2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第03练 不等式及其性质（精练：基础+重难点）（含解析）

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1．结合集合，考查不等式的概念、性质以及作差法比较大小．
2．结合函数的图象，考查不等式的解法．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）若，，则m与n的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用作差法比较大小即可.
【详解】由题设，
所以．
故选：D
2．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等性质直接判断.
【详解】由于，的正负性不确定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同时当“”时也不能推出“，”，故必要性也不成立.
故选：D.
3．（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
4．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）若，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】举反例可判断选项A；利用不等式的性质可判断选项B；利用对数函数的单调性可判断选项C；作差法可判断选项D.
【详解】对于选项A：当时，若，
则，与矛盾，故选项A错误；
对于选项B：因为
所以由不等式性质可得，故选项B成立；
对于选项C：因为，函数在上单调递增
所以，故选项C成立；
对于选项D：因为，，
所以，故选项D成立.
故选：A
5．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误；
对于B，成立时，不一定成立，比如时，，
此时，错误；
对于C，举反例，当时，满足，此时，，
则有，错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：D
6．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】对于A，若，则不等式不成立，故A错误；
对于B，若，则不等式不成立，故B错误；
对于C，若，则不等式不成立，故C错误；
对于D，因为，所以，即，故D正确.
故选：D
7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用不等式的性质和幂函数单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以，即，
又因为，，所以，所以，即，
综述： .
故选：B.
8．（23-24高三上·四川·阶段练习）若实数a，b满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】举反例判断ABC，利用不等式性质判断D.
【详解】由于，不妨令，，可得，，所以，故A错误；
由于，不妨令，，可得，，所以，故B错误；
由于，不妨令，，可得，，
所以，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确.
故选：D
9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
举反例即可求解ABC,分类讨论，结合不等式的性质即可求解D.
【详解】若，满足，但不成立，故A错误，
若，满足，但，不成立，故B错误，
当时，不成立，故C错误，
当时，，显然成立，
当时，则，又，故成立，
当时，，显然成立，
故时都有，故D正确，
故选：D
二、多选题
10．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误；
对于B，由，得，而，因此，B正确；
对于C，取，，C错误；
对于D，由，得，因此，D正确.
故选：BD
11．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A选项，若，则A错误，
B选项，等价为，当时不成立，故B错误，
C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确；
D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确.
故选：CD
12．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如满足，但，故B错误；
对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D：例如满足，
但，即，故D错误；
故选：AC.
13．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由，得，所以，A正确．
因为，所以，所以0，所以，B正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，C正确．
因为，所以，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，，则a、b的大小关系是 ．
【答案】
【分析】将，式子分子有理化，利用分式的性质比较分母即可得答案.
【详解】，，
因为，所以，
.
故答案为：.
15．（23-24高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
16．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，则的范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由可得，而，
则，
故答案为：
17．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号
【答案】①
【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.
【详解】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件；
②当时， ；
③当，时，满足，有 ；
故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
18．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）实数满足，，则的取值范围是
【答案】．
【分析】
根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解.
【详解】设，
则，解得，所以，
因为，，所以，，
可得，即的取值范围为．
故答案为：．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高三上·山东德州·期中）已知实数，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】因为，则,A选项错误;
若，,,B选项正确;
若，取，
,C选项错误;
若，，取,则,D选项错误.
故选:B.
2．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列各式中一定成立（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合指数函数，基本不等式的性质逐项判断即可.
【详解】选项A：令不满足，选项错误；
选项B：只有当时，，令，不满足，选项错误；
选项C： 是定义域R内的减函数，，故有，选项错误；
选项D：是定义域R内的增函数，
又因为当时等号成立，故选项正确；
故选：D.
3．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确；
对于C，，
因为，所以，
所以，即，故C错误；
对于D，因为，
因为，所以，，，故D正确.
故选：C.
4．（23-24高三上·江苏连云港·期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指对函数的单调性与放缩估值法比较大小.
【详解】由，，
，故最小，
又，
因为，所以，
则有，∴，
故选：C.
5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误； C令，利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.
【详解】A：，又，则，，故，即，错误；
B：当时，不成立，错误；
C：由，即，当时有，错误；
D：由，则，正确.
故选：D.
6．（22-23高二下·广西·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明当，时，有.进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出答案.
【详解】当，时，有，
则，
所以.
所以，
所以，即．
故选：B.
7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可.
【详解】因为，，，所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.
故选：A.
8．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知，则必有（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】D
【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可.
【详解】因为，所以，
所以
，所以，
，所以，
符号不能确定，所以的大小不能确定
所以且.
故选：D.
9．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】应用对数运算及运算律,再应用不等式的性质分别判断各个选项即可.
【详解】由题意可得，，则，且，即.
因为，所以，则A错误.
因为，所以，即，则B错误.
.因为，所以，即，则C正确.
因为，所以，即，则D错误.
故选:C.
二、多选题
10．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，
于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，而，此时，选项B错误.
故选：ACD.
11．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
12．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在使得D．若且，则
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．
对于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正确．
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误．
对于D，由，得．由，得．
因为，所以，所以，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质求解.
【详解】设，
解得：
因为所以，
因为，所以
所以
故答案为：.
14．（22-23高一上·吉林·阶段练习）若实数，满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将表示成关于和的表达式进行求解即可.
【详解】由不等式的性质求解即可．
解：，
因为实数，满足，
所以，
即的取值范围为．
故答案为：．
15．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③.
【详解】对于①，取，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当，要证，即证，
即，即证，
而恒成立，
当时，，所以，故③正确.
对于④，，所以，故④正确.
故答案为：②③④.
16．（22-23高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高三上·广西南宁·阶段练习）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，，然后利用换底公式及作差法即得.
【详解】∵，，，
又，
，
所以，即，
，即，
∴.
故选：A.
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，再由，转化为，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】由，且，可设，
因为等差数列，所以，
所以，
又因为，可得，所以，
所以的取值范围为．
故选：A.
3．（2024·云南大理·模拟预测）若为函数（其中）的极小值点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】时为单调函数，无极值点不符合题意；令有两根为或，分、讨论，根据为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
由于，且，故有两根为或
①当时，若为极小值点，则需满足：，故有，
可得；
②当时，若为极小值点，则需满足：，故有：，
可得.
故A，B选项错误，综合①②有：.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据为极小值点得到的关系再结合不等式的性质解题.
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为 .
【答案】
【分析】根据最小值的定义可得答案.
【详解】，，
又得，可得，即，
当即时等号成立
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解.
5．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.
【详解】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
【答案】
【分析】
由题意可得，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】
因为对任意，
所以必须满足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，则
的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对，
故答案为：.