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2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第01练 集合（精练：基础+重难点）（含解析）
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这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第01练 集合（精练：基础+重难点）（含解析），共23页。
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】
由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】
根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】
依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
6．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
7．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
8．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·北京丰台·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
3．（2024·山东·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.
【详解】由可得，
所以.
故选：B
4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数.
【详解】，故其子集的个数为8，
故选：D.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：C
7．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确；
不能判断，也不能判断，CD错误.
故选：B
8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
9．（2024·全国·模拟预测）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合,根据集合的运算的定义求.
【详解】由题意，得
因为，即，解得或
则，所以.
故选:D.
10．（2024·四川泸州·三模）已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法求得，结合中有且仅有一个元素，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得，即，
因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，
即实数的取值范围为.
故选：B.
11．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.
故选：D.
二、多选题
12．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为，
所以，即，
所以有个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.
故选：BCD.
13．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.
【详解】因为，
所以或或，
所以或或，
故选：ABD．
14．（2024·广西·二模）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或，
则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
16．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 .
【答案】31
【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解.
【详解】共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31
17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设，，若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.
【详解】因为，
又，所以，
当时，符合题意；
当，则，解得，
综上可得或.
故答案为：或
18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由，得,解得，
所以.
因为，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
19．（2024高三·全国·专题练习）设集合，且，，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据且得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
即，
因为且，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
(1)当时，求与；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.
【详解】（1），
当时，，
所以，
．
（2）因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
21．（2024高三·全国·专题练习）设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．
(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．
(2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？
(3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．
【答案】(1)
(2)可以,48
(3)(答案不唯一)
【分析】(1)根据运算“”的定义代入运算即可.
(2)由题知点在直线上,代入直线方程,解得,的值,再根据运算“”的定义代入运算即可.
(3)根据点在直线是上,求得,,的值与关系,再根据运算“”的定义代入运算,即可求得的范围,在相关范围内取值均可.
【详解】（1）由运算“”的定义知,.
（2）∵,即点在直线上,∴,得．
同理由,得．
由运算“”的定义知,．
所以可以确定，值为48.
（3）由,知,即,且,即.
由运算“”的定义知,,解得．
取,知,此时,即符合题意．
取,知,即也符合题意．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
2．（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故ABD错误，故C正确；
故选：C
3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，然后根据，即可求解.
【详解】由，得，所以，
因为，，所以，故D正确.
故选：D.
4．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（ ）
A．6B．7C．8D．不确定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素.
【详解】因为全集，，
所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，
所以，
故选：B
6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个B．9个C．10个D．14个
【答案】D
【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.
【详解】不妨设，则：
的2划分有，，，，，，；
的3划分有，，，，，；
的4划分只有.
综上，的划分共有个，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,因为⊕，所以，，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为⊕，所以，，
即与是相同的，所以，B正确；
对于C,因为⊕，所以，，
所以，即C错误；
对于D由于
，
而，故，即D错误．
故选：AB．
三、填空题
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 .
【答案】/0.5
【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.
【详解】由有4个子集，所以中有2个元素，
所以，所以 ，
所以满足，或，
综上，实数的取值范围为，或，
故答案为：
9．（2024·湖南·二模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围.
【详解】由题知：可取，
若.则，
即集合，得，即的取值范围为.
故答案为：
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
二、多选题
2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（ ）
注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由于,所以
故，故A错误，
对于B，若,则，此时满足，
若且时，，
若且时，，
若且时，，
综上可得，故B正确，
对于C，
而，
由于，所以
故,C正确，
,
当时，此时中至少一个为1，所以，
当时，此时均为0，所以，
故,故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：充分利用的定义以及的定义，由此可得时，此时均为0，时，此时中至少一个为1，结合的定义化简求解.
三、填空题
3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则 .
【答案】
【分析】根据错位相减可得中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为，因此，即可求解．
【详解】由题意知集合中的元素分别为，，，，，
设①，则②，
①②，得，所以．
由于集合中每一个元素在子集中出现的次数为，所以．
故答案为：．
四、解答题
4．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.
例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.
(1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；
(2)证明：①；
②.
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①取特殊函数满足定义域为，值域为即可利用其证明
②设，，假设，利用反证法得证.
【详解】（1）设，，令
则C与D存在一一对应，所以集合.
（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，
如：或等等均可，
②设，，
假设，即存在对应关系：为一一对应，
对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在.
