人教A版普通高中数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用学案，共15页。

2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
自查自测
知识点 指数函数、对数函数、幂函数模型性质比较
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使ax0＜x0n＜lgax0(a＞0，a≠1)．( × )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( B )
A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)
核心回扣
三种函数模型的性质
注意点：
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．
利用函数的图象刻画实际问题
1．(2024·泰安模拟)某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图象可能是( )
B 解析：由题意可得图象的几何特征为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象．故选B.
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
D 解析：依题意，知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x.观察四个选项知D项符合要求．
3．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥做出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )
A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
D 解析：当T＝220，P＝1 026时，lg P＞3，此时二氧化碳处于固态，故A错误；
当T＝270，P＝128时，2＜lg P＜3，此时二氧化碳处于液态，故B错误；
当T＝300，P＝9 987时，lg P与4非常接近，此时二氧化碳处于固态，故C错误；
当T＝360，P＝729时，2＜lg P＜3，此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．故选D.
判断函数图象与实际问题
变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
已知函数模型解决实际问题
1．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是 万元．
2 500 解析：由已知，得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝40Q-120Q2－10Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500，因为－120＜0，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)．
2．某市家庭煤气的用气量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝C，0＜x≤A， C+Bx-A，x＞A.已知某家庭2024年前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为 元．
11.5 解析：根据题意，分析可得f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，
f(35)＝C＋B(35－A)＝19，
解得A＝5，B＝12，C＝4，
所以f(x)＝4，0＜x≤5， 4+12x-5，x＞5，
所以f(20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.
已知函数模型解决实际问题的解题关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
构造函数模型解决实际问题
考向1 指数(对数)函数模型
【例1】(2024·石家庄模拟)当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%(即光线强度减弱10%)，若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.477)( )
A．30块B．31块
C．32块D．33块
B 解析：设原来的光线强度为a(a＞0)，则要想通过n块这样的玻璃之后的光线强度减弱到原来的125以下，即a×(90%)n＜125a，即0.9n＜125．两边同时取以10为底的对数，得lg 0.9n＜lg 125，化简得n＞-2lg52lg3-1＝-21-lg22lg3-1≈-2+2×0.302×0.477-1≈30.4.故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．故选B.
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型．指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象和性质求解最值问题．
考向2 二次函数、分段函数模型
【例2】某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工x万件该品牌的服装，需另投入f(x)万元，且f(x)＝12x2+2x，0＜x≤10， 14x+450x -115，10＜x≤50.根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费．
(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工所获年利润y(单位：万元)关于年代加工量x(单位：万件)的函数解析式．
解：(1)当0＜x≤10时，y＝12x－12x2+2x－30＝－12x2＋10x－30；
当10＜x≤50时，y＝12x－14x+450x-115－30＝－2x－450x＋85.
故y＝-12x2+10x-30，0＜x≤10，-2x-450x +85，10＜x≤50.
(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大？求出年利润的最大值．
解：当0＜x≤10时，函数y＝－12x2＋10x－30为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x＝10，
所以y＝－12x2＋10x－30在(0，10]上单调递增，
故ymax＝－12×102＋10×10－30＝20(万元)．
当10＜x≤50时，y＝－2x－450x＋85＝85－2x+450x≤85－22x·450x＝25，
当且仅当2x＝450x，即x＝15时，等号成立，此时ymax＝25(万元)．
因为20＜25，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工所获年利润最大，最大值为25万元．
应用函数解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
1.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )
A．49%B．51%
C．65.7%D．72.9%
C 解析：依题意，得(1－30%)×N0＝N0e-2k，解得e-2k＝0.7.因此前6小时过滤后剩余污染物数量为N＝N0e-6k＝N0(e-2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的比例为N0-0.343N0N0＝65.7%.故选C.
2．某工厂生产某种零件的固定成本为20 000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q(单位：元)与产量x(单位：个)满足函数Q(x)＝400x-12x2，0≤x≤400，80 000，x＞400.
(1)将利润P(单位：元)表示为产量x的函数(总收入＝总成本＋利润)．
解：当0≤x≤400时，P(x)＝400x－12x2－20 000－100x＝－12x2＋300x－20 000；
当x＞400时，P(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x.
故P(x)＝-12x2+300x-20 000，0≤x≤400，60 000-100x，x＞400.
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元(单位利润＝利润÷产量)?
解：设零件的单位利润为g(x)，由(1)可得g(x)＝-12x-20 000x+300，0≤x≤400，60 000x-100，x＞400.
当0≤x≤400时，g(x)＝300－12x+20 000x≤300－2x2·20 000x＝100，
当且仅当x2＝20 000x，即x＝200时，等号成立；
当x＞400时，g(x)＝60 000x－100＜50.
