2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第05练 一元二次不等式及其应用（精练：基础+重难点）（含解析）

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1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.
3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，
所以.
故选：B
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意，，或
所以.
故选：A．
3．（2024·山西·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】或，
，
所以.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解对数不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得．
【详解】由得，解得，
所以．
由解得，即，
所以.
故选：B．
5．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解.
【详解】不等式解得，
不等式，即，解得，
可得.
故选：D.
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出集合、后，结合交集与补集的定义即可得.
【详解】由，得，则，则或，
由，得，则，
所以.
故选：C．
7．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．C．12D．7
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解集求参数，即可得结果.
【详解】由题设是的两个根，且，
所以，故.
故选：C
8．（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，
而，当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
9．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
10．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以或，
又由不等式，
当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，即，
此时不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，即，
要使得，则满足，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
11．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）下列不等式的解集为的是（ ）
A．B．
C．D．（其中是自然对数的底数）
【答案】ABD
【分析】利用一元二次不等式的解法判断ABC；利用指数函数的值域判断D.
【详解】对于A，恒成立，不等式的解集为，A是；
对于B，恒成立，不等式的解集为，B是；
对于C，，则或，不等式的解集不是，C不是；
对于D，函数的值域为，即，，D是.
故选：ABD
12．（23-24高三上·黑龙江·期中）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件，得解集，则充分不必要条件是集合的非空真子集，验证选项即可.
【详解】当不等式对任意恒成立时，
有，解得，记.
当的取值范围是集合的非空真子集时，即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件，
AB选项中的范围满足题意.
故选：AB
三、填空题
13．（23-24高三下·上海·开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．
【详解】由,可得，
即，
解得或．
故答案为：或．
14．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知集合，则 ．
【答案】
【分析】列举法表示M，由交集的定义求.
【详解】因为，
又，所以．
故答案为：
15．（23-24高三上·重庆长寿·期末）关于的不等式的解集为，则 ..
【答案】
【分析】由题意可得为方程的根，再由根与系数的关系求解即可.
【详解】由的不等式的解集为，
可得为方程的根，
所以，解得：，
所以.
故答案为：.
16．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】当时，不等式为，显然不符合题意；
当时，因为关于的不等式的解集为，
所以有，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
17．（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 .
【答案】
【分析】把不等式化为 , 讨论 和 时, 求出不等式的解集, 即可得出满足题意 的取值范围.
【详解】关于的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
故答案为:.
四、解答题
18．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式求集合，再求；
（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，分、和三种情况，根据包含关系运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，，
所以.
（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，
因为不等式等价于，则有：
当时，，满足题意；
当时，，则；
当时，；
综上所述：实数m的取值范围.
19．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的方程有实根，集合.
(1)求的取值集合；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；
（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【详解】（1）方程有实根，
若，该方程无解；
若，则，解得或，
综上，.
（2）若，则，
当时，，符合题意；
当时，，
∵，∴或，∴，
综上，.
20．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，不等式的解集是．
(1)求的解析式；
(2)不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，是关于的一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，分别解出各不等式，再由正整数解的个数确定该正整数解为､，从而得到，解得即可.
【详解】（1）因为，不等式的解集是，
所以，是关于的一元二次方程的两个实数根，
可得，解得，所以；
（2）不等式，即，
由，解得或，
由，即，解得，
因为不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为､，
所以，解得，则实数取值范围是；
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高三下·江西赣州·期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为可得，
由可得：或，解得：或
因为或，所以.
故选：C.
2．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由得，解得，
由得，所以，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得或，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由集合，且，
所以或，
因为，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D．
4．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【详解】由题意，二次不等式的解集为，
则等价于，即，即，
当时，不能推出，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用含有一个量词命题的否定转化为不等式对恒成立，根据判别式可求得.
【详解】根据题意可知，命题的否定为“，”为真命题；
即不等式对恒成立，
所以，解得；
可得的取值范围为.
故选：C
6．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根，
又，即二次函数有两个异号零点，
所以要满足不等式在区间上有解，
所以只需，
解得，所以实数m的取值范围是．
故选A．
7．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.
【详解】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
二、多选题
8．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
【答案】CD
【分析】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【详解】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【分析】求得a的取值范围判断选项A；求得不等式的解集判断选项B；求得的取值范围判断选项C；求得不等式的解集判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为或，
则和是方程的二根，且
则，解之得，
由，可得选项A判断正确；
选项B：不等式可化为，
解之得，则不等式解集为.判断正确；
选项C：.判断错误；
选项D：不等式可化为，
即，解之得或.
则不等式的解集为或.判断正确.
故选：ABD
10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a