专题05 与圆有关问题的压轴题之四大题型(原卷及解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20165" 【题型一 与圆中线段相等及相似的有关问题】 PAGEREF _Tc20165 \h 1
\l "_Tc6357" 【题型二 与圆中证明直线是切线的有关问题】 PAGEREF _Tc6357 \h 12
\l "_Tc1615" 【题型三 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 PAGEREF _Tc1615 \h 20
\l "_Tc82" 【题型四 与圆中实际应用的有关问题】 PAGEREF _Tc82 \h 24
【典型例题】
【题型一 与圆中线段相等及相似的有关问题】
例题：（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·三模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的正切值．
2．（2023·广东深圳·一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)在（2）条件下，若，求四边形的面积．
4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．

(1)求线段的长度；
(2)求的值；
(3)当是等腰三角形时，求出线段的长．
【题型二 与圆中证明直线是切线的有关问题】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，，求证是定值．
3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，延长直径到D，使，过圆心O作的平行线交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求⊙O的半径及．
4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于.

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径.
【题型三 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】
例题：（2023·广东深圳·二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，点O旋转到点C，连接交于点D，∠AOD=60°．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．
【题型四 与圆中实际应用的有关问题】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）已知：、、三点不在同一直线上．

(1)若点、、均在半径为的上，
（i）如图①，当，时，求的度数和的长；
（ii）如图②，当为锐角时，求证：；
(2)若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图③，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形中，，，，点M在延长线上且，为半圆O的直径且，，如图2，点E从点M处沿方向运动，带动半圆O向左平移，每秒个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动，点F落在直线上时，停止运动，运动时间为t秒．

(1)如图1， ；
(2)如图2，当半圆O与边相切于点P，求的长；
(3)如图3，当半圆O过点C，与边交于点Q，
①求平移和旋转过程中扫过的面积；
②求的长；
(4)直接写出半圆O与平行四边形的边相切时t的值．（参考数据：，）
2．（2023·广东深圳·一模）【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
∵是的外角，
∴ （填“＞”，“=”或“＜”），
∴ （填“＞”，“=”或“＜”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）