中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题03方程与不等式的应用(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题03方程与不等式的应用(原卷版+解析)，共47页。
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.一元一次方程的应用及主要类型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
2.二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
3.一元二次方程的应用
4.分式方程的应用
（1）、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
（2）、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
5.不等式（组）的应用
（1）.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：审题；设未知数；列不等式(组)，根据题中各个量的关系列不等式(组)；解不等式(组)，找出满足题意的解(集)；检验并写出答案。
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、一元一次方程的应用
1．（2022•苏州模拟）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
2．（2021•靖江市一模）现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份．如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．
3．（2021•泰州模拟）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
4．（2020•盱眙县校级模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．
5．（2021•清江浦区二模）某公司组织“爱心义卖”活动，购进了黑白两种颜色的文化衫共100件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难儿童．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
假设文化衫全部售出，共获利1380元，求购进黑白两种文化衫各多少件？
6．（2021•东海县模拟）某班开展了环保知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
考向二、二元一次方程组的应用
7．（2022•涟水县校级模拟）实验中学为迎接体育中考，决定在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳共用720元，购买10个足球和50条跳绳共用360元．
（1）足球、跳绳的单价各是多少元？
（2）该店在“3•15”期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售，“3•15”期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
8．（2022•泰州二模）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
（2）妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
9．（2022•武进区二模）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去冬奥会会场参与服务工作，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）经调查：租用一辆36座和一辆22座车型的价格分别为1800元和1200元．学校计划租用8辆车运送志愿者，既要保证每人有座，又要使得本次租车费用最少，应该如何设计租车方案？
10．（2022•无锡模拟）某快递公司在我市新设了一处中转站，预计每周将运送快递308吨．为确保完成任务，该中转站计划向汽车厂家购买电动、燃油两种类型的货车．根据测算，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨．已知汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元．
（1）分别求出每辆电动、燃油货车的价格；
（2）考虑到环保因素，电动货车最少购买4辆，为确保完成每周的快递运送任务，求该中转站最低的购车成本．
11．（2022•无锡二模）某运动器械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的按摩椅，其部分信息如下：A、B两种型号的按摩椅共生产40台，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若该公司销售完两种型号按摩椅恰好获利18.8万元，则该公司分别生产A、B种型号按摩椅各多少台？
（2）据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变，现受资金影响，该公司生产A型按摩椅不超过20台但是不少于18台，则该公司应如何生产才可以获得最大利润？
12．（2022•张家港市一模）某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共100件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“幸福村”．每种文化衫的成本和售价如表：
假设文化衫全部售出，共获利720元，求购进两种文化衫各多少件？
考向三、一元二次方程的应用
13．（2022•邳州市校级模拟）某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为x米．
（1）若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度；
（2）若修建小路的价格为40元/平方米，求修建小路的总造价．
14．（2022•新吴区二模）北京冬奥会期间，某商场进了一批冰墩墩钥匙扣，将进价为20元的钥匙扣以45元售出，平均每月能售出50个，现商场决定采取降价措施，调查表明：这种钥匙扣的售价每降低0.5元，平均每月就能多售出5个．
（1）商场要想在这种钥匙扣销售中每月盈利2000元，同时又要使百姓得到实惠，则每个钥匙扣应降价多少元？
（2）物价部门规定，每个钥匙扣获利必须低于60%，为了便于销售，商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每月销售利润高于2000元？
15．（2022•建湖县一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20%，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．
（1）求3月初该商品下跌后的价格；
（2）若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．
16．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
17．（2021•兴化市模拟）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？
18．（2021•射阳县模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
考向四、分式方程的应用
19．（2022•亭湖区校级模拟）每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元．
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
20．（2022•宿城区校级模拟）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
