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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值精品一课一练
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值精品一课一练，文件包含北师大版数学高二选择性必修第二册262函数的极值分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第二册262函数的极值分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
考点01：函数极值的辨析
1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）函数的极大值一定大于其极小值.( )
（2）导数为0的点一定是极值点.( )
（3）函数一定有极大值和极小值.( )
（4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( )
【答案】 错误 错误 错误 正确
【分析】由导数与极值的关系逐个判断即可.
【详解】函数的极大值不一定大于其极小值，故（1）错误；
导数为0的点不一定是极值点，比如，
，但是不是极值点，故（2）错误；
函数可能有极大值或极小值，也可能没有极值，故（3）错误；
函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.故（4）正确.
故答案为：错误；错误；错误；正确.
2．（多选）判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
【答案】CD
【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可.
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
考点02：求已知函数的极值
3．求函数的极值．
【答案】极小值为，无极大值
【分析】对函数进行求导，在定义域内分析导函数的符号，即可得到函数的极值.
【详解】．
令，解得．
当变化时，的变化情况如表所示：
所以当时，函数取得极小值，且极小值为，无极大值．
4．已知函数，求的极值.
【答案】极小值为，无极大值
【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，根据单调性可得极值.
【详解】函数的定义域为，，
注意到，令，解得，令，解得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
考点03：根据极值求参数
5．已知函数在处有极值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.
【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，
故选：A
6．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】AD
【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.
【详解】由题意知有两个不相等的根，
所以，
解得或.
故A、D正确，B、C错误.
故选：AD
考点04：函数(导函数)图象与极值的关系.
7．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
8．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】C
【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值.
【详解】由图象可知，当和时，，则；
当时， ，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以在，上单调递减；在上单调递增；
所以的极小值为，极大值为.
故选：C.
考点05：函数极值点的辨析
9．（多选）下列函数中，恰有2个极值点的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用导数依次求解选项中函数的极值点各式个数，即可得到答案.
【详解】对选项A，由，得.
令，即，，或，.
即有无数个零点，且零点两侧函数值异号，
故有无数个极值点，故A不正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，B正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，C正确.
由，得.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故恰有1个极值点，D不正确.
故选：BC
10．（多选）设函数，则（ ）
A．有两个极大值点B．有两个极小值点
C．是的极大值点D．是的极小值点
【答案】BC
【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项.
【分析】根据题意，可得，
于是
因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．
故选：BC
考点06：根据极值点求参数
11．函数的一个极值点为1，则的极大值是 ．
【答案】4
【分析】由极值点定义得到，求出，进而得到或时，，时，，得到函数单调性和极大值.
【详解】定义域为R，
，由题意得，，解得，
故，
令，解得，
令得，或，单调递增，
令得，，单调递减，
故在处取得极大值，极大值为.
故答案为：4
12．若函数有极值点，则实数c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围.
【详解】，则，
函数有极值点，则有有两个不同的实数根，
可得，解得或.
实数c的取值范围为.
故答案为：
考点07：函数(导函数)图像与极值点的关系
13．已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．
【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，
结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.
故选：C.
14．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】C
【分析】根据极小值点的定义结合导函数的图象求解
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，当时，，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
故选：C
考点08：求已知函数的极值点
15．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.
【详解】易知函数的定义域是，
由题意，，
当或时，；当或时，，
在和上单调递增，在和上单调递减，
极大值点是，极小值点是．
故选：A.
16．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点B．的图象关于原点对称
C．有三个零点D．零点之积为
【答案】ACD
【分析】利用函数的奇偶性判断B；再利用导数的变号零点的个数判断AC；变形函数的表达式，借助恒等式判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此的极大值为，极小值为，A正确，
而，因此函数有三个零点，C正确；
又，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，B错误；
设的三个零点分别为，则
，因此，D正确.
故选：ACD
1．已知函数，有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由极值点的定义结合函数与方程参变分离即可求解.
【详解】由题意有正根，即方程有正根，
而当时，，所以的取值范围为.
