中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题08四边形的计算与证明(江苏真题22道模拟28道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题08四边形的计算与证明(江苏真题22道模拟28道)(原卷版+解析)，共117页。
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
一.平行四边形的性质与判定
1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
2．平行四边形的性质：
（1）边：两组对边分别平行且相等．
（2）角：对角相等，邻角互补．
（3）对角线：互相平分．
（4）对称性：中心对称但不是轴对称．
3.平行四边形的判定：
（1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4） 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
4.三角形的中位线
（1）三角形两边中点的连线叫中位线。
（2） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
5.利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
二.矩形的性质与判定
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
⑥由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定
3.矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
方法技巧：
①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3.菱形的性质与判定
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
（3）菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
4.正方形的性质与判定
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（3）正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、平行四边形的计算与证明综合
【例1】（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD边于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
【变式练习】
1．（2022·江苏常州·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
2．（2022·江苏扬州·统考二模）请在①AE=CF；②AB=CD；③AB∥CD这三个条件中任选一个补充在下面题目的横线上使之成为真命题，并解答出后面的问题．
(1)已知，如图，四边形BEDF是平行四边形，点A、C在对角线EF所在的直线上，______（填写序号）．
求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接AD、BC，若AC平分∠BAD，已知AB=10，AC=16．求四边形ABCD的面积．
3．（2022·江苏常州·常州市朝阳中学校联考一模）如图，四边形ABCD中，∠DAC=∠BCA=90°,∠ABC=∠D．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)用尺规在CB的延长线上找一点E，使得AB平分∠EAC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)在（2）的条件下，若tan∠AEC=34,BE=5，求AD的长．
考向二、矩形的计算与证明综合
【例2】（2021·江苏苏州·校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【变式练习】
4．（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是▱ABCD外的一点，有3个选项：①∠AEC=90°，②∠BED=90°，③∠ABC=90°．
(1)请从3个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的两个条件是________，结论是________（只要填写序号）；
(2)在（1）的条件下，若AB=AO，求∠BEC的度数．
5．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD=3，MN=1，求AB的长．
6．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α得到矩形AEFG，其中点B的对应点E恰好落在边CD上，连结BG交AE于点G，连结BE．
(1)求证：BE平分∠AEC；
(2)求证：BH=HG．
考向三、菱形的计算与证明综合
【例3】（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
(1)求证：四边形BECF是平行四边形．
(2)当△ABC满足____________条件时，四边形BECF为菱形．（填写序号）
①AB=AC．②∠BAC=90°，③AB=BC，④∠BCA=90°．
【变式练习】
7．（2019·江苏连云港·统考模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
8．（2021·江苏南通·统考一模）已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝12，点E，F分别在边AD，AB上，将△AEF沿着直线EF折叠，使得点A落在G点．
(1)如图1，若点G恰好落在AC上，且CG＝3，求DE的长；
(2)如图2，若点G恰好落在BD上，且BG＝3，求DE的长．
9．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长．
考向四、正方形的计算与证明综合
【例4】（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，正方形ABCD，点E是BC边上的动点，点F在DE延长线上，连接AF、BF．
(1)若∠DFB=90°．
①求证：FA平分∠DFB；
②连接FC，用等式表示线段BF、FC与AF之间的数量关系，并说明理由；
(2)若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值．
【变式练习】
10．（2020·江苏常州·统考二模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE,CE延长AE交CD边于点F．
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)设∠AEC=α，∠AFD=β，试求β（β用含α的代数式表示）．
11．（2022·江苏盐城·统考一模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．连接DE、DF、BE、BF．
(1)证明：△ADE≌△CBF；
(2)若AB=52，AE=3，求四边形BEDF的周长．
12．（2021·江苏扬州·校考一模）矩形ABCD中，E为AB边上的中点， AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H．求证：BG2=AG·DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若ADAB=43， BG=5，求AG的长．
考向五、四边形与最值综合问题
【例5】（2021·江苏盐城·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．
（1）如图1，当AE＝ 时，A′D∥BE；
（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
【变式练习】
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
15．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF+PM的最小值．
考向六、四边形与几何压轴问题
【例6】（2021·江苏连云港·校考一模）（1）【探究发现】
如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，∠BOD＝120°，OD＝34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝13，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．
【变式练习】
16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知正方形ABCD，动点P在AB上运动，过点B作BE⊥射线DP于点E，连接AE．
(1)如图1，在DE上取一点F，使DF=BE，连接AF，求证：AE=AF；
(2)如图2，点P在AB延长线上，求证：BE+DE=2AE；
(3)如图3，若把正方形ABCD改为矩形ABCD，且CDAD=12，其他条件不变，请猜想DE，BE和AE的数量关系，直接写出结论，不必证明．
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．
18．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出△CEF的面积．
考向七、以四边形为载体新定义材料问题
【例7】（2022·江苏盐城·校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC=BD．且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【变式练习】
19．（2022春·江苏·九年级专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．凸四边形就是没有角度大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形．
(1)已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=80°，∠B=70°，则∠C=____________°，∠D=____________°．
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE垂直于CD交AC于点E，试说明四边形BCED是“等对角四边形”．
