2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第02练 常用逻辑用语（精练：基础+重难点）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第02练 常用逻辑用语（精练：基础+重难点）（含解析），共28页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】
解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】
当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】
由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
5．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。
【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”.
故选：C
2．（2024·山东·二模）已知命题：若是自然数，则是整数，则是（ ）．
A．若不是自然数，则不是整数B．若是自然数，则不是整数
C．若是整数，则是自然数D．若不是整数，则不是自然数
【答案】B
【分析】命题的否定，不否定条件，只否定结论.
【详解】是“若是自然数，则不是整数”.
故选：B
3．（2024·山东·二模）已知，若集合，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，可得或，再由充分不必要条件的定义即可得答案.
【详解】因为，
则或，
所以，
由推不出.
故选:A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据万能公式得到方程，求出，从而得到命题是命题的充分不必要条件.
【详解】，
解得，
故，所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：B
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】，则在复平面内对应的点为；
点位于第四象限的充要条件是，即；
故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
6．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助充分条件与必要条件的定义，结合基本不等式或举反例的方式计算即可得.
【详解】由已知，当时，，
，
当且仅当时，等号成立，
故“”是“”的充分条件；
当时，，此时，
故“”不是“”的必要条件；
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故.
【详解】构造函数，则在上单调递增，
所以．
故选：C．
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，因为不等于0，
所以，若时，无法得出，
所以“”不是“”的充分条件；
若“”，则，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2024·全国·模拟预测）设是两条相交直线，是两个互相平行的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用线面平行判定、面面的性质，结合充分条件与必要条件的定义判断得解.
【详解】若是两条相交直线，，且，由，则存在过直线的平面与相交，
令交线为，于是，显然与也相交，令交线为，则，因此，
由是两条相交直线，，知，否则与有公共点，所以，即充分性成立；
若是两条相交直线，，且，则或者，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
10．（2024·四川·模拟预测）“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择.
【详解】等价于，即，
因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足；
所以“”的一个必要不充分条件是．
故选：B．
11．（2024·内蒙古包头·二模）设m，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过举反例说明“”不是“”的充分条件，再由对数的运算性质由推得，即得结论.
【详解】由不能推出，如满足，
但无意义，故“”不是“”的充分条件；
再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
12．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量夹角为锐角得到关于的不等式组，进而求得的取值范围，再结合为假命题取的取值范围的补集即可得解.
【详解】当向量向量与的夹角为锐角时，
有且与方向不相同，即，解得且，
因为是假命题，所以实数的取值范围是.
故选：C.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知命题p：∃x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[37，＋∞)
B．[13，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．(－∞，13]
【答案】C
【详解】
∵ p：∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0为真命题，即∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0成立，即a≥x＋能成立．设f(x)＝x＋，则f(x)＝x＋≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时，取等号，即f(x)min＝12，∴ a≥12，故实数a的取值范围是[12，＋∞).故选C.
14．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设椭圆的离心率为，则“”，是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.
【详解】因为椭圆的离心率为，
当时，，则；
当时，，则；
所以推不出，即充分性不成立；
当时，则，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15．（2023·湖南邵阳·二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则，列出不等式组求解即可.
【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
16．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可．
【详解】由题，，，
当时，有，符合题意；
当时，有，此时，所以或，所以.
综上，实数的所有可能的取值组成的集合为.
故选：A.
17．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式，然后由题意可得是的真子集，从而列不等式可求得结果.
【详解】由，解得，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以，经验证，端点值满足条件，故.
故选：B
18．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.
【详解】，，即恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，故.
对比选项知A满足.
故选：A
19．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为对任意的，不等式恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由命题“”为假命题，可得命题“”为真命题，
即对任意的，不等式恒成立，
则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
20．（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知是公比为3的等比数列，：当时，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当成立时，借助等比数列性质计算可得，当成立时，可举出反例，故是的充分不必要条件.
【详解】若是公比为3的等比数列，
则有，
即当时，成立，故是的充分条件；
若当时，，取符合要求，
故不是的必要条件；
即是的充分不必要条件.
故选：A.
21．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知，，则是方程的解的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.
【详解】因为，所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：，函数的最小值为.
若“是方程的解”，则，那么就是函数的最小值，
所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分条件；
若“，”，则为函数的最小值，所以，即，
所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要条件.
综上可知：“是方程的解”的充要条件是“，”.
故选：C
二、填空题
22．（22-23高二下·四川绵阳·期中）写出“实数x、y满足条件”的一个充分不必要条件： （答案不唯一）
【答案】，（此题答案不唯一）
【分析】根据充分不必要条件的定义填空即可
【详解】根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令，，而不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）
故答案为：，.