21．（2022•高邮市模拟）某中学为了创建“书香校园”，计划购买书架放置图书．在购买时发现：A种书架的单价比B种书架的单价贵50元，用1000元购买A种书架的个数与用800元购买B种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A、B两种书架共20个，且购买的总费用不超过4500元，求最多可以购买多少个A种书架？
22．（2022•江都区二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．
（1）甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？
（2）现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作， 小时可完成．（直接写答案）
23．（2022•广陵区一模）2020年12月11日扬州人民高铁梦圆，小明一家准备在端午节期间从扬州到上海游玩，小明借助网络信息制定了以下两套出行方案：
方案一：从扬州西站乘坐动车，全程约450km，所用时间比从东站乘坐高铁多1h；
方案二：从扬州东站乘坐高铁，全程约480km，高铁的平均速度是动车的1.6倍．
求从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度．
24．（2022•仪征市二模）为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图所示．
试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
考向五、不等式（组）的应用
25．（2022•涟水县一模）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买4本手绘纪念册和1本图片纪念册共需215元，购买2本手绘纪念册和5本图片纪念册共需265元．
（1）每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1900元，则最少要购买图片纪念册多少本？
26．（2022•海陵区二模）某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3350元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
（1）求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？
（2）售卖中途由于冰墩墩受到广大游客的喜爱被一抢而空，商家又紧急购进了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被卖完．若已知商家最后获取的利润不少于4050元，请问商家第二次至少购进了多少个冰墩墩？
27．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的34，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
28．（2022•惠山区一模）无锡水蜜桃享誉海内外，老王用3000元购进了一批水蜜桃．第一天，很快以比进价高40%的价格卖出150千克．第二天，他发现剩余的水蜜桃卖相已不太好，于是果断地以比进价低20%的价格将剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共获利750元．
（1）求这批水蜜桃进价为多少元？
（2）老王用3000元按第一次的价格又购进了一批水蜜桃．第一天同样以比进价高40%的价格卖出150千克，第二天老王把卖相不好的水蜜桃挑出，单独打折销售，售价为10元/千克，结果很快被一抢而空，其余的仍按第一天的价格销售，且当天全部售完．若老王这次至少获利1000元，请问打折销售的水蜜桃最多多少千克？（精确到1千克）
29．（2021•无锡模拟）某景点投入40辆同型号电动代步车准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆，已知租赁去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．
（1）若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少为多少元？
（2）该代步车租赁公司一天总利润最多为多少元？（总利润＝总租金﹣总支出）
30．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一．解答题（共14小题）
1．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
2．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
3．（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
4．（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
5．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
6．（2021•常州）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
7．（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
8．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
9．（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
10．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
11．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
12．（2020•扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
13．（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
实际收费
求a，b的值．
14．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
增长率等量关系
1.增长率=增长量÷基础量．
2.设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
利润等量关系
1.利润=售价－成本．
2.利润率=×100％．
面积问题
1.类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
2.类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
3.类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
碰面问题（循环问题）
1.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m=n（n－1）
2.不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m=n（n－1）
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
型号
成本（万元/台）
售价（万元/台）
A
2
2.4
B
2.5
3
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元）
25
28
售价（元）
31
36
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
30
45
雪容融
25
35
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题03方程与不等式的应用
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.一元一次方程的应用及主要类型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
2.二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
3.一元二次方程的应用
4.分式方程的应用
