2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第04练 基本不等式及其应用（精练：基础+重难点）（含解析）

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1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最值问题．
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

四、解答题
4．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为3.
故选：D
3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ）
A．B．3C．1D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式，直接计算即可.
【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意.
故选：B.
4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】利用基本不等式和不等式的加法性质即可求解.
【详解】因为，
当且仅当时取等号，所以的最小值为8.
故选：C.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，当且仅当时，等号成立，
则，故.
故选：B.
6．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正数a，b满足，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
7．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，可得，
且，，可知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选：B.
8．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（ ）
A．6B．4C．8D．3
【答案】A
【分析】由平面向量共线的坐标表示得到，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且与共线，
所以，所以，又，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：A
9．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助已知可变形得，借助基本不等式可求范围.
【详解】根据已知，可得，
则，
因为，所以，所以上式，
当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围是.
故选：D
10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故，即，故A错误；
对B：由，，则，且，
当且仅当时，等号成立，故，故B正确；
对C：由，故，即有，
又由B可得，即，故C错误；
对D：由，故，即，故D错误.
故选：B.
11．（2024·山东枣庄·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【详解】若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解.
【详解】由题意均为正实数，，
所以，
左边第一个不等号成立的条件是，右边第二个不等号成立的条件是，
综上所述，当且仅当时，取最小值，且.
故选：B.
二、多选题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)；
，但是等号取不到；
因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号；
因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号).
故选：ACD.
14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．a与b可能相等
C．D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得.
【详解】由正数a，b满足，得，A错误；
若，则，而a为正数，则，B正确；
显然，则，当且仅当时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：BD
15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据已知可直接得到A；根据换元法得B；乘“1”法得到C；基本不等式判断D即可.
【详解】对于A，由题可得，即，故A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B不正确；
对于，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于D，，当且仅当时，等号成立，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题
16．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ．
【答案】 5 14
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最小值为.
故答案为：；.
17．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据基本不等式求解．
【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是．
故答案为：．
18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为为正数，，
所以，即，当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：4．
19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为曲线过定点，
所以，即，则
，
当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2．
故答案为：2
20．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
故答案为：9
21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．

【答案】
【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.
【详解】由题意米，
则直角梯形花坛的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当米时，直角梯形花坛的面积最大．
故答案为：.
22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用均值定理即可求得的最小值.
【详解】，
因为，故，
（当且仅当，即时取等号．）
则的最小值为,
故答案为：
四、解答题
23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元
【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
∴.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行求解即可.
【详解】（1）
∵，，，∴，，
当且仅当时，等号成立.∴；
（2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立；
∵，，∴，当且仅当时，等号成立；
∵，，∴，当且仅当时，等号成立；
累加，得，证毕.
25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）
(1)求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式．
(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式；
（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可．
【详解】（1）依题意，
当时，，
当时，，
故；
（2）若，，
当时，，
若，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，，又，
故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：
(1)对任意的正实数，，，证明：；
(2)设，，为正实数，且，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案；
（2）由基本不等式得到，相加后得到答案.
【详解】（1）由基本不等式可得，
所以，
即
当且仅当时取等；
（2）因为
所以，即，
因为
所以，
所以，当且仅当时取等
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.
【详解】，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5.
故选：A.
2．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（ ）
A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】由题意，，，利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最大值.
故选：D.
3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，且，所以，
从而，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故选：A.
4．（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由，
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用对数函数的性质即可判断；对于CD，利用对数的运算得到，结合基本不等式即可判断.
【详解】因为，所以，
对于A，易得，所以，故A成立.
对于B，因为，所以，故B成立.
对于C，，
当且仅当时，等号成立，
显然等号不成立，所以，故C不成立.
对于D，因为且，
所以，故D成立.
故选：C.
6．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义与对数运算可得，结合奇函数的定义域可得，在利用基本不等式即可得的最小值.
【详解】若为奇函数，则，
所以，
则，整理得，
又因为，奇函数的定义域满足，
即，结合可得，即，
故
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值.
故选：B.
7．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得（cm），（cm），，
设，则，且，
，
故
所以，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以．
因为，
令，则，，
所以，
由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，
所以当时，，
所以.
故选：B．
9．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】
先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度.
【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.

