因为f(0)＝1－20＝0，f(lg25)＝f(lg25－1)＝flg252＝flg252-1＝flg254＝1-2lg254＝1－54＝－14，所以f(0)－f(lg25)＝0－-14＝14．故选B.
4．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过500 000名至少经过的天数为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．31B．32
C．40D．50
D 解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2 000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt＞500 000，得ekt＞1 000，即4t10＞1 000，两边取常用对数，得t10lg 4＞3，即t＞15lg2≈150.301≈49.8.故选D.
5．已知函数f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x＞0，则ff116＝ ．
19 解析：因为f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x＞0，所以f116＝lg4116＝－2，f(－2)＝3-2＝19，所以ff116＝19．
6．函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的值域为 ．
(－∞，－2] 解析：函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)＝lg2xx+12＝lg21x+1x+2≤lg212x·1x+2＝lg214＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故值域为(－∞，－2].
7．若函数f(x)＝ln 4-mx4-2x的图象关于原点对称，则实数m的值为 ．
－2 解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，即ln 4+mx4+2x＝－ln 4-mx4-2x，所以4+mx4+2x＝4-2x4-mx，解得m＝±2.当m＝2时，f(x)＝ln 4-2x4-2x，定义域{xx≠2}不关于原点对称，故舍去；当m＝－2时，f(x)＝ln 4+2x4-2x，定义域为{x-2＜x＜2}，符合要求．故m＝－2.
8．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝lg x＋1-x1+x．若f(a)＝2，则f1a＝ ．
－2 解析：因为f1x＝lg 1x＋1-1x1+1x＝－lg x＋x-1x+1，所以f(x)＋f1x＝lg x＋1-x1+x－lg x＋x-1x+1＝0，故f(a)＋f1a＝0.由f(a)＝2，得f1a＝－2.
9．已知函数f(x)＝lga(1－x)，g(x)＝lga(x＋1)，其中a＞0且a≠1.
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
解：由1-x＞0，x+1＞0，得－1＜x＜1.
所以函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．
(2)若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．
解：当a＞1时，由f(x)＞g(x)，得1－x＞x＋1＞0，解得－1＜x＜0；
当0＜a＜1时，由f(x)＞g(x)，得0＜1－x＜x＋1，解得0＜x＜1.
综上可知，当a＞1时，x的取值范围为(－1，0)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(0，1)．
10．已知一个15位正整数N＝a×1014(1≤a＜10)，且30N仍是一个整数，则30N的值为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：令x＝30N(x＞0)，则x30＝N＝a×1014(1≤a＜10)，故30lg x＝lg a＋14，lg x＝lga+1430，lg a∈[0，1)，所以lg x∈715，12．又lg 2＜715≈0.47＜lg 3＜12＜lg 4＝2lg 2，故x＝3.故选A．
11．我国5G技术遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg21+SN．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．43%B．33%
C．23%D．13%
C 解析：由题意，得Wlg25 000Wlg21 000－1＝lg5000lg1000－1＝3+lg53－1＝1-lg23≈1-0.3013≈23%，所以C大约增加了23%.故选C.
12．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝ ．(写出一个即可)
lg2x(答案不唯一) 解析：符合对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝lg2x，nf(x)＝nlg2x＝lg2xn＝f(xn)．
13．(2024·昆明模拟)设函数f(x)＝lg22x·lg2x16．
(1)解方程f(x)＋6＝0；
(2)设不等式2x2＋x≤43x-2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域．
解：f(x)＝(lg22＋lg2x)·(lg2x－lg216)＝(1＋lg2x)·(lg2x－4)＝(lg2x)2－3lg2x－4.
(1)由f(x)＋6＝0，得(lg2x)2－3lg2x＋2＝0，解得lg2x＝1或lg2x＝2，所以x＝2或x＝4.
所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.
（2）由2x2＋x≤43x-2，得2x2＋x≤26x-4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，故M＝{x|1≤x≤4}．
f(x)＝(lg2x)2－3lg2x－4，x∈M，
令t＝lg2x，所以0≤t≤2，则f(x)＝g(t)＝t2－3t－4＝t-322－254为开口向上，对称轴为直线t＝32的抛物线．
因为0≤t≤2，所以－254≤g(t)≤－4，
所以函数f(x)(x∈M)的值域为-254，-4．
14．已知函数f(x)＝lgax+1x-1(a＞0且a≠1)．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性．
解：函数f(x)是奇函数．证明如下：
由x+1x-1＞0，可得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
因为对任意的x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，都有－x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
且f(－x)＝lga-x+1-x-1＝lgax-1x+1＝lgax+1x-1-1＝－lgax+1x-1＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)若a＝2，求函数y＝f(2x)的值域．
解：当a＝2时，f(x)＝lg2x+1x-1，y＝f(2x)＝lg22x+12x-1＝lg21+22x-1．
因为f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以2x＞1，
所以22x-1∈(0，＋∞)，1＋22x-1∈(1，＋∞)，所以lg21+22x-1∈(0，＋∞)，
所以函数y＝f(2x)的值域是(0，＋∞)．
(3)是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间b，32a上的值域为(1，2)？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．因为函数f(x)＝lgax+1x-1＝lga1+2x-1在b，32a上的值域为(1，2)，又a＞0，且a≠1，由f(x)的定义域得b，32a⊆(1，＋∞)，所以32a＞b＞1.
①当0＜a＜1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递增．
所以fb=1， f32a=2，即1+2b-1=a，1+232a-1=a2.
因为b＞1，所以1＋2b-1＞1，所以1＋2b-1＝a无解．或者因为32a＞1，所以1+232a-1＞1，所以1+232a-1=a2无解．
故此时不存在实数a，b满足题意．
②当a＞1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递减，
所以f32a=1，fb=2，
即1+232a-1=a，1+2b-1=a2，
解得a＝2a=-13舍去，b＝53．
综上所述，存在实数a＝2，b＝53．
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
减函数
增函数
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量
过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
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