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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性精品练习题
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考点01：用导数判断或证明已知函数的单调性
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于A选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递增，
又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.
故选：D.
2．函数在区间内的单调性是（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先增后减D．先减后增
【答案】A
【分析】根据导数的符号可得答案.
【详解】，
当时，
所以在上单调递增.
故选：A
3．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】令函数，则 ，
因为 所以. 是增函数，
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即≥的解集为；
故选：D.
考点02：利用导数求函数的单调区间(不含参)
4．（多选）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为0
D．是偶函数
【答案】AC
【分析】通过对函数求导，即可得出结论.
【详解】由题意，，
在中，，
∴当时，，
∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；
A项，当时，，
故在单调递增，A正确；
B项，当时，，
当时，，所以只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.
故选：AC.
5．（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
6．（多选）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．（e，+∞）B．C．（0，）D．（，1）
【答案】AD
【分析】利用导数求得的一个单调递减区间.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故选：AD
考点03：由函数的单调区间求参数
7．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据 求解.
【详解】 ，显然 ，即 ；
故答案为： .
8．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
9．已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，得到关于的方程，解出即可
【详解】解：由，得，
因为的单调递减区间是，所以的解集为，
所以是方程的一个根，
所以，解得，
故答案为：
考点04：由函数在区间上的单调性求参数
10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的单调减区间后可求参数的取值范围.
【详解】，
令，则，而在区间上单调递减，
故，故，
故选：A.
11．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在恒成立，进而有，结合指数函数的单调性即可得出结果.
【详解】由题意知，
在恒成立，
得，
又函数在上单调递减，
所以，
.
故选：D．
12．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
考点05：函数与导函数图象之间的关系
13．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递减
D．在上单调递增
【答案】C
【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断，
【详解】时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选：C.
14．已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．
C．曲线在处的切线的斜率为0
D．最多有3个零点
【答案】D
【分析】由导函数图像得出原函数的单调性，即可判断选项.
【详解】设，且．
由图可得，当时，，
当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
故最多有3个零点．排除ABC.
故选：D
15．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．当时，>0
D．当时，=0
【答案】C
【分析】直接观察图象可判断ABD；根据函数单调性与导数的关系可判断C.
【详解】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；
由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；
当时，函数单调递减，所以，C错误.
故选：C
考点06：含参分类讨论求函数的单调区间
16．已知函数，.讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可；
【详解】函数的定义域为，
所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递减：在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
17．已知函数，.求的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；
【详解】因为，所以，
若，则当时，，函数单调递增；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
【详解】（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
1．已知函数是偶函数，其导函数的图像如图所示，且对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导函数图象得到在上单调递增，结合和是偶函数得到，，由单调性比较出大小.
【详解】由的图像可知，在上单调递增，
，故，即，
又函数是偶函数，故，
由于，故.
故选：B
2．设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.
【详解】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间为，
故选：A．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取特殊值，结合单调区间即可判断.
【详解】由，排除BD，
，
由，可得，解得，
由，可得，解得或，
所以函数的单调递减区间为，，
单调递增区间为，故排除C.
故选：A
5．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．
【详解】的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
7．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．
【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意；
故选：BC．
8．（多选）函数的单调减区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,
故选:AC.
9．下列四个函数：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函数是 ．
【答案】①③
【分析】方法一作图，从图像判断是否为凹函数；方法二用二阶导数大于零是判断是凹函数.
【详解】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象．
①函数图象如下图所示：
由图象可知该函数是凹函数，符合题意；
②，，图象如下图所示：
由图象可知，该函数是先凸后凹，不符合题意；
③；函数图象如下图所示：
由图象可知，该函数是凹函数，符合题意；
④，函数图象如下图所示：
由图象可知：该函数是凸函数，不符合题意，
故答案为：①③
法2：利用二阶导数判断．
①，所以该函数是凹函数，
②，
显然当时，，
当时，，因此当时，函数先凸后凹，
③，是凹函数，
④，
是凸函数，
故答案为：①③.
10．定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数是区间为“递进函数”，由的递增区间为求解.
【详解】解：因为函数是区间为“递进函数”，
所以的递增区间为，
令，则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
故答案为：
11．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.
（2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.
【详解】（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
12．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
1．已知的导函数为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导可得，且，得为奇函数，再利用导数求出的单调性，从而可求解.
【详解】因为，定义域为，
所以，则，且，
故为奇函数，且为增函数，
由，得，
故，解得，故D正确.
故选：D.
2．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定的大小，通过对数函数的性质确定的大小，最后根据的单调性得答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增；
，即；
令，
当时，，则单调递增，
所以，
即，
所以.
而在上单调递增，
故有，即.
故选：A.
3．设是函数的导函数，若对于任意的实数x，都有，给出下列命题：①是定义域上的增函数；②；③的最小值为；④函数恰有1个零点．其中正确命题的序号为 ．
【答案】②③
【分析】设，满足从而可对①判断；设，则，讨论的取值情况从而可对②判断；可得从而可对③判断；令，从而得，即可对④判读.
【详解】对于①，设，则，满足，但不是定义域上的增函数，故①错误；
对于②，设，则，
由条件可得当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即，故，故②正确；
对于③，设，
则，，
所以当时，函数取得最小值，故③正确；
对于④，由可得，因为，所以不成立，
所以函数没有零点，故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数，通过构造相关的函数，，再根据构造函数的性质从而可求解.