（1）、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
（2）、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
5.不等式（组）的应用
（1）.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：审题；设未知数；列不等式(组)，根据题中各个量的关系列不等式(组)；解不等式(组)，找出满足题意的解(集)；检验并写出答案。
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、一元一次方程的应用
1．（2022•苏州模拟）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
【分析】（1）根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；
（2）根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．
【解答】解：（1）设客房有x间，则根据题意可得：
7x+7＝9x﹣9，
解得x＝8；
即客人有7×8+7＝63（人）；
答：客人有63人．
（2）如果每4人一个房间，需要63÷4＝1534，需要16间客房，总费用为16×20＝320（钱），
如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用＝18×20×0.8＝288（钱）＜320钱，
所以他们再次入住定18间房时更合算．
答：他们再次入住定18间房时更合算．
2．（2021•靖江市一模）现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份．如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．
【分析】设每次所用的甲种金属有xkg，根据两次重新熔炼后甲种金属所占份额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每次所用的甲种金属有xkg，
依题意得：.23+2(10+x)=37+3(10+x+x)，
解得：x＝5，
答：每次所用的甲种金属有5kg．
3．（2021•泰州模拟）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，
由题意得：x：600＝100：60，
∴x＝1000，
∴1000﹣600﹣100＝300，
答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，
由题意得y＝200+60100y，
解得y＝500，
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
4．（2020•盱眙县校级模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x−12（x+4.5）＝1，
解得x＝6.5．
答：木头长6.5尺．
5．（2021•清江浦区二模）某公司组织“爱心义卖”活动，购进了黑白两种颜色的文化衫共100件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难儿童．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
假设文化衫全部售出，共获利1380元，求购进黑白两种文化衫各多少件？
【分析】设学校购进黑色文化衫x件，白色文化衫（100﹣x）件，根据该校购进黑、白两种颜色的文化衫共获利1380元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设学校购进黑文化衫x件，白文化衫（100﹣x）件，
依题意得：（25﹣10）x+（20﹣8）（100﹣x）＝1380，
解得：x＝60，
100﹣x＝40，
答：学校购进黑文化衫60件，白文化衫40件．
6．（2021•东海县模拟）某班开展了环保知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【分析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解答即可；
（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．
【解答】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据题意得：
6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，
解得x＝19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
（2）设笔记本的单价为a元，根据题意得：
6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，
整理得：x=14a+392，
因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，
所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，
∴x＝20，21．
当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；
当x＝21时，a＝4×21﹣78＝6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
考向二、二元一次方程组的应用
7．（2022•涟水县校级模拟）实验中学为迎接体育中考，决定在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳共用720元，购买10个足球和50条跳绳共用360元．
（1）足球、跳绳的单价各是多少元？
（2）该店在“3•15”期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售，“3•15”期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
【分析】（1）设足球的单价为x元/个，跳绳的单件为y元/条，条据：购买30个足球和60条跳绳共用720元，购买10个足球和50条跳绳共用360元，列方程组求解即可；
（2）设该店的商品按原价的x折销售，条据：购买100条足球和100条跳绳只需1800元，列出方程求解可得．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元/个，跳绳的单件为y元/条，可得：30x+60y=72010x+50y=360，
解得：x=16y=4，
答：足球的单价为16元/个，跳绳的单件为5元/条；
（2）设该店的商品按原价的x折销售，可得：(100×16+100×4)×x10=1800，
解得：x＝9，
答：该店的商品按原价的9折销售．
8．（2022•泰州二模）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；
（2）妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元，由题意：购买2包口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，由题意：小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元，
依题意得：2x+3y=195x+y=28，
解得x=5y=3，
答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元．
（2）设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，
由题意得：5m+3n＝50，
∴m＝10−35n，
∵m、n为正整数，
∴m=7n=5或m=4n=10或m=1n=15，
∴小明有3种购买方案：
①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩1包，酒精湿巾15包．
9．（2022•武进区二模）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去冬奥会会场参与服务工作，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）经调查：租用一辆36座和一辆22座车型的价格分别为1800元和1200元．学校计划租用8辆车运送志愿者，既要保证每人有座，又要使得本次租车费用最少，应该如何设计租车方案？