记，则，故，
从而存在，使得；
若，则，矛盾；
若，则，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以.
5．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】
由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】
根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】
依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
6．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
7．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
8．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·北京丰台·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
3．（2024·山东·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.
【详解】由可得，
所以.
故选：B
4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数.
【详解】，故其子集的个数为8，
故选：D.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：C
7．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确；
不能判断，也不能判断，CD错误.
故选：B
8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
9．（2024·全国·模拟预测）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合,根据集合的运算的定义求.
【详解】由题意，得
因为，即，解得或
则，所以.
故选:D.
10．（2024·四川泸州·三模）已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法求得，结合中有且仅有一个元素，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得，即，
因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，
即实数的取值范围为.
故选：B.
11．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.
故选：D.
二、多选题
12．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为，
所以，即，
所以有个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.
故选：BCD.
13．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.
【详解】因为，
所以或或，
所以或或，
故选：ABD．
14．（2024·广西·二模）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或，
则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
16．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 .
【答案】31
【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解.
【详解】共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31
17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设，，若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.
【详解】因为，
又，所以，
当时，符合题意；
当，则，解得，
综上可得或.
故答案为：或
18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由，得,解得，
所以.
因为，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
19．（2024高三·全国·专题练习）设集合，且，，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据且得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
即，
因为且，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
(1)当时，求与；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.
【详解】（1），
当时，，
所以，
．
（2）因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
21．（2024高三·全国·专题练习）设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．
(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．
(2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？
(3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．
【答案】(1)
(2)可以,48
(3)(答案不唯一)
【分析】(1)根据运算“”的定义代入运算即可.
(2)由题知点在直线上,代入直线方程,解得,的值,再根据运算“”的定义代入运算即可.
(3)根据点在直线是上,求得,,的值与关系,再根据运算“”的定义代入运算,即可求得的范围,在相关范围内取值均可.
【详解】（1）由运算“”的定义知,.
（2）∵,即点在直线上,∴,得．
同理由,得．
由运算“”的定义知,．
所以可以确定，值为48.
（3）由,知,即,且,即.
由运算“”的定义知,,解得．
取,知,此时,即符合题意．
取,知,即也符合题意．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
2．（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故ABD错误，故C正确；
故选：C
3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，然后根据，即可求解.
【详解】由，得，所以，
因为，，所以，故D正确.
故选：D.
4．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（ ）
A．6B．7C．8D．不确定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素.
【详解】因为全集，，
所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，
所以，
故选：B
6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个B．9个C．10个D．14个
【答案】D
【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.
【详解】不妨设，则：
的2划分有，，，，，，；
的3划分有，，，，，；
的4划分只有.
综上，的划分共有个，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,因为⊕，所以，，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为⊕，所以，，
即与是相同的，所以，B正确；
对于C,因为⊕，所以，，
所以，即C错误；
对于D由于
，
而，故，即D错误．
故选：AB．
三、填空题
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 .
【答案】/0.5
【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.
【详解】由有4个子集，所以中有2个元素，
所以，所以 ，
所以满足，或，
综上，实数的取值范围为，或，
故答案为：
9．（2024·湖南·二模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围.
【详解】由题知：可取，
若.则，
即集合，得，即的取值范围为.
故答案为：
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
二、多选题
2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（ ）
注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由于,所以
故，故A错误，
对于B，若,则，此时满足，
若且时，，
若且时，，
若且时，，
综上可得，故B正确，
对于C，
而，
由于，所以
故,C正确，
,
当时，此时中至少一个为1，所以，
当时，此时均为0，所以，
故,故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：充分利用的定义以及的定义，由此可得时，此时均为0，时，此时中至少一个为1，结合的定义化简求解.
三、填空题
3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则 .
【答案】
【分析】根据错位相减可得中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为，因此，即可求解．
【详解】由题意知集合中的元素分别为，，，，，
设①，则②，
①②，得，所以．
由于集合中每一个元素在子集中出现的次数为，所以．
故答案为：．
四、解答题
4．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.
例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.
(1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；
(2)证明：①；
②.
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①取特殊函数满足定义域为，值域为即可利用其证明
②设，，假设，利用反证法得证.
【详解】（1）设，，令
则C与D存在一一对应，所以集合.
（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，
如：或等等均可，
②设，，
假设，即存在对应关系：为一一对应，
对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在.
记，则，故，
从而存在，使得；
若，则，矛盾；
若，则，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以.
5．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
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