人教A版普通高中数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数学案，共18页。

3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
自查自测
知识点一 指数
1．(教材改编题)设a>0，则下列运算中正确的是( D )


2．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是( C )
A．a12B．a56
C．a76D．a32
3．计算：π0＋2-2×21412＝118．
核心回扣
1．根式的性质
(1)(na)n＝a(a使na有意义)．
(2)当n是奇数时，nan＝a；当n是偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0．
2．分数指数幂的意义
(1)amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)a－mn＝1amn (a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
自查自测
知识点二 指数函数
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝3·2x与y＝2x+1都不是指数函数．( √ )
(2)若am0，且a≠1)，则m(3)函数y＝2－x在R上为减函数．( √ )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )
2．(教材改编题)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数图象也必定经过点( D )
A.-2，14B．-1，12
C．(1，2)D．3，18
3．函数y＝2x+1的图象是( A )

A B C D
核心回扣
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2．指数函数的图象与性质
4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则( B )
A．aC．c5．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为( A )
A．2B．3
C．4D．12
核心回扣
注意点：
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，-1，1a．
(2)指数函数y＝ax与y＝1ax的图象关于y轴对称．
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．
简记：撇增捺减．
【常用结论】
(1)任意两个指数函数的图象都是相交的，都过定点(0，1)；底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
(2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0应用 已知y1＝13x，y2 ＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的大致图象为( A )
A B C D
指数幂的化简与求值
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)-2＝4B．2a-3＝12a3
C．(－2)0＝－1D．(a－14)4＝1a
D 解析：(－2)-2＝14，故A错误；2a-3＝2a3，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－14)4＝1a，故D正确．
2．若x12＋x－12＝3，则x32 +x-32 -3x2+x-2-2＝ ．
13 解析：由x12＋x－12＝3，两边平方，得x＋x-1＝7，再平方得x2＋x-2＝47，所以x2＋x-2－2＝45.因为x32＋x－32＝(x12)3＋(x－12)3＝(x12＋x－12)(x－1＋x-1)＝3×(7－1)＝18，所以x32 +x-32 -3x2+x-2-2＝13．
3．化简下列各式：
(1)2350＋2-2×214－12－0.010.5；
(2)56a13·b-2·(－3a－12b-1)÷(4a23·b-3)12；
(3)a23 ·b-1-12 ·a-12 ·b13 ,Ｙ6a·b5Ｈ．
解：(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615．
(2)原式＝－52a－16b-3÷(4a23·b-3)12＝－54·a－16b-3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2．
(3)原式＝a-13 b12 ·a-12 b13 a16 b56 ＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a．
指数幂运算的注意点
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定结果的符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
指数函数的图象及应用
【例1】(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
A. B. C. D.
A 解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.
(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 ．
(0，1) 解析：作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1)．
[变式] 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．
当a＞1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；
当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得0＜a＜12．

图1 图2
综上可知，a的取值范围是0，12．
应用指数函数图象的技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1．(多选题)已知实数a，b满足等式12a＝13b，给出下列四个关系式中可能成立的是( ABD )
A．0B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．a＝b＝0
2．若函数y＝21-x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 ．
(－∞，－2] 解析：y＝21-x＋m＝12x-1＋m，函数y＝12x-1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.故m的取值范围为(－∞，－2].
指数函数的性质及应用
考向1 比较大小
【例2】(2024·聊城模拟)设a＝30.8，b＝π0.8，c＝13e，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．cA 解析：幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，又π>3>1，则有π0.8>30.8>10.8＝1.指数函数y＝13x在R上单调递减，而e>0，于是得13e<130＝1，从而有13e<1<30.8<π0.8，所以c比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
考向2 解指数方程或不等式
【例3】(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a-x，x＜0.若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为 ．
12 解析：当a＜1时，41-a＝21，解得a＝12；当a＞1时，代入不成立．故a的值为12．
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为 ．
{x|x>4或x<0} 解析：因为f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，所以f(x)＝2x-4，x≥0，2-x-4，x＜0.
当f(x－2)＞0时，有x-2≥0，2x-2-4＞0或x-2＜0，2-x+2-4＞0，解得x＞4或x＜0，所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
简单的指数方程或不等式的求解方法
解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
考向3 指数型函数的单调性及应用
【例4】(1)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[4，＋∞)
B．[－4，0)
C．(0，4]
D．(－∞，－4]
A 解析：设t＝x(x－a)＝x2－ax，对称轴为直线x＝a2．因为y＝2t是R上的增函数，所以要使f(x)在区间(0，2)上单调递减，则t＝ x2－ax在区间(0，2)上单调递减，即a2≥2，故实数a的取值范围是[4，＋∞)．故选A.
(2)若函数f(x)＝13ax2－4x＋3有最大值3，则a＝ ．
1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有a>0，12a-164a=-1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．求参数值(范围)的方法是首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解．
1．已知a＝0.20.5，b＝213，c＝0.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．bD 解析：b＝213>20＝1.由于y＝0.2x在R上单调递减，故c＝0.20.2>0.20.5＝a，故c>a，且c＝0.20.2<0.20＝1.综上，a2．若x满足不等式3x2＋1≤19x-2，则函数y＝2x的值域是( )
A．18，2B．18，2
C．-∞，18D．[2，＋∞)
B 解析：由3x2＋1≤19x-2，可得3x2＋1≤3-2(x-2)．因为y＝3x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是18，2．故选B.
3．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是 ．
-34，+∞ 解析：从已知不等式中分离出实数a，得a>－14x+12 x．因为函数y＝14 x和y＝12x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，14x≥14，12x≥12，所以14x＋12x≥14＋12＝34，当x＝1时，取等号，从而得－14x+12 x≤－34．故实数a的取值范围为-34 ，+∞．