【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据“单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆36座新能源客车，则租用（8﹣m）辆22座新能源客车，根据要保证每人有座，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设总租车费用为w元，利用总租车费用＝每辆车的租车费用×租车数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，
依题意得：y−36x=222(x+4)−y=2，
解得：x=6y=218．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设租用m辆36座新能源客车，则租用（8﹣m）辆22座新能源客车，
依题意得：36m+22（8﹣m）≥218，
解得：m≥3．
设总租车费用为w元，则w＝1800m+1200（8﹣m）＝600m+9600．
∵600＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时8﹣m＝8﹣3＝5，
∴符合题意的租车方案为：租用3辆36座新能源客车，5辆22座新能源客车．
10．（2022•无锡模拟）某快递公司在我市新设了一处中转站，预计每周将运送快递308吨．为确保完成任务，该中转站计划向汽车厂家购买电动、燃油两种类型的货车．根据测算，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨．已知汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元．
（1）分别求出每辆电动、燃油货车的价格；
（2）考虑到环保因素，电动货车最少购买4辆，为确保完成每周的快递运送任务，求该中转站最低的购车成本．
【分析】（1）设每辆电动货车的价格为x万元，每辆燃油货车的价格为y万元，由汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买电动货车m辆，燃油货车n辆，由每周将运送快递308吨，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨，列出一元一次不等式，再由m≥4，n为正整数，求出n的最小值进行比较，即可得出结果．
【解答】解：（1）设每辆电动货车的价格为x万元，每辆燃油货车的价格为y万元，
由题意得：x+2y=393x+y=57，
解得：x=15y=12，
答：每辆电动货车的价格为15万元，每辆燃油货车的价格为12万元；
（2）设购买电动货车m辆，燃油货车n辆，
由题意得：48m+36n≥308，
整理得：n≥779−43m，
∵m≥4，
∴43m≥163，
∴779−43m≤299，
当m＝4时，n最小为4，
此时购车成本为：4×15+4×12＝108（万元）；
当m＝5时，n最小为2，
此时购车成本为：5×15+2×12＝99（万元）；
当m＝6时，n最小为1，
此时购车成本为：6×15+1×12＝102（万元）；
∴该中转站最低的购车成本为99万元，
答：该中转站最低的购车成本为99万元．
11．（2022•无锡二模）某运动器械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的按摩椅，其部分信息如下：A、B两种型号的按摩椅共生产40台，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若该公司销售完两种型号按摩椅恰好获利18.8万元，则该公司分别生产A、B种型号按摩椅各多少台？
（2）据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变，现受资金影响，该公司生产A型按摩椅不超过20台但是不少于18台，则该公司应如何生产才可以获得最大利润？
【分析】（1）设生产A种型号的按摩椅x台，B型按摩椅y台，根据等量关系：A、B两种型号的按摩椅共生产40台；该公司销售完两种型号按摩椅恰好获利18.8万元；列出方程组计算即可求解；
（2）设生产A型按摩椅m台，则B型按摩椅（40﹣m）台，可得w′＝（0.4+a）m+0.5（40﹣m）＝（a﹣0.1）m+20，必须把（a﹣0.1）正负性考虑清楚，即a＞0.1，a＝0.1，a＜0.1三种情况，最终才能得出结论，即怎样安排，完全取决于a的大小．
【解答】解：（1）设生产A种型号的按摩椅x台，B型按摩椅y台，依题意有：
x+y=40(2.4−2)x+(3−2.5)y=18.8，
解得x=12y=28．
故生产A种型号的按摩椅12台，B型按摩椅28台；
（2）设生产A型按摩椅m台，则B型按摩椅（40﹣m）台，当每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变时，此时的利润为：
w′＝（0.4+a）m+0.5（40﹣m）＝（a﹣0.1）m+20，
当a﹣0.1＞0时，即a＞0.1，
∴当m＝20时，w′最大＝20a+18，
即当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润．
当a﹣0.1＝0时，即a＝0.1，
∴当x＝20时，w′＝20，
即三种生产方案：①A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；②A型按摩椅19台，B型按摩椅21台；③A型按摩椅20台，B型按摩椅20台；获利一样大．
当a﹣0.1＜0时，即a＜0.1，
∴当x＝18时，w′最大＝18a+18.2，
即当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
答：当a＞0.1时，当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润；
当a＝0.1时，3种方案获利一样；
当a＜0.1时，生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
12．（2022•张家港市一模）某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共100件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“幸福村”．每种文化衫的成本和售价如表：
假设文化衫全部售出，共获利720元，求购进两种文化衫各多少件？
【分析】设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合销售两种文化衫100件共获利720元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件，
依题意得：x+y=100(31−25)x+(36−28)y=720，
解得：x=40y=60．
答：购进白色文化衫40件，黑色文化衫60件．
考向三、一元二次方程的应用
13．（2022•邳州市校级模拟）某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为x米．
（1）若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度；
（2）若修建小路的价格为40元/平方米，求修建小路的总造价．
【分析】（1）设小路的宽度为xm，根据花草的米×种植花草的价格＝种植花草的总费用即可得出方程，解方程即可；
（2）（空地面积﹣花草面积）×修建小路的价格即可求出修建小路的总造价．
【解答】解：（1）设小路的宽度为x米，那么花草的总长度为（100﹣2x）米，总宽度为（60﹣x）米；
根据题意得10（100﹣2x）（60﹣x）＝49500，
解得x1＝5，x2＝105（不符合题意，舍去），
答：修建的小路的宽度为5米；
（2）100×60﹣（100﹣2×5）×（60﹣5）＝1050（米），
1050×40＝42000（元），
答：修建小路的总造价为42000元．
14．（2022•新吴区二模）北京冬奥会期间，某商场进了一批冰墩墩钥匙扣，将进价为20元的钥匙扣以45元售出，平均每月能售出50个，现商场决定采取降价措施，调查表明：这种钥匙扣的售价每降低0.5元，平均每月就能多售出5个．