故选：D.
2．已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的极大值B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增D．的零点是和
【答案】B
【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】因为，
由图可知：，；或，；
且或，；，；
可得或，；，；
且函数为连续可导函数，
则在内单调递减，在内单调递增，
可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确；
由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；
故选：B.
3．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可.
【详解】当，则，，
依题意可得，解得，
即的取值范围是.
故选：A
4．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3B．18C．3或18D．不存在
【答案】B
【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解.
【详解】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；
所以，所以.
故选：B.
5．函数的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，再根据极大值与导数的关系即可得到答案.
【详解】，当时，，
当时，.
所以的极大值为.
故选：B.
6．已知函数有两个极值点p，q，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，得到方程组，求出，进而得到，得到答案.
【详解】依题意，，则，
因为，所以，
显然，，两式相除得，则，
代入中，解得，则．
故选：D
7．（多选）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ）
A．的减区间是
B．的增区间是
C．有一个极大值点，两个极小值点
D．有三个零点
【答案】BC
【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断.
【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
8．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是增函数，无极值
B．是减函数，无极值
C．的单调递增区间为，，单调递减区间为
D．是极大值，是极小值
【答案】CD
【分析】求导后，根据导函数正负可求得单调性，结合极值定义可求得极大值和极小值.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；AB错误，C正确；
的极大值为，极小值为，D正确.
故选：CD.
9．已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D.
【详解】的定义域为，，
由，得或；，得；
所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增，
所以极大值点为1，极小值点为2，即，
所以，故A对，，B错误
，故C正确；
由在上单调递减可得 ，即，故D正确
故选：ACD
10．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
11．若函数的极大值为11，则的极小值为 ．
【答案】－21
【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.
【详解】函数的定义域为，，令，解得或，
列表：
所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，
当时，函数有极小值.
故答案为：
12．设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为 .
【答案】9
【分析】由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解.
【详解】，由已知，从而，
所以，经验证此时，符合题意.
故答案为：9.
13．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求导得，由此即可求解；
（2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
∴极大值为，极小值为.
14．已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由极值点定义可得，解得，进检验符合题意；
（2）结合（1）中结论可得出函数在上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数的取值范围．
【详解】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
1．已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简的解析式得到平移后的解析式，求出其极大值点，列不等式组求解.
【详解】由题意，得．
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
令，，得，．
由，解得，，
取，可得，
结合，可得的取值范围是．
故选:D．
2．（多选）设，，定义（，且为常数），若，，．
①不存在极值；
②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③若在上是减函数，则实数的取值范围是；
④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【分析】对①：直接求的导数，采用零点存在定理判断是否存在极值即可；对②若函数与函数 的图象有两个交点，则函数一定与相切，通过联立方程求解即可；对③④，需要先求出的导函数，根据导函数特点去判断两命题是否成立.
【详解】对①：，则，因为，，
即，使得，所以存在极值，故①错误；
对②，由的的反函数为，可以画出与函数的图象，如图所示：
函数与两个交点中有1个交点为切点，
设切点横坐标为，此时，即，，故②正确；
对③：，则，
若在上是减函数，则对于恒成立，
即恒成立，因为，
所以恒成立，所以，即.
即实数a的取值范围是，故③正确；
对④：当时，，
设，是曲线上的任意两点,
，
所以，即 不成立，
所以的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直．故④错误.
所以②③正确，故B、C正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)求证：.
【答案】(1)无极大值，极小值为；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的单调区间;
（2）设，利用导数可证当时，，时，，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）由题意得，，，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数有极小值，无极大值，极小值为.
（2）令，则，
设，则.
令，解得；令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴，∴在上单调递增.
又，∴当时，，，∴；
当时，，，∴.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立，需关注如下几点：
（1）根据题设中不等式的特征合理构建新函数；
（2）利用导数讨论函数单调性可能需要再次构建与导函数相关的新函数；
（3）注意函数隐藏的零点.
