中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题05反比例函数的应用及综合问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题05反比例函数的应用及综合问题(原卷版+解析)，共91页。
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.反比例函数的图象与性质注意问题
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k0)的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则SOABC=________；
5．（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）背景：点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC,BO上取点D,E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A,D的横坐标分别为x,z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x0的图象交于Am,6，B3,n两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出kx+b−6x0)的图象上，并说明理由．
9．（2021·江苏苏州·校考二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=6x（x>0）的图象与一次函数y=kx−1的图象相交于横坐标为3的点A．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如图，已知点B在这个一次函数的图象上，点C在反比例函数y=6x（x>0）的图象上，直线BC∥x轴，且在点A上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．
10．（2022·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有函数y1=3x(x>0)，y2=kx(k0)，y3=kx+6．
(1)若y2与y3相交于点A(2,m)，
①求k与m的值；
②结合图像，直接写出y20，过点P作y轴平行线，分别交y1、y2、y3于点B、C、D，经计算发现，不论k取何值，BC−BD的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标．
考向三、反比例函数的实际应用
11．（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x0≤x≤24的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
12．（2022·江苏盐城·统考二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
13．（2022·江苏扬州·统考二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
14．（2022·江苏南京·模拟预测）晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，发现甲的舒适指数w甲与空调启动时间xx≥1成反比例关系，乙的舒适指数w乙与空调启动时间xx≥1的函数关系式为w乙=−x2+bx+c，函数图象如图，且在m+1小时，乙的舒适指数最大．
(1)求m的值及乙的舒适指数最大值；
(2)当w乙=9时，求w乙−w甲的较大值．
15．（2021·江苏连云港·统考二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）与销售场次x之间的函数关系式为
p=k1x+4,1≤x≤194+k2x,20≤x≤35，且当x=3时，p=4.6；当x=32时，p=5．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）y与x之间的函数表达式为 ；
（2）若p=4.8（万元/吨），求x的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
考向四、反比例函数新定义及阅读问题
16．（2022·江苏南通·统考二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当−2≤x≤1时，下列函数有界的是______（只要填序号）；
①y=2x−1；②y=−2x；③y=−x2+2x+3．
(2)当m≤x≤m+2时，一次函数y=k+1x−2的界值不大于2，求k的取值范围；
(3)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax−3的界值为94，求a的值．
17．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y=x2的图象上，存在一点P﹣1，1，则P为二次函数y=x2图象上的“互反点”．
(1)分别判断y=−x+3、y=x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
(2)如图①，设函数y=−5xx0)上任意一点，将点E向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点F，求证：点F为“二倍点”．
(3)若“二倍点”E在抛物线y=43x2(x>0)的图像上，“二倍点”F在一次函数y=x(x>0)的图像上，y轴上有一点G(0,94)，试判断ΔGEF的形状，并说明理由．
19．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为函数y=kxx>0,k>0图像上一动点，过A作y轴的平行线交直线l：y=−x+4于点B，点P坐标为a,aa>0．当a=22时，点P恰好落在y=kx的函数图像上．
(1)求函数y=kxx>0的解析式；
(2)以AB、AP为邻边作平行四边形ABCP
①若A的横坐标为1，点P在AB的右侧，且点C在函数y=kx的图像上，求a的值；
②若平行四边形ABCP为正方形，求点A坐标；
(3)在点A运动过程中存在一点P，使AB=AP恒成立，求a的值．
20．（2022·江苏泰州·统考二模）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y=kx(k≠0)的图像上，则矩形ABCD是反比例函数y=kx的“伴随矩形”
[解决问题]
(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A(−3,8)，C(6,−4)；②A（1，2），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
(2)如图1，已知点B(2,32)是反比例函数y=6x的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式：
(3)若反比例函数的“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．）
考向五、反比例函数与几何压轴
21．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知点P在反比例函数y=kx上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图像于点D．
(1)若点P（2，4），求S△APD；
(2)若CD＝1，S△APD:S△ADQ=3:1，求反比例函数解析式．
22．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，A（a，at－2）、B（b，bt－2）是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上两点，直线AB与x轴交于点C、与y轴交于点D．
(1)求点D坐标；
(2)用t的代数式表示a+b；
(3)若A（-3，1）