（1）商场要想在这种钥匙扣销售中每月盈利2000元，同时又要使百姓得到实惠，则每个钥匙扣应降价多少元？
（2）物价部门规定，每个钥匙扣获利必须低于60%，为了便于销售，商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每月销售利润高于2000元？
【分析】（1）设每台降价x元，由利润＝（售价﹣进价）×销售量，列出函数解析式，令每月盈利2000元，求出x．
（2）每盏灯降价y元，利润为w元，先根据每个钥匙扣获利必须低于60%，得到y＞13．再根据（1）的结果结合二次函数图象性质可得13＜y＜15，可求得每个钥匙扣的定价．
【解答】解：（1）设每盏台灯应降价x元，由题意得：
（45﹣20﹣x）（50+10x）＝2000，
解得：x1＝5，x2＝15．
∵要使得百姓得到实惠，
∴x＝15．
答：应降价15元；
（2）设每盏灯降价y元，利润为w元，
∵每个钥匙扣获利必须低于60%，
∴45﹣20﹣y＜20×60%，
解得y＞13．
∵w＝（45﹣20﹣y）（50+10y）＞2000，
∴结合二次函数图象性质可得5＜y＜15．
∴13＜y＜15，
∵售价为整数，
∴y＝14．
∴售价为31元．
15．（2022•建湖县一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20%，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．
（1）求3月初该商品下跌后的价格；
（2）若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．
【分析】（1）设3月初该商品的原价为x元/件，则3月初该商品下跌后的价格为（1﹣20%）x元/件，利用数量＝总价÷单价，结合价格下跌后用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1﹣20%）x中即可求出结论；
（2）设该商品价格的平均涨价率为y，利用经过两次涨价后的价格＝3月初该商品下跌后的价格×（1+平均涨价率）2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设3月初该商品的原价为x元/件，则3月初该商品下跌后的价格为（1﹣20%）x元/件，
依题意得：3000(1−20%)x−3000x=25，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴（1﹣20%）x＝（1﹣20%）×30＝24．
答：3月初该商品下跌后的价格为24元/件．
（2）设该商品价格的平均涨价率为y，
依题意得：24（1+y）2＝29.04，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该商品价格的平均降价率为10%．
16．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a=−3516（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
17．（2021•兴化市模拟）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设每顶头盔应降价a元，则平均每周可售出（20a+200）顶，再根据“每周获利12000元“建立方程，解方程即可得；
（2）设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，从而可得平均每周可售出[20（120﹣x）+200]顶，再根据利润公式可得w与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【解答】解：（1）设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出（20a+200）顶，
由题意得：（120﹣a﹣80）（20a+200）＝12000，
解得a＝10或a＝20，
当a＝10时，售价为120﹣10＝110＞108，不符题意，舍去，
当a＝20时，售价为120﹣20＝100＜108，符合题意，
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可售出[20（120﹣x）+200]顶，且80≤x≤108，
由题意得：w＝[20（120﹣x）+200]（x﹣80），
整理得：w＝﹣20（x﹣105）2+12500，
由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x＝105时，w取最大值12500，
答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
18．（2021•射阳县模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【分析】（1）设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为x，根据“从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设增加a户，申报投入费用为W元，根据总费用＝人均费用×人数，即可得出W关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝4.32．
解得x＝0.2＝20%（舍去负值）．
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%．
（2）设增加a户，申报投入费用为W元，
则W申报＝（300+a）（20000﹣50a）＝﹣50a2+5000a+6000000．
当a＝50时，W申报最高＝6125000（元）．
答：旧房改造申报的最高投入费用是6125000元．
考向四、分式方程的应用
19．（2022•亭湖区校级模拟）每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元．
（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，根据“A种图书的单价比B种图书的单价多10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买A种图书a本，根据“投入总经费不超过1300元”列出不等式，求出最大整数解即可．
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
由题意可得：x−y=104x+3y=180，
解得：x=30y=20，
∴A种图书单价30元，B种图书单价20元；
（2）设购买A种图书a本，
由题意可得；30a+20（50﹣a）≤1300，
解得：a≤30，
∴最多可以购买30本A种图书．
20．（2022•宿城区校级模拟）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【分析】（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，由题意：某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：要保证文旅店总利润不低于6060元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，
由题意得：60001.25x−3200x=20，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.25x＝100，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是100个，订购“雪容融”的数量是80个；
（2）由题意得：100×34×100+100×14×100×0.1a+80×12×80+80×12×（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，
解得：a≥8，
答：a的最小值为8．
21．（2022•高邮市模拟）某中学为了创建“书香校园”，计划购买书架放置图书．在购买时发现：A种书架的单价比B种书架的单价贵50元，用1000元购买A种书架的个数与用800元购买B种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A、B两种书架共20个，且购买的总费用不超过4500元，求最多可以购买多少个A种书架？