故当产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元．
课时质量评价(十四)
1．(2024·枣庄模拟)某种动物繁殖量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( )
A．200只B．300只
C．400只D．500只
A 解析：由题意，繁殖量y与时间x的关系为y＝alg3(x＋1)．又这种动物第2年有100只，即当x＝2时，y＝100，所以100＝alg3(2＋1)，解得a＝100，故y＝100lg3(x＋1)．所以当x＝8时，y＝100×lg3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．
2．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是( )
A. B.
C. D.
B 解析：由于所给的圆锥形漏斗上口径大于下口径，当时间取12t时，漏斗中液面下降的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可得结果．故选B.
3．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
有一职工八月份收入20 000元，该职工八月份应缴纳个税为( )
A．2 000元B．1 500元
C．990元D．1 590元
D 解析：由题意，职工八月份收入为20 000 元，其中纳税部分为20 000－5 000＝15 000(元)，其中不超过3 000元的部分，纳税额为3 000×3%＝90(元)，超过3 000元至12 000元的部分，纳税额为9 000×10%＝900(元)，超过12 000元至 25 000 元的部分，纳税额为3 000×20%＝600(元)，所以该职工八月份应缴纳个税为90＋900＋600＝1 590(元)．故选D.
4．(新情境)北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．神舟十七号是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第二次载人飞行任务．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg pp0，其中大于0的常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．声压级的单位为分贝(dB)，声压的单位为帕(Pa)．若人正常说话的声压约为0.02 Pa，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大100 dB，则火箭发射时的声压约为( )
A．2 PaB．20 Pa
C．200 PaD．2 000 Pa
D 解析：设人正常说话时的声压级为Lp1，火箭发射时的声压级为Lp2，则Lp2-Lp1＝100.又人正常说话的声压p1＝0.02 Pa，火箭发射时的声压为p2，于是Lp1＝20×lg 0.02p0，Lp2＝20×lg p2p0，两式相减得20(lg p2－lg 0.02)＝100，解得p2＝2 000，所以火箭发射时的声压约为2 000 Pa.故选D.
5．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，ω(x)＝x2+10x，0＜x≤40， 71x+10 000x-945，x＞40.若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为( )
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
C 解析：由题意，设该企业每年利润为f(x)＝70x-x2+10x+25，0＜x≤40， 70x-71x+10 000x-945+25，x＞40.当0＜x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，在x＝30时，f(x)取得最大值875；当x＞40时，f(x)＝920－x+10 000x≤920－2x·10 000x＝720(当且仅当x＝100时等号成立)，即在x＝100时，f(x)取得最大值720.因为875＞720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．故选C.
6．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为 m.
10 解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·60-3x2＝－32x2＋30x＝－32(x－10)2＋150(0＜x＜20)，所以当x＝10时，y最大．
7．(2024·深圳模拟)某生物研究所于元旦在实验水域中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在水中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2，凤眼莲覆盖面积y(单位：m2)与月份x的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝px12＋q(p＞0，q＞0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
解：(1)函数y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝px12＋q(p＞0，q＞0)在(0，＋∞)上都是单调递增的，
随着x的增加，函数y＝kax(k＞0，a＞1)的值增长的越来越快，
而函数y＝px12＋q的值增长的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝kax(k＞0，a＞1)符合要求．
根据题意可知ka2=24，ka3=36，解得k=323，a=32．
故该函数模型的解析式为y＝323·32x，1≤x≤12，x∈N*.
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解：当x＝0时，y＝323，即元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323 m2，
由323·32x＞10·323，得32x＞10，
所以x＞lg3210＝lg10lg32＝1lg3-lg2≈5.68.
因为x∈N*，所以x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份是六月份．
8．(2024·惠州模拟)近期某市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)大于等于x·5%)．经测算该企业决定采用函数模型f(x)＝x30－ax＋b(a＞0，b＞0)作为奖金发放方案．
(1)若a＝b＝130，此奖金发放方案是否满足条件？说明理由．
解：不满足条件．理由如下：当a＝b＝130时，f(x)＝x30－130x＋130，因为y＝x30＋130在[2，8]上单调递增，y＝－130x在[2，8]上单调递增，
则f(x)＝x30－130x＋130在[2，8]上单调递增，所以条件①满足．
对于条件②，f(x)＝x30－130x＋130≥5%·x，即x30－130x＋130≥x20，
整理可得x2－2x＋2≤0，此不等式无解，不满足条件②.
故a＝b＝130不满足条件．
(2)若b＝13，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围．
解：当b＝13时，f(x)＝x30－ax＋13，
因为a＞0，所以f(x)在[2，8]上单调递增，奖金发放方案满足条件①.
由条件②，可知f(x)≥x20，即x60＋ax≤13在[2，8]时恒成立，
所以a≤－x260＋x3＝-x-102+10060在x∈[2，8]时恒成立．
因为函数y＝-x-102+10060在[2，8]上单调递增，
所以当x＝2时，y取得最小值35，即a≤35．
所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围为0，35．
性质
函数
y＝ax
(a＞1)
y＝lgax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象
的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有lgax＜xn＜ax.
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
全月应纳税所得额
税率
不超过3 000元的部分
3%
超过3 000元至12 000元的部分
10%
超过12 000元至25 000元的部分
20%