由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形.
所以，健身广场的面积.
从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有：
，第一个不等号使用了基本不等式.
等号成立当且仅当且，即且.
由于时，故等号成立当且仅当.
以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当.
由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为.
最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确.
故选：D.
二、多选题
10．（2023·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D；
【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；
对于B，，，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，，，则，
则，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，而，故，D正确，
故选：ABD
11．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知且，时取等号，
所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知．则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为3D．
【答案】BD
【分析】对于A：求关于b的函数的最值并验证等号的取得；对BC：使用基本不等式求最值并验证等号的取得；对D：求关于b的函数的最值并验证等号的取得.
【详解】因为，，所以，，
对于A：，
当，即时，有最大值，而，取不到最值，故A错，
对于B：，
当且仅当，即当时取等号，所以B正确，
对于C：
，
当且仅当，即时等号成立，而，所以取不到最值，故C错，
对于D：因为，所以，所以，
设，，则，
所以在上递减，所以，所以，故D正确，
故选：BD
三、填空题
13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为 ．
【答案】10
【分析】利用基本不等式求积的最大值即可.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故的最大值为10．
故答案为：10
14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据基本不等式求最大值即可.
【详解】因为，，，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为为,
故答案为：.
15．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
【答案】/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
16．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
17．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【详解】因为，
所以设，则，
所以，，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
19．（2024·全国·二模）已知实数，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由得，
当且仅当时等号成立，
所以；
（2）由已知，则，
则
，
当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.
所以的最小值.
20．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证．
（2）将代入“”中，从而利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）由，所以．
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
（2）因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

(1)若测得EC的长为80米，求的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）
【答案】(1)62.5米
(2)E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米，6828元．
【分析】（1）由，结合三角形的面积公式求解即可.
（2）设米，米，，．由余弦定理和三角形的面积公式可求出，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）依题意得平方米，
由米，得平方米，
解得米，即CF的长为62.5米，
（2）设米，米，，．
在△ECF中，由余弦定理可得，
因为平方米，所以米，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小．
当时，不锈钢网的面积为平方米，
所需的花费最少为元．
22．（2023·贵州黔西·一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
所以若证，
即证，
又，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，．
(1)若，证明：．
(2)若，求的最小值．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，要证，即证，利用基本不等式计算可得；
（2）利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可；
（3）依题意可得，再利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可.
【详解】（1）因为，
所以，
又，，则，
要证，即证，
即证，
而，当且仅当，即时等号成立，
所以原命题得证；
（2）因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以或（舍去），当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（3）因为，
所以，则，
又，当且仅当时等号成立，
即，所以，显然，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值.
【详解】，
，又均为正实数，
（当且仅当时取"=")，
，此时.
，
，当且仅当时取得"="，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
【点睛】对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元.
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据函数定义可知，，，再由基本不等式可得当时，取得最小值2.
【详解】由，得，，，
所以，即，因为，所以；
由基本不等式可得，所以，
所以，，
当，即时，取得最小值2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出，，，再结合基本不等式求得.
4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】
法一：∵，
∴可设，，
∴，代入所求式子得，
，
当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.
法二：设，，
代入已知等式得，，
∴
，
其中，.
∴，所以的最小值为.
故选：D
二、多选题
5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于，故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
即的最小值为 ，A正确；
对于B，由于，，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，得，
故
由于，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，则，
故，
由于，故，
，
则，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解.
三、填空题
6．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
【答案】8
【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】由条件知令，
则，
令，
则，
当时，，当时，时，，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最大值，
故答案为：
四、解答题
8．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过，，，三式相加，可得：
.
再根据，，∴，，且，可得结果.
（2）先用公式和把原式转化为：
，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为，且，所以，，所以，
所以．
故.
（2），
，
当且仅当，时取等号，
的最大值为．
9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
(1)若注射药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段；
（2）由两次注射的血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）注射该药品，其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得．
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．
（2）设从第一次注射起，经小时后，
其浓度，则，
因为，
当时，即时，等号成立．
，当时，，
所以，因为，
解得，所以．
当时，，，所以不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．