【分析】（1）设A种书架的单价是x元，可得：1000x=800x−50，解方程并检验可得A种书架的单价是250元，则B种书架的单价是200元；
（2）设购买A种书架m个，可得250m+200（20﹣m）≤4500，即可解得最多可以购买10个A种书架．
【解答】解：（1）设A种书架的单价是x元，则B种书架的单价是（x﹣50）元，
根据题意得：1000x=800x−50，
解得x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，
∴x﹣50＝250﹣50＝200（元），
答：A种书架的单价是250元，则B种书架的单价是200元；
（2）设购买A种书架m个，则购买B种书架（20﹣m）个，
∵购买的总费用不超过4500元，
∴250m+200（20﹣m）≤4500，
解得m≤10，
答：最多可以购买10个A种书架．
22．（2022•江都区二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．
（1）甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？
（2）现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作， 209 小时可完成．（直接写答案）
【分析】（1）设甲社团每小时制作x面彩旗，则乙社团每小时制作（x+12）面彩旗，根据甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出甲社团每小时制作彩旗的数量，再将其代入（x+12）中即可求出乙社团每小时制作彩旗的数量；
（2）设这批彩旗共y面，根据甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再利于甲、乙两个社团同时合作所需时间＝这批彩旗的数量÷甲、乙两个社团每小时制作彩旗的数量和，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲社团每小时制作x面彩旗，则乙社团每小时制作（x+12）面彩旗，
根据题意得：120x=150x+12，
解得：x＝48，
经检验，x＝48是所列方程的解，且符合题意，
∴x+12＝48+12＝60．
答：甲社团每小时制作48面彩旗，乙社团每小时制作60面彩旗．
（2）设这批彩旗共y面，
根据题意得：y48−y60=1，
解得：y＝240，
∴甲、乙两个社团同时合作所需时间为24048+60=209（小时）．
故答案为：209．
23．（2022•广陵区一模）2020年12月11日扬州人民高铁梦圆，小明一家准备在端午节期间从扬州到上海游玩，小明借助网络信息制定了以下两套出行方案：
方案一：从扬州西站乘坐动车，全程约450km，所用时间比从东站乘坐高铁多1h；
方案二：从扬州东站乘坐高铁，全程约480km，高铁的平均速度是动车的1.6倍．
求从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度．
【分析】设动车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为1.6xkm/h，由题意：乘坐动车所用时间比从东站乘坐高铁多1h，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设动车的平均速度为xkm/h，则从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度为1.6xkm/h，
根据题意得：450x−4801.6x=1，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程是解，且符合题意，
则1.6x＝1.6×150＝240，
答：从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度为240km/h．
24．（2022•仪征市二模）为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图所示．
试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
【分析】设软面笔记本的单价为x元，则硬面笔记本的单价为（x+3）元，由学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话列出分式方程，解方程，进而得出结论．
【解答】解：设软面笔记本的单价为x元，则硬面笔记本的单价为（x+3）元，
由题意得：12x=19.2x+3，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则12x=2.4，
∵笔记本的数量为整数，
∴x＝5不合题意，
∴说学习委员搞错了．
考向五、不等式（组）的应用
25．（2022•涟水县一模）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买4本手绘纪念册和1本图片纪念册共需215元，购买2本手绘纪念册和5本图片纪念册共需265元．
（1）每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1900元，则最少要购买图片纪念册多少本？
【分析】（1）设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买手绘纪念册m本，则购买图片纪念册（50﹣m）本，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过1900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，
依题意得：4x+y=2152x+5y=265，
解得：x=45y=35．
答：每本手绘纪念册的价格为45元，每本图片纪念册的价格为35元．
（2）设可以购买图片纪念册m本，则购买手绘纪念册（50﹣m）本，
依题意得：35m+45（50﹣m）≤1900，
解得：m≥35．
答：最少能购买手绘纪念册35本．
26．（2022•海陵区二模）某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3350元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
（1）求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？
（2）售卖中途由于冰墩墩受到广大游客的喜爱被一抢而空，商家又紧急购进了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被卖完．若已知商家最后获取的利润不少于4050元，请问商家第二次至少购进了多少个冰墩墩？
【分析】（1）设冰墩墩购进了x个，雪容融购进了y个，由题意可列出二元一次方程组，解方程组可得出答案；
（2）设商家第二次购进了a个冰墩墩，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
【解答】解：（1）设冰墩墩购进了x个，雪容融购进了y个，由题意可得，
x+y=12030x+25y=3350，
解得，x=70y=50，
答：冰墩墩购进了70个，雪容融购进了50个；
（2）设商家第二次购进了a个冰墩墩，由题意得，
70×（45﹣30）+50×（35﹣25）+（45﹣30）a≥4050，
a≥5003，
∵a为整数，
∴a的最小值为167，
答：商家第二次至少购进了167个冰墩墩．
27．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的34，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【分析】（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，即可解得今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，可得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×34，解得m≤375，设采购总费用为w万元，则w＝﹣0.6m+1800，根据一次函数性质知w随m的增大而减小，即可得答案．
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，
根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，