①已知M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2） 是线段AB上两点，MN：AB=3：4，且线段MN与双曲线y=kx无交点，求x1的取值范围；
②若经过点D的直线y=mx+n与反比例函数y=kx的图像分别交于P、Q两点，且△POQ内有横坐标和纵坐标都为整数的点共5个，直接写出m的取值范围．
23．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为−2,2，反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积．
(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长．
24．（2018·江苏·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A−6,0，D−7,3，点B、C在第二象限内．
(1)点B的坐标_________；
(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022·江苏南通·统考一模）平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，给出如下定义：若x，y满足|xy|=2|x|+2|y|，且xy≠0，则称点P为平衡点．例如，点−8,83是平衡点．
(1) P1(2，2)和P2(103，-5)两点中，点_________是平衡点；
(2)若平衡点P在一次函数y=−12x+2(x0)的图象交边BC于点D，交边AB于点E，若D，E两点均为平衡点．求∠ODE的正切值．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，一次函数y=2x+b与反比例函数y=kxk≠0的图像交于点A1,4，与y轴交于点B．
(1)k=_________，b=_________；
(2)连接并延长AO，与反比例函数y=kxk≠0的图像交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
2．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图像与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图像交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0)．
(1)求k与m的值；
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．
3．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+ba≠0的图像与反比例函数y=kxk≠0的图像交于P、Q两点．点P−4,3，点Q的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△POQ的面积．
4．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，点A和点E(2,1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，点B在反比例函数y=6x(x0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
8．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
9．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当y1随x的增大而增大且y10的图像于点C3,a，点P在反比例函数的图像上，横坐标为n 00)的图像经过点A4,32，点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m=________，点C的坐标为________；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE//y轴，交反比例函数图像于点E，求△ODE面积的最大值．
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
如图②，S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
如图③，S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
x/周
8
24
T/千套
10
26
2023年中考数学大题满分攻略（江苏专用）
专题05反比例函数的应用及综合问题
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.反比例函数的图象与性质注意问题
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k0或y⩽−6．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据反比例函数图象的性质作答即可．
【详解】（1）∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,−3)，
∴−3=k2，解得，．
∴反比例函数的解析式为y=−6x；
（2）∵k=−60）的图象上，直线BC∥x轴，且在点A上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．
【答案】(1)y=x−1
(2)4,3
【分析】（1）根据横坐标为3的点A在反比例函数y=6x（x>0）的图象上求出点A坐标为3,2，再代入y=kx−1，求出k=1，问题得解；
（2）设点Bm,m−1，则点C12m,m−1，根据点C在反比例函数y=6x（x>0）的图象上，求出m1=4，m2=−3，根据点B在第一象限内，即可求出点B的坐标为4,3．
【详解】（1）解：∵横坐标为3的点A在反比例函数y=6x（x>0）的图象上，
∴将x=3代入y=6x得y=63=2，
∴点A的坐标为3,2，
∵点A在直线y=kx−1上，
∴2=3k−1，
∴k=1，
∴一次函数的解析式为y=x−1；
（2）解：设点Bm,m−1，
∵点C是BD的中点，
∴点C12m,m−1，
∵点C在反比例函数y=6x（x>0）的图象上，
∴12mm−1=6，
解得m1=4，m2=−3，
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为4,3．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，理解线段中点的坐标特点与函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
10．（2022·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有函数y1=3x(x>0)，y2=kx(k0)，y3=kx+6．
(1)若y2与y3相交于点A(2,m)，
①求k与m的值；
②结合图像，直接写出y20，过点P作y轴平行线，分别交y1、y2、y3于点B、C、D，经计算发现，不论k取何值，BC−BD的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标．
【答案】(1)①m的值为−2，k的值为−4；②00且a≠1；
综上所述，不论k取何值，BC−BD的值均为定值，有①若从上到下为B、D、C时，此定值为6，点B的坐标为(1,3)；②若从上到下为B、C、D时，此定值为6，点B的坐标为(1,3)；③若C与D重合时，此定值为0，点B的坐标为a,3a，其中a>0且a≠1．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解答本题的关键．
考向三、反比例函数的实际应用
11．（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x0≤x≤24的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y＝53x+100≤x