高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题完整版课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题完整版课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了降雨强度，建筑成本，具体问题具体分析等内容，欢迎下载使用。

＊ 用导数求函数的单调区间：
我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量，都可以用导数的概念来理解。比如在物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中，降雨强度是降雨量关于时间的导数……
前面主要学习利用导数帮助我们研究了函数的单调性和极值，导数的应用不止这些，它在日常生活工作和科学研究中有着广泛的应用。
分析：求功W关于时间t的平均变化率
所以需要找出自变量t的变化量（从1s变到3s），函数值W的变化量（W(1)到W(3)），导数W’(t)表示在t时刻的瞬时变化率
解：（1）当t从1s变到3s时，功W从 W(1)=11j变到W(3)=21j
此时功W关于时间t的平均变化率为
它表示t从1s变到3s这段时间，这个人平均每秒做功5j。
(2) W’(t)= W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s
W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这个人每秒做的功为7j和4j
在物理学中，通常称力在单位时间内做的功叫做功率，它的单位是瓦特。。
下表为一次降雨过程中某段时间内记录下的降雨量数据：t (单位：min) ，y(单位：mm)
（1）t 从0变到10时，和从50变到60时，降雨量 y 关于时间的变化率分别为：
它们分别表示从0到10分和从50到60分两个时间段内，平均每分降雨量为1 mm和0.2 mm。
前10分钟的降雨强度比后10分钟的大，这说明刚开始的10分钟比后10分钟的雨下得大。
它值得是 t = 40 分这一时刻，降雨量 y 关于 t 的瞬时变化率，即降雨强度为 0.25 mm/min。
（1）x 从100变到120时，y 关于 x 的平均变化率为：
当建筑面积从100平米增加到120平米时，每增加 1 平米，成本平均约增加1050元。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格): (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数, 并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元), 在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方要求的赔付价格最大是多少?
解: (1)∵赔付价格为 s 元/吨,
另解: ∵赔付价格为 s 元/吨,
∵当 t0;
当 t>t0 时, w<0,
∴当 t=t0 时, w 取得最大值.
(2设甲方净收入为 v 元, 则 v=st-0.002t2,
令 v=0 得 s=20.
∵当 s<20 时, v>0;
当 s>20 时, v<0,
∴当 s=20 时, v 取得最大值.
故甲方应向乙方要求的赔付价格为 20 元/吨.
它表示第20秒时的瞬时速度是 210 m/s。
＊ 导数在实际问题中的意义：
导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率，速度和降雨强度等。 在讨论实际问题时：
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.
例4 如图2-23(1), 一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2-23(2).所得容器的容积V(单位: cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数.
(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少?
解(1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意，可得V=V(x) = (48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}.根据导数公式表及导数的运算法则，可得 v'(x) = -4x(48-2x) + (48-2x)2=(48-2x)(-6x+48) =12(x-24)(x-8).
解方程V'(x)=O,得x1=8,x2 = 24. 根据x1,x2,列出表2-12,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点.
根据表2-12可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点，相应的极大值为V=V(8) = (48-16)2×8=8 192(cm3).V=(48-2x)2x的大致图象如图2-24.根据对函数变化规律的讨论可知：当0(2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过V(8),因此，x=8是函数的最大值点.此时V=V(8)=8 192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)内的最大值.即当截去的小正方形的边长为8 cm时,得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3.
变式：某地政府为科技兴市, 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.
已知 AB⊥BC, OA//BC, 且 AB=BC=2AO=4 km, 曲线段 OC 是以O为顶点且开口向右的抛物线的一段.
如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上, 且一个顶点落在曲线段 OC 上, 问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大? 并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).
解: 以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴, 建立 直角坐标系, 如图所示.
依题意可设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 且C(4, 2).
∴22=2p42p=1.
∴曲线段 OC 的方程为 y2=x(0≤x≤4, y≥0).
∵当 x=0 时, S=8<9.5,
∴Smax9.5(km2).
最大面积约为 9.5 km2.
变式: 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0练习:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
例3 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题. 对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数，分别为y=x3-24x2+225x+10, z=180x.⑴试写出该企业获得的生产利润ω(单位:万元)与产量x之间的函数关系式； ⑵当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？
解 (1)因为总利润=总收入一总成本，即ω=z-y,所以 ω= ω(x)= 180x-(x3-24x2+225x+10), 即 ω= -x3 +24x2-45x-10 (x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则，可得 ω'(x)=3x2+48x-45 = -3(x-1)(x-15).解方程ω'(x)=0,得 X1 =1,X2 = 15.
由图2-25可知，当x≥15时，ω'(x)≤0,所以ω(x)<ω(15).比较 x=0,x=l和x=15的函数值ω(0) =-10, ω(l) = -32, ω(15) = l 340可知，函数ω= ω(x)在x=15处取得最大值，此时最大值为1 340.即该企业的产量为15 t 时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元.
1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4 s时的瞬时速度为(　　)A．12 B．－12C．4 D．－4
解析：s′(t)＝－4(1－t)．t＝4 s时，s′(4)＝12.所以瞬时速度为12.故选A.
2．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对
解析：设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.当0≤x≤4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．故选B.
4．某吊装设备在工作时做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可表示为W(t)＝t3－2t＋6，则在t＝2时此设备的功率为________ W．
解析：W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.
5、　现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35 kn，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(kn)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？