0
1
-
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
无极值
单调递增
x
1
0
0
0
极小值
极大值
极小值
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
考点01：函数极值的辨析
1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）函数的极大值一定大于其极小值.( )
（2）导数为0的点一定是极值点.( )
（3）函数一定有极大值和极小值.( )
（4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( )
【答案】 错误 错误 错误 正确
【分析】由导数与极值的关系逐个判断即可.
【详解】函数的极大值不一定大于其极小值，故（1）错误；
导数为0的点不一定是极值点，比如，
，但是不是极值点，故（2）错误；
函数可能有极大值或极小值，也可能没有极值，故（3）错误；
函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.故（4）正确.
故答案为：错误；错误；错误；正确.
2．（多选）判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
【答案】CD
【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可.
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
考点02：求已知函数的极值
3．求函数的极值．
【答案】极小值为，无极大值
【分析】对函数进行求导，在定义域内分析导函数的符号，即可得到函数的极值.
【详解】．
令，解得．
当变化时，的变化情况如表所示：
所以当时，函数取得极小值，且极小值为，无极大值．
4．已知函数，求的极值.
【答案】极小值为，无极大值
【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，根据单调性可得极值.
【详解】函数的定义域为，，
注意到，令，解得，令，解得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
考点03：根据极值求参数
5．已知函数在处有极值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.
【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，
故选：A
6．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】AD
【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.
【详解】由题意知有两个不相等的根，
所以，
解得或.
故A、D正确，B、C错误.
故选：AD
考点04：函数(导函数)图象与极值的关系.
7．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
8．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】C
【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值.
【详解】由图象可知，当和时，，则；
当时， ，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以在，上单调递减；在上单调递增；
所以的极小值为，极大值为.
故选：C.
考点05：函数极值点的辨析
9．（多选）下列函数中，恰有2个极值点的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用导数依次求解选项中函数的极值点各式个数，即可得到答案.
【详解】对选项A，由，得.
令，即，，或，.
即有无数个零点，且零点两侧函数值异号，
故有无数个极值点，故A不正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，B正确.
由，得.
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故恰有2个极值点，C正确.
由，得.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故恰有1个极值点，D不正确.
故选：BC
10．（多选）设函数，则（ ）
A．有两个极大值点B．有两个极小值点
C．是的极大值点D．是的极小值点
【答案】BC
【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项.
【分析】根据题意，可得，
于是
因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．
故选：BC
考点06：根据极值点求参数
11．函数的一个极值点为1，则的极大值是 ．
【答案】4
【分析】由极值点定义得到，求出，进而得到或时，，时，，得到函数单调性和极大值.
【详解】定义域为R，
，由题意得，，解得，
故，
令，解得，
令得，或，单调递增，
令得，，单调递减，
故在处取得极大值，极大值为.
故答案为：4
12．若函数有极值点，则实数c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围.
【详解】，则，
函数有极值点，则有有两个不同的实数根，
可得，解得或.
实数c的取值范围为.
故答案为：
考点07：函数(导函数)图像与极值点的关系
13．已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．
【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，
结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.
故选：C.
14．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】C
【分析】根据极小值点的定义结合导函数的图象求解
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，当时，，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
故选：C
考点08：求已知函数的极值点
15．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.
【详解】易知函数的定义域是，
由题意，，
当或时，；当或时，，
在和上单调递增，在和上单调递减，
极大值点是，极小值点是．
故选：A.
16．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点B．的图象关于原点对称
C．有三个零点D．零点之积为
【答案】ACD
【分析】利用函数的奇偶性判断B；再利用导数的变号零点的个数判断AC；变形函数的表达式，借助恒等式判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此的极大值为，极小值为，A正确，
而，因此函数有三个零点，C正确；
又，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，B错误；
设的三个零点分别为，则
，因此，D正确.
故选：ACD
1．已知函数，有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由极值点的定义结合函数与方程参变分离即可求解.
【详解】由题意有正根，即方程有正根，
而当时，，所以的取值范围为.
故选：D.