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，CD平分∠ACB，点E在线段AC延长线上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段AE的长．
20．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC=∠ADC=90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时∠ADB=∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时∠BAC=∠DBC．
(1)【理解】
如图1，∠ABD=______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若OG=2，则AC2−BD2等于多少？
21．（2021秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个顶点分别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们称这样的等腰直角三角形为矩形的“内接优三角形”．
如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
(1)正方形 （填“存在”或“不存在”）内接优三角形；
(2)已知△AEF为矩形ABCD的内接优三角形．
①若AD＝4，AB＝7，求AF的长；
②设AB＝a，AD＝b（a＞b），问是否存在斜边长为6b的内接优三角形？若存在，请求出ab的值；若不存在，请说明理由；
③若△CEF的外接圆与直线AB相切，求此时ab的值．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
2．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
3．（2021·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
4．（2017·江苏镇江·中考真题）如图,点B､E分别在AC､DF上,AF分别交BD､CE于点M､N,∠A=∠F,∠1=∠2．
（1）求证:四边形BCED是平行四边形;
（2）已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长．
5．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
6．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
7．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．
8．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O是正方形，ABCD的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO．
9．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．
（1）求证：ΔAOF≌ΔCOE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF （填“是”或“不是”）平行四边形．
10．（2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
11．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
12．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
13．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
14．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．
15．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
16．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
17．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
18．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
19．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．
（1）求证：
①ΔPDF的面积S=12PD2；
②EA=FD；
（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
20．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
21．（2020·江苏徐州·统考中考真题）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC．那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5−12．
（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为_____cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E AE>DE，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
22．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：ΔAEP≅ΔCEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求ΔAEF的周长．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题08四边形的计算与证明
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
一.平行四边形的性质与判定
1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
2．平行四边形的性质：
（1）边：两组对边分别平行且相等．
（2）角：对角相等，邻角互补．
（3）对角线：互相平分．
（4）对称性：中心对称但不是轴对称．
3.平行四边形的判定：
（1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4） 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
4.三角形的中位线
（1）三角形两边中点的连线叫中位线。
（2） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
5.利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
二.矩形的性质与判定
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
⑥由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定
3.矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
方法技巧：
①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3.菱形的性质与判定
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
（3）菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
4.正方形的性质与判定
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（3）正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、平行四边形的计算与证明综合
【例1】（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD边于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】(1)7
(2)当AP=4时，S△PCE最大，最大为123
【分析】（1）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出PE，BF，AE，DE，设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，利用面积法求出ℎ2，再根据割补法得到S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD，由此利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，仿照（1）中方法用含x的式子表示出S△PCE，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，
∵∠A=60°，
∴∠AEP=∠ABF=90°−∠A=30°，
∴AE=2AP=6，AF=12AB=3，
∴PE=AE2−AP2=33，BF=AB2−AF2=33，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，
∴DE=AD−AE=2,
设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
∴S四边形ABCD=AD⋅BF=AB⋅ℎ2=8×33=243，
∴ℎ2=AD⋅BFAB=43，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12×3×33−12×2×33−12×3×43
=2132，
∴12PE⋅ℎ1=2132，
∴ℎ1=7；
（2）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
同理可得AF=3，BF=33，AE=2x，PE=23x，ℎ2=43，
∴PB=AB−AP=6−x，DE=AD−AE=8−2x，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12⋅x⋅3x−12×338−2x−12×436−x
=243−32x2−123+33x−123+23x
=−32x2+53x
=−32x−52+2532，
∵−32