解得x＝2，
∴x+1＝2+1＝3，
答：今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，
根据题意得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×34，
解得m≤375，
设采购总费用为w万元，则w＝2×（1+20%）m+3（600﹣m）＝﹣0.6m+1800，
∵﹣0.6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝375时，w取最小值，最小值是﹣0.6×375+1800＝1575（万元），
答：该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划．
28．（2022•惠山区一模）无锡水蜜桃享誉海内外，老王用3000元购进了一批水蜜桃．第一天，很快以比进价高40%的价格卖出150千克．第二天，他发现剩余的水蜜桃卖相已不太好，于是果断地以比进价低20%的价格将剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共获利750元．
（1）求这批水蜜桃进价为多少元？
（2）老王用3000元按第一次的价格又购进了一批水蜜桃．第一天同样以比进价高40%的价格卖出150千克，第二天老王把卖相不好的水蜜桃挑出，单独打折销售，售价为10元/千克，结果很快被一抢而空，其余的仍按第一天的价格销售，且当天全部售完．若老王这次至少获利1000元，请问打折销售的水蜜桃最多多少千克？（精确到1千克）
【分析】（1）设水蜜桃的进价为x元/千克，则降价销售了（3000x−150）千克，利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货成本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，即可求出购进第二批水蜜桃的重量，设打折销售了y千克水蜜桃，则原价销售了（200﹣y）千克水蜜桃，利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货成本，结合老王这次至少获利1000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设水蜜桃的进价为x元/千克，则降价销售了（3000x−150）千克，
依题意得：150×（1+40%）x+（3000x−150）×（1﹣20%）x﹣3000＝750，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
答：水蜜桃的进价为15元/千克．
（2）购进第二批水蜜桃的重量为3000÷15＝200（千克），
设打折销售了y千克水蜜桃，则原价销售了（200﹣y）千克水蜜桃，
依题意得：15×（1+40%）×（200﹣y）+10y﹣3000≥1000，
解得：y≤18211，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：打折销售的水蜜桃最多18千克．
29．（2021•无锡模拟）某景点投入40辆同型号电动代步车准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆，已知租赁去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．
（1）若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少为多少元？
（2）该代步车租赁公司一天总利润最多为多少元？（总利润＝总租金﹣总支出）
【分析】（1）设每辆代步车的日租金为x元，根据“40辆代步车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；
（2）设每辆代步车的日租金为m元，该代步车租赁公司一天总利润为w元，分m≤150及m＞150两种情况考虑，当m≤150时，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当m＞150时，每天可租出（70−m5）辆，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆代步车的日租金为x元，
依题意得：x≤15040x≥20×40+1800，
解得：65≤x≤150．
又∵x为10的整数倍，
∴x的最小值为70．
答：每辆代步车的日租金至少为70元．
（2）设每辆代步车的日租金为m元，该代步车租赁公司一天总利润为w元．
当m≤150时，w＝40m﹣20×40﹣1800＝40m﹣2600，
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值＝40×150﹣2600＝3400（元）；
当m＞150时，每天可租出40−m−15010×2＝（70−m5）辆，
∴w＝（70−m5）m﹣（70−m5）×20﹣[40﹣（70−m5）]×10﹣1800=−15m2+72m﹣2900=−15（m﹣180）2+3580，
∵−15＜0，
∴当m＝180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵3400＜3580，
∴该代步车租赁公司一天总利润最多为3580元．
30．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：2x+5y=1003x+2y=62，
解得：x=10y=16．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：m≤3(100−m)10m+16(100−m)≤1170，
解得：7123≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴波波共有4种进货方案，
方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；
方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；
方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；
方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元．
答：波波共有4种进货方案，方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一．解答题（共14小题）
1．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【分析】设每个小组有学生x名，由题意得：3603x−3604x=3，解分式方程并检验后即可得出答案．
【解答】解：设每个小组有学生x名，
由题意得：3603x−3604x=3，
解得：x＝10，
当x＝10时，12x≠0，
∴x＝10是分式方程的根，
答：每个小组有学生10名．
2．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【分析】设有x个人，物品的价格为y钱，由题意：每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有x个人，物品的价格为y钱，
由题意得：y=8x−3y=7x+4，
解得：x=7y=53，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
3．（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【分析】（方法一）设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（方法二）设共x人合伙买金，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（400x﹣3400）即可求出金价．
【解答】解：（方法一）设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：400x−3400=y300x−100=y，
解得：x=33y=9800．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
（方法二）设共x人合伙买金，
依题意得：400x﹣3400＝300x﹣100，