23．（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.
【详解】，解得，设，，
若是的充分不必要条件，则，
则有，且等号不会同时取到，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
24．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，是非零向量，则是成立的 条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】因为，所以共线且方向相同，
因为表示方向上的单位向量，所以，
而当时，可得共线且方向相同，但不一定是，
所以是成立的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
25．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案.
【详解】是假命题，
是真命题，
，，
，，
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，
，可取到，
，
，
故答案为：.
26．（23-24高三上·湖南永州·阶段练习）已知：，，若真假，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据式恒成立，和方程无实数解可得.
【详解】等价于，
因为命题p为真，所以不等式恒成立，
易知，时不满足题意，
所以，解得；
因为为假，所以方程无实数解，
所以，解得.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·二模）已知是两个平面，是两条直线，且，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.
【详解】用平面代表平面，平面代表平面，
当如图所示时显然m与平面不垂直，
反之，当时，又，根据线面垂直的性质有，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A.
2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性.
【详解】，，满足，但，故甲不是乙的充分条件；
令，则，故在单调递增，
即，也即在恒成立，则在恒成立；
故当时，，，甲是乙的必要条件.
综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
4．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项，
当“”时，集合恰有两个元素，
故充分性成立，对于必要性，当时，
“集合也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
5．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.
【详解】对于AC，当时，，
所以，故A正确，C错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于D，，
因为，所以，故D错误.
故选：A.
6．（2024·青海·模拟预测）记数列的前n项积为，设甲：为等比数列，乙：为等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若为等比数列，设其公比为，则，，
于是，，当时，不是常数，
此时数列不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若为等比数列，令首项为，公比为，则，，
于是当时，，而，
当时，不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，则，
，
若是奇函数，则，解得，
若是偶函数，则，解得，
所以若是偶函数且是奇函数，则，
所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；
由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，
所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
8．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
所以有解，
所以，
又，
因为，所以，
即.
故选：B.
9．（2024·全国·模拟预测）在中，命题，命题，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换解命题P可得A，B，C必有一个为直角；根据平面向量的线性运算与垂直关系的向量表示解命题Q可得A为直角，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】命题P：由，及，
得，
∴
，
得，则，，必有一个为0，
∴A，B，C必有一个为直角．
命题Q：由得，
即，得，即，∴A为直角，
故P是Q的必要不充分条件.
故选：B．
二、填空题
10．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 .
【答案】（或,答案不唯一）
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
【详解】，，成等差数列，
则，即，解得或，
故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或．
故答案为：（或,答案不唯一）
11．（2024高三·全国·专题练习）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.
【详解】由可得，则，
所以，解得.
因为“”是“”的一个充分条件，
所以的一个可能取值为（答案不唯一，均满足题意）．
故答案为：（答案不唯一，均满足题意）.
12．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，可得.
若，则有，符合题意；
若，则有，解得，不符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据有两个正的穿越零点，求得有两个极值点的充要条件，再求其充分不必要条件即可.
【详解】由题可得，
若满足题意，则有两个正的穿越零点，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，当趋近于正无穷时，趋近于，
若有两个正的穿越零点，则，解得，
即有两个极值的充要条件是：，
根据选项，则有两个极值的一个充分不必要条件是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对，分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，从而求得有两个极值点的充要条件.
2．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，则甲：数列为递增数列，乙：，恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分必要条件的定义，分别讨论甲乙的充分性与必要性，结合等比数列的通项公式分类讨论即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则．
当为递增数列时，，即，恒成立，故充分性成立；
当，恒成立时，，即，
若，则或，
当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
若，则或，
当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列．
综上所述，当，时，为递增数列，故必要性成立；
所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论解不等式，从而推得其必要性成立.
3．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】
根据题意可构造函数，利用函数单调性解不等式即可解得，再由集合间的关系可得结论.
【详解】
设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增.
由可得，
即，又在上单调递增，所以，解得，
显然集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于根据构造函数，并将不等式变形，利用单调性解不等式即可得结论.
4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件.
【详解】由得；
①当时，，则，解得，
因为，，满足题意；
②当时，，
若存在唯一的，使得成立，
则与有且仅有一个交点，
在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，
所以，，解得，此时，；
③当时，，
由②同理可得，解得：，则.
综上所述：原命题成立的充要条件为.
故选：D.
5．（2024·上海闵行·二模）已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
【答案】A
【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较.
【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，
若则则，
即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；
对于，
由即知，
设，则与一一对应且随的增大而增大，，
又由知，
结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小，
所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数，
由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图

代入点可得，所以的区域是右半部分，
面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.
故选：A.