高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数学案，共16页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
自查自测
知识点一 对数
1．在M＝lg(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( B )
A．(－∞，3]B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)D．(3，4)
2．(教材改编题)设lg 2＝a，lg 3＝b，则lg1210＝( )
A．12a+bB．1a+2b
C．2a＋bD．2b＋a
A 解析：lg1210＝1lg12＝1lg3+2lg2＝12a+b.
3．计算：lg62＋lg63＝1．
4．计算：lg92·lg43＝14.
核心回扣
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质
①lga1＝0；②lga1＝1；③alga1＝N；④lgaan＝n(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaMN＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)对数的换底公式
lgab＝lgcblgcaa>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0.
自查自测
知识点二 对数函数与反函数
1．函数f (x)＝lg (2x－1)的定义域为( )
A．(1，2)B．12，1∪(1，＋∞)
C．12，+∞D．(2，＋∞)
C 解析：根据对数函数的性质，得2x－1>0，解得x>12，所以函数f (x)＝lg (2x－1)的定义域为12，+∞.故选C．
2.已知实数a＝lg32，b＝lg2π，c＝lg210，则有( A )
A．a0，则1a>1b>1c＞1，故c>b>a.
(2)已知a＝lg315，b＝lg420，2c＝1.9，则( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．b>a>c D．a>b>c
D 解析：a＝lg315＝lg3(3×5)＝1＋lg35>1，b＝lg420＝lg4(4×5)＝1＋lg45>1，c＝lg21.9lg5lg4＝lg45，所以a>b>c.故选D.
比较对数函数值大小的方法
考向2 解对数方程或不等式
【例3】(1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为x＝________.
5 解析：原方程变形可得lg2(x－1)+lg2(x+1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又由题知x＞1，所以x＝5.
(2)已知函数f (x)＝lg2x，x>0， lg12-x，x0在[1，＋∞)上恒成立，
故a2≤1，1－a+5a>0，解得－140且a≠1)满足f 2a0的解集为( )
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a1，所以x>1.
(方法二)由f 2a0，所以2x－1>1，即x>1.
2．(多选题)设函数y＝ln (x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A.函数的定义域为RB．函数是增函数
C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x＝12对称
AD 解析：因为x2－x＋1＝x－122+34>0恒成立，所以函数的定义域为R，A正确；由复合函数的单调性，知函数y＝ln (x2－x＋1)在12，+∞上单调递增，在－∞，12上单调递减，B错误；由x2－x＋1＝x－122+34 ≥34，得y＝lnx2－x+1≥ln 34，所以函数的值域为ln34，+∞，C错误；易知函数的图象关于直线x＝12对称，D正确．故选AD.
3．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a＞0，且a≠1)．若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是_____________．
1，83 解析：当a＞1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)＞1，且8－2a＞0，解得1＜a＜83．当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递增，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)＞1，且8－2a＞0，解得a∈∅.综上可知，实数a的取值范围是1，83．
课时质量评价(十一)
1．函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A．0B．1
C．2D．a
C 解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝lgax在[a2，a]上单调递减，所以f (x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.故选C．
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f 13＋f (9)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
A 解析：因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝lg3x，所以f 13＋f (9)＝lg313＋lg39＝－1＋2＝1.故选A．
3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－2x，x≤1， f x－1，x>1，则f(0)－f(lg25)＝( )
A．－14B．14
C．34D．54
B 解析：因为f (0)＝1－20＝0，f (lg25)＝f (lg25－1)＝f lg252＝f lg252－1＝f lg254＝1－2lg254＝1－54＝－14，所以f (0)－f (lg25)＝0－－14＝14.故选B．
4．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过500000名至少经过的天数为(参考数据：lg2≈0.301)( )
A．31B．32
C．40D．50
D 解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2 000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt>500 000，得ekt>1 000，即4t10>1000，两边取常用对数，得t10lg4>3，即t>15lg2≈150.301≈49.8.故选D．
5．已知函数f(x)＝3x，x≤0，lg4x，x>0，则f (f (116))＝________.
19 解析：因为f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x>0，所以f 116＝lg4116＝－2，f(－2)＝3－2＝19，所以f(f(116))＝19.
6．函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的值域为________.
(－∞，－2] 解析：函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)＝lg2xx+12＝lg21x+1x+2≤lg212x·1x+2＝lg214＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故值域为(－∞，－2].
7．若函数f(x)＝ln 4－mx4－2x的图象关于原点对称，则实数m的值为________.
－2 解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，即ln4+mx4+2x＝－ln 4－mx4－2x，
所以4+mx4+2x＝4－2x4－mx，解得m＝±2.
当m＝2时，f(x)＝4－2x4－2x，定义域{x|x≠2}不关于原点对称，故舍去；
当m＝－2时，f(x)＝ln4+2x4－2x，定义域为{x|－2g(x)，求x的取值范围．
解：(1)由1－x>0，x+1>0，得－1g(x)，得1－x>x＋1>0，解得－1