解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝400×33﹣3400＝9800．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
4．（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，150=30(x+y)150=(30−5)[(1+50%)x+y]，
解得x=2y=3，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
5．（2021•徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
【分析】设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，400元该商品打折前可购400x件，打折后可购4000.8x件，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”列出方程，解方程求出x问题得解．
【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，
根据题意得，400x+2=4000.8x，
解得，x＝50，
检验：经检验，x＝50是原方程的解．
答：该商品打折前每件50元．
6．（2021•常州）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据“20吨水可以比原来多用5天”列出方程并解答．
【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，
根据题意，得20x−202x=5．
解得x＝2．
经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
7．（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论；
（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且4≤m≤10，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，
依题意得：6004x+1275−6003x=25，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．
（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，
依题意得：60m+45n＝1275，
∴n=85−4m3．
∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，
∴m=4n=23或m=7n=19或m=10n=15，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．
8．（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．
【解答】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：240(1+20%)x+0.5=220x，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
9．（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，
依题意，得：x+3y=262x+y=22，
解得：x=8y=6．
答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．
（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，
依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，
解得：m≤5．
答：最多购买5千克苹果．
10．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【分析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：x+y=3015x+8y=324，
解得：x=12y=18．
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
11．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【分析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入（1+50%）x，3200x，7200(1+50%)x中即可得出结论．
【解答】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，
依题意，得：7200(1+50%)x−3200x=40，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝60，3200x=80，7200(1+50%)x=120．
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．
12．（2020•扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
13．（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
实际收费
求a，b的值．
【分析】根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：a+(2−1)b=9a+3+(3−1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值为7，b的值为2．
14．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的76倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，
依题意，得：100000x×76=140000x+30，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝180．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，
∴m＝16−45n．
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
∴m=8n=10，m=4n=15，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．
增长率等量关系
1.增长率=增长量÷基础量．
2.设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
利润等量关系
1.利润=售价－成本．
2.利润率=×100％．
面积问题
1.类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
2.类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
3.类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
碰面问题（循环问题）
1.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m=n（n－1）
2.不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m=n（n－1）
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
型号
成本（万元/台）
售价（万元/台）
A
2
2.4
B
2.5
3
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元）
25
28
售价（元）
31
36
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
30
45
雪容融
25
35
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22