[试题呈现]
设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：构造指数函数，利用单调性比较b与c的大小．作商法比较a与c的大小，通过传递性推出a与b的大小．
A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝25x.因为0<25<1，所以函数y＝25x为R上的减函数．又因为35>25，所以b＝2535<2525＝c.再比较a与c，因为ac＝3225>320＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b.故选A.
思路参考：统一幂指数，利用幂函数的单调性比较大小．
A 解析：因为a，b，c均为正实数，且a5＝352＝925，b5＝253＝8125，c5＝252＝425，所以a5>c5>b5.因为y＝x5在(0，＋∞)上单调递增，所以a>c>b.故选A.
思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．
A 解析：因为a＝5925，b＝58125，c＝5425，所以a>c>b.故选A.
课时质量评价(十)
1．若函数y＝(2a－3)x在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a<2B．a>32
C．32C 解析：因为函数y＝(2a－3)x在R上单调递减，所以0<2a－3<1，所以322．(2024·临沂模拟)若a-1－a1＝4，则a-2＋a2的值为( )
A．8B．16
C．2D．18
D 解析：因为a-1－a1＝4，所以a-2＋a2＝(a-1－a1)2＋2＝42＋2＝18.故选D.
3．已知函数f(x)＝ax-1－2(a>0，a≠1)恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝m＋xn的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
D 解析：因为a0＝1，所以f(x)＝ax-1－2恒过定点(1，－1)，所以m＝1，n＝－1，所以g(x)＝1＋1x，其图象不经过第四象限．故选D.
4．(多选题)已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是( )
A. B.
C. D.
AD 解析：由于当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，排除B，C.若a＝2，f(x)＝2x－4，此时函数图象可能为A.若a＝12，f(x)＝12x－1，此时函数图象可能为D.故选AD.
5．已知函数f(x)＝a1-ax(a>0且a≠1)在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为( )
A．0，12B．(1，＋∞)
C．0，13 D．13，12
C 解析：由a>0且a≠1，得y＝1-ax为减函数，由复合函数单调性法则得a∈(0，1)，且1－3a≥0，解得a∈0，13．故选C.
6．若3x＝5，3y＝6，则32x＋y的值为 ．
150 解析：因为3x＝5，3y＝6，所以32x＋y＝32x·3y＝(3x)2·3y＝52×6＝150.
7．当x≤1时，函数f(x)＝4x－2x+1＋2的值域为 ．
[1，2] 解析：因为f(x)＝4x－2x+1＋2＝(2x)2－2×2x＋2，令t＝2x，由于x≤1，则t∈(0，2]，则原函数可化为y＝t2－2t＋2，t∈(0，2].当t＝1时，y取最小值1，当t＝2时，y取最大值2，故y∈[1，2]，即f(x)∈[1，2].
8．(2024·湖南联考)已知函数f(x)满足f(x－y)＝fxfy，且f(1)2x(答案不唯一) 解析：令f(x)＝2x，显然f(x)＝2x在定义域上单调递增，满足f(1)9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x+1＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≤5.
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x+1＋1.
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－2－x+1－1，
所以f(x)＝-2-x+1-1，x<0，0，x=0，2x+1+1，x>0.
(2)当x>0时，令2x+1＋1≤5，则2x+1≤4，x＋1≤2，x≤1，即0当x＝0时，f(x)＝0，满足不等式f(x)≤5；
当x<0时，－2－x+1<－2，－2－x+1－1<－3恒成立，
满足不等式f(x)≤5.