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增
考点01：用导数判断或证明已知函数的单调性
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于A选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递增，
又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.
故选：D.
2．函数在区间内的单调性是（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先增后减D．先减后增
【答案】A
【分析】根据导数的符号可得答案.
【详解】，
当时，
所以在上单调递增.
故选：A
3．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】令函数，则 ，
因为 所以. 是增函数，
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即≥的解集为；
故选：D.
考点02：利用导数求函数的单调区间(不含参)
4．（多选）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为0
D．是偶函数
【答案】AC
【分析】通过对函数求导，即可得出结论.
【详解】由题意，，
在中，，
∴当时，，
∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；
A项，当时，，
故在单调递增，A正确；
B项，当时，，
当时，，所以只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.
故选：AC.
5．（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
6．（多选）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．（e，+∞）B．C．（0，）D．（，1）
【答案】AD
【分析】利用导数求得的一个单调递减区间.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故选：AD
考点03：由函数的单调区间求参数
7．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据 求解.
【详解】 ，显然 ，即 ；
故答案为： .
8．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
9．已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，得到关于的方程，解出即可
【详解】解：由，得，
因为的单调递减区间是，所以的解集为，
所以是方程的一个根，
所以，解得，
故答案为：
考点04：由函数在区间上的单调性求参数
10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的单调减区间后可求参数的取值范围.
【详解】，
令，则，而在区间上单调递减，
故，故，
故选：A.
11．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在恒成立，进而有，结合指数函数的单调性即可得出结果.
【详解】由题意知，
在恒成立，
得，
又函数在上单调递减，
所以，
.
故选：D．
12．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
考点05：函数与导函数图象之间的关系
13．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递减
D．在上单调递增
【答案】C
【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断，
【详解】时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选：C.
14．已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．
C．曲线在处的切线的斜率为0
D．最多有3个零点
【答案】D
【分析】由导函数图像得出原函数的单调性，即可判断选项.
【详解】设，且．
由图可得，当时，，
当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
故最多有3个零点．排除ABC.
故选：D
15．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．当时，>0
D．当时，=0
【答案】C
【分析】直接观察图象可判断ABD；根据函数单调性与导数的关系可判断C.
【详解】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；
由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；
当时，函数单调递减，所以，C错误.
故选：C
考点06：含参分类讨论求函数的单调区间
16．已知函数，.讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可；
【详解】函数的定义域为，
所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递减：在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
17．已知函数，.求的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；
【详解】因为，所以，
若，则当时，，函数单调递增；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
【详解】（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
1．已知函数是偶函数，其导函数的图像如图所示，且对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导函数图象得到在上单调递增，结合和是偶函数得到，，由单调性比较出大小.
【详解】由的图像可知，在上单调递增，
，故，即，
又函数是偶函数，故，
由于，故.
故选：B
2．设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.
【详解】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间为，
故选：A．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取特殊值，结合单调区间即可判断.
【详解】由，排除BD，
，
由，可得，解得，
由，可得，解得或，
所以函数的单调递减区间为，，
单调递增区间为，故排除C.
故选：A
5．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．
【详解】的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
7．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．
【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意；
故选：BC．
8．（多选）函数的单调减区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,
故选:AC.
9．下列四个函数：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函数是 ．
【答案】①③
【分析】方法一作图，从图像判断是否为凹函数；方法二用二阶导数大于零是判断是凹函数.
【详解】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象．
①函数图象如下图所示：
由图象可知该函数是凹函数，符合题意；
②，，图象如下图所示：
由图象可知，该函数是先凸后凹，不符合题意；
③；函数图象如下图所示：
由图象可知，该函数是凹函数，符合题意；
④，函数图象如下图所示：
由图象可知：该函数是凸函数，不符合题意，
故答案为：①③
法2：利用二阶导数判断．
①，所以该函数是凹函数，
②，
显然当时，，
当时，，因此当时，函数先凸后凹，
③，是凹函数，
④，
是凸函数，
故答案为：①③.
10．定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数是区间为“递进函数”，由的递增区间为求解.
【详解】解：因为函数是区间为“递进函数”，
所以的递增区间为，
令，则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
故答案为：
11．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.
（2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.
【详解】（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
12．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
1．已知的导函数为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导可得，且，得为奇函数，再利用导数求出的单调性，从而可求解.
【详解】因为，定义域为，
所以，则，且，
故为奇函数，且为增函数，
由，得，
故，解得，故D正确.
故选：D.
2．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定的大小，通过对数函数的性质确定的大小，最后根据的单调性得答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减，
所以在上单调递增；
，即；
令，
当时，，则单调递增，
所以，
即，
所以.
而在上单调递增，
故有，即.
故选：A.
3．设是函数的导函数，若对于任意的实数x，都有，给出下列命题：①是定义域上的增函数；②；③的最小值为；④函数恰有1个零点．其中正确命题的序号为 ．
【答案】②③
【分析】设，满足从而可对①判断；设，则，讨论的取值情况从而可对②判断；可得从而可对③判断；令，从而得，即可对④判读.
【详解】对于①，设，则，满足，但不是定义域上的增函数，故①错误；
对于②，设，则，
由条件可得当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即，故，故②正确；
对于③，设，
则，，
所以当时，函数取得最小值，故③正确；
对于④，由可得，因为，所以不成立，
所以函数没有零点，故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数，通过构造相关的函数，，再根据构造函数的性质从而可求解.
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
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