北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性公开课课件ppt
展开一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成
简记为数列 ,其中数列的第1项 也称首项; 是数列的第n项,也叫数列的通项.
新中国成立后,我国1952~1994年间部分年份进出口贸易总额(亿美元)数据排成一数列:
19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3.
由上图可以看出我国1952~1994年部分年份,各时期进出口贸易总额的增长变化情况.
我们可以把一个数列用图像来表示:图1是数列①:3,4,5,6,7,8,9的图像.
O 2 4 6 n
图3是数列⑥:2100,2100,2100,…,2100的图像.
思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.
从图中可以看出,数列①的函数图像上升,称这样的数列为递增数列;数列⑤的函数图像下降,称这样的数列为递减数列;数列⑥称为常数列.
思考:你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢?
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列.
如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1
2.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列[解析] 由已知得an+1-an=3>0,故{an}为递增数列.
5.已知数列的通项公式为an=-4n+10,则数列是________数列.(填递增或递减)[解析] ∵an+1-an=-4(n+1)+10-[-4n+10]=-4<0.∴an+1
2.数列的递推关系(1)有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n的函数,往往借助于相邻之间的关系给出:如数列1,1,2,3,5,8,13,…此数列的规律可以写成an+2=an+1+an.其中a1=1,a2=1.可以利用以上关系列出整个数列,把此种类型的表示方法称为递推公式法.(2)递推公式存在一定的弊端,不能直接写出指定的某一项的值,有时需转化成通项公式,往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到.
3.函数与数列的联系与区别一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N+或它的子集{1,2,…,n},因而它的图像是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图像可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an-1),则图像呈上升趋势,即数列递增,即{an}递增⇔an+1>an对任意的n(n∈N+)都成立.类似地,有{an}递减⇔an+1<an对任意的n(n∈N+)都成立.
例1 判断下列无穷数列的增减性.
解:图4是这个数列的图像,数列各项的值负正相间,表示数列的各点相对于横轴上下摆动,它既不是递增的,也不是递减的.
例3 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件,沿途(包括A,B)共有8站,从A地出发时,装上发往后面7站的邮件各一个,到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上该站发往下面各站的邮件各一个.试写出邮件在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画出该数列的图像,并判断该数列的增减性.
解:将A,B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号,通过计算,上面各站剩余邮件数依次排成数列:
7,12,15,16,15,12,7,0.
它在{1,2,3,4}上是递增的,在{4,5,6,7,8}上是递减的.
该数列的图像如下图所示.
例4:已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,求实数λ的取值范围.【错因】 数列是以正整数N+(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数,因此它的图像只是一些孤立的点.
故λ的取值范围为{λ|λ≥-2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}.即λ>-3为所求的范围.
【正解二】 因为数列{an}是单调递增数列,所以an+1-an>0(n∈N+)恒成立.又an=n2+λn(n∈N+),所以(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0恒成立,即2n+1+λ>0.所以λ>-(2n+1)(n∈N+)恒成立.而n∈N+时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1时),所以λ>-3即为所求的范围.
1.(多选题)下列说法中正确的是( )A.数列a,a,a,…是无穷数列B.数列{f(n)}就是定义在正整数集N+或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数值C.数列0,-1,-2,-3,…不一定是递减数列D.已知数列{an},则{an+1-an}也是一个数列
解析:A,D显然正确;因为数列{f(n)}是定义在正整数集N+上或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数an=f(n),当自变量从小到大依次取值时,对应的是一列函数值,所以B项不正确;对于C,数列只给出前四项,后面的项不确定,所以不一定是递减数列.故选ACD.
3.在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是( )A.R B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]
解析:∵an+1-an=k(n+1)-kn=k,且数列{an}为递减数列,∴k<0. 故选C.
4.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+4n-33,则数列{an}中最大值是__________.
解析:∵an=-2(n2-2n+1)-31=-2(n-1)2-31, ∴当n=1时,an最大,最大值为-31.
本节课主要学习了:1.递增数列、递减数列、常数列. 2.判断数列增减性的方法.3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数,它也可以用图像、表格表示.
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