2．已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的极大值B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增D．的零点是和
【答案】B
【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】因为，
由图可知：，；或，；
且或，；，；
可得或，；，；
且函数为连续可导函数，
则在内单调递减，在内单调递增，
可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确；
由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；
故选：B.
3．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可.
【详解】当，则，，
依题意可得，解得，
即的取值范围是.
故选：A
4．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3B．18C．3或18D．不存在
【答案】B
【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解.
【详解】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；
所以，所以.
故选：B.
5．函数的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，再根据极大值与导数的关系即可得到答案.
【详解】，当时，，
当时，.
所以的极大值为.
故选：B.
6．已知函数有两个极值点p，q，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，得到方程组，求出，进而得到，得到答案.
【详解】依题意，，则，
因为，所以，
显然，，两式相除得，则，
代入中，解得，则．
故选：D
7．（多选）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ）
A．的减区间是
B．的增区间是
C．有一个极大值点，两个极小值点
D．有三个零点
【答案】BC
【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断.
【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
8．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是增函数，无极值
B．是减函数，无极值
C．的单调递增区间为，，单调递减区间为
D．是极大值，是极小值
【答案】CD
【分析】求导后，根据导函数正负可求得单调性，结合极值定义可求得极大值和极小值.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；AB错误，C正确；
的极大值为，极小值为，D正确.
故选：CD.
9．已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D.
【详解】的定义域为，，
由，得或；，得；
所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增，
所以极大值点为1，极小值点为2，即，
所以，故A对，，B错误
，故C正确；
由在上单调递减可得 ，即，故D正确
故选：ACD
10．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
11．若函数的极大值为11，则的极小值为 ．
【答案】－21
【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值.
【详解】函数的定义域为，，令，解得或，
列表：
所以当时，函数有极大值，由题意得，解得，
当时，函数有极小值.
故答案为：
12．设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为 .
【答案】9
【分析】由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解.
【详解】，由已知，从而，
所以，经验证此时，符合题意.
故答案为：9.
13．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求导得，由此即可求解；
（2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
∴极大值为，极小值为.
14．已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由极值点定义可得，解得，进检验符合题意；
（2）结合（1）中结论可得出函数在上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数的取值范围．
【详解】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
1．已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简的解析式得到平移后的解析式，求出其极大值点，列不等式组求解.
【详解】由题意，得．
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
令，，得，．
由，解得，，
取，可得，
结合，可得的取值范围是．
故选:D．
2．（多选）设，，定义（，且为常数），若，，．
①不存在极值；
②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③若在上是减函数，则实数的取值范围是；
④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【分析】对①：直接求的导数，采用零点存在定理判断是否存在极值即可；对②若函数与函数 的图象有两个交点，则函数一定与相切，通过联立方程求解即可；对③④，需要先求出的导函数，根据导函数特点去判断两命题是否成立.
【详解】对①：，则，因为，，
即，使得，所以存在极值，故①错误；
对②，由的的反函数为，可以画出与函数的图象，如图所示：
函数与两个交点中有1个交点为切点，
设切点横坐标为，此时，即，，故②正确；
对③：，则，
若在上是减函数，则对于恒成立，
即恒成立，因为，
所以恒成立，所以，即.
即实数a的取值范围是，故③正确；
对④：当时，，
设，是曲线上的任意两点,
，
所以，即 不成立，
所以的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直．故④错误.
所以②③正确，故B、C正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)求证：.
【答案】(1)无极大值，极小值为；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的单调区间;
（2）设，利用导数可证当时，，时，，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）由题意得，，，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数有极小值，无极大值，极小值为.
（2）令，则，
设，则.
令，解得；令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴，∴在上单调递增.
又，∴当时，，，∴；
当时，，，∴.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立，需关注如下几点：
（1）根据题设中不等式的特征合理构建新函数；
（2）利用导数讨论函数单调性可能需要再次构建与导函数相关的新函数；
（3）注意函数隐藏的零点.
0
1
-
0
+
0
+
单调递减
极小值
单调递增
无极值
单调递增
x
1
0
0
0
极小值
极大值
极小值
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
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