综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|x≤1}．
10．(多选题)设函数f(x)＝10x10x+1，若[x]表示不超过x的最大整数，则y＝fx-12的函数值可能是( )
A．0B．－1
C．1D．2
AB 解析：因为0<10x，则1＋110x>1，所以函数f(x)＝10x10x+1＝11+110x的值域是(0，1)，则f(x)－12的取值范围是-12，12，所以y＝fx-12的函数值可能是－1或0.故选AB.
11．(多选题)(数学与生活)某食品的保鲜时间y(单位：时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则( )
A．k<0
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在10 ℃的保鲜时间是60小时
D．在30 ℃的保鲜时间是15小时
ACD 解析：对于A，由题可知120＝eb，30＝e20k＋b＝e20k·eb，则e20k＝14，故e10k＝12，所以10k<0，则k<0，A正确；对于B，由A可知，y＝kx＋b在R上是减函数，且y＝ex在R上是增函数，所以y＝ekx＋b在R上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；对于C，e10k＋b＝e10k·eb＝12×120＝60，C正确；对于D，e30k＋b＝e30k·eb＝123×120＝15，D正确．故选ACD.
12．(2024·湖北联考)已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝x32xax+1为奇函数，则a＝ ．
4 解析：已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝x32xax+1为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即-x32-xa-x+1＝－x32xax+1，化简得ax2x＝2x，所以a＝4.
13．已知函数f(x)＝3－x－3x，若f(2a－1)＋f(3a2)>0，则实数a的取值范围是 ．
-1，13 解析：f(x)＝3－x－3x的定义域为R，且f(－x)＝3x－3－x ＝－f(x)，故f(x)＝3－x－3x为奇函数，所以f(2a－1)＋f(3a2)＞0等价于f(2a－1)>－f(3a2)＝f(－3a2)．又f(x)＝3－x－3x在R上单调递减，所以2a－1<－3a2，即3a2＋2a－1<0，解得－114．(2024·合肥模拟)已知函数f(x)＝a·3x＋13x-1是定义域为R的偶函数．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝9x＋9－x＋mf(x)＋m2－1，求函数g(x)的最小值．
解：(1)因为f(x)＝a·3x＋13x-1＝a·3x＋3·3－x，所以f(－x)＝a·3－x＋3·3x.
又因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以a·3－x＋3·3x＝a·3x＋3·3－x，
即(3－a)(3x－3－x)＝0对任意x∈R恒成立，则a＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝3(3x＋3－x)，则g(x)＝32x＋3-2x＋3m(3x＋3－x)＋m2－1＝(3x＋3－x)2＋3m(3x＋3－x)＋m2－3.
令t＝3x＋3－x，由基本不等式可得t≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，
则h(t)＝t2＋3mt＋m2－3，t∈[2，＋∞)．
①当－3m2≤2，即m≥－43时，h(t)＝t2＋3mt＋m2－3在[2，＋∞)上单调递增，
则h(t)min＝h(2)＝m2＋6m＋1，
即g(x)min＝m2＋6m＋1；
②当－3m2>2，即m<－43时，h(t)＝t2＋3mt＋m2－3在2，-3m2上单调递减，在-3m2，+∞上单调递增，
则h(t)min＝h-3m2＝-3m22＋3m·-3m2＋m2－3＝－54m2－3，即g(x)min＝－54m2－3.
综上所述，g(x)min＝-54m2-3，m<-43 ，m2+6m+1，m≥-43 ．
0a>1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，0当x>0时，y>1；当x<0时，0减函数
增函数
读
a，b，c均为幂值的形式
想
1.利用函数的单调性．
2．通过中间量比较大小．
3．作差或商比较大小
算
1.构造函数．
2．统一幂指数．
3．化为根式形式
思
注意分数指数幂的等价变形以及运算法则