北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值授课ppt课件

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§6　用导数研究函数的性质6．2　函数的极值
 1．通过实例了解极值的概念．2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．3．会利用导数求函数的极大值、极小值． 1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养.
极值是函数的一种局部性质(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_______点x0处的函数值，称x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_______x0处的函数值．称点x0为函数y＝f(x0)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．函数的极大值点与极小值点统称为_________，极大值与极小值统称为_______.
[提醒]　(1)极值点是指自变量x的值，即横坐标，极值是指函数值y，即纵坐标．(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
想一想：函数的极大值一定比极小值大吗？ 提示：不一定．
练一练：1．函数y＝1＋3x－x3有( 　　)A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)．令y′＝0得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减；当－10，函数y＝1＋3x－x3在(－1,1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(1，＋∞)上单调递减．所以当x＝－1时，函数y＝1＋3x－x3有极小值－1；当x＝1时，函数y＝1＋3x－x3有极大值3.
一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f(x)的导函数 f ′(x0)＝0，因此可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点．(1)求出导数 f ′(x)．(2)解方程 f ′(x)＝0.(3)对于方程 f ′(x)＝0的每一个实数根x0分析 f ′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)确定极值点．①若 f ′(x)在x0附近的符号“___________”，则x0为极大值点；②若 f ′(x)在x0附近的符号“___________”，则x0为极小值点；③若 f ′(x)在x0附近的符号“_______”，则x0不是极值点．设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数 f ′(x)，则 f ′(x0)＝0，反之不一定成立．
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)x＝0是函数y＝x3的极值点．(　 　)(2)可导函数一定存在极值．(　 　)(3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．(　 　)(4)若x＝x0是可导函数y＝f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0.(　 　)
2．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为_____.[解析]　y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
(1)函数f(x)＝ln x－x有( 　　)A．极小值为0，极大值为－1B．极大值为－1，无极小值C．极小值为－1，极大值为0D．极小值为－1，无极大值
[规律方法]　利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数 f′(x)．(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果 f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
(1) 当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( 　　)A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x(2)函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为_____.
(2)由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表：
所以当x＝2时，f(x)取得极小值．
[规律方法]　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类与整合的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看某数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
[规律方法]　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_____________.
忽视极值存在的条件致误 　已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．[误区警示]　可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.[点评]　由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( 　　)A．1B．2 C．3D．4[解析]　由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
2．(多选)对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下选项正确的是(　 　)A．有2个极大值B．有2个极小值C．1是极大值点D．1是极小值点
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( 　　)A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；②在区间(1,3)内f(x)是减函数；③x＝2时，f(x)取到极大值；④在x＝3时，f(x)取到极小值．其中正确的是_____(将你认为正确的序号填在横线上)．