2021学年第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.2 函数的极值第1课时导学案

这是一份2021学年第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.2 函数的极值第1课时导学案，共13页。学案主要包含了函数极值的概念，求函数的极值点，求函数的极值等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解函数的极大值和极小值的概念.2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．
导语
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
一、函数极值的概念
问题 已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象．
(1)观察y＝f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
提示 f(x0)在(a，b)内最大．
(2)函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
提示 不一定．
(3)对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
提示 f(x)在(a，x0)上是增加的，导数大于零，在(x0，b)上是减少的，导数小于零．
(4)函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
提示 与y＝f(x)在(a，b)上的结论相反．
知识梳理
1．函数极值的概念
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．函数的单调性与极值
(1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
注意点：
(1)极值点不是点．
(2)极值是函数的局部性质．
(3)函数的极值不唯一．
(4)极大值与极小值两者的大小不确定．
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点．
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
④当x＝－eq \f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
答案 ③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
对于②，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－eq \f(1,2)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的三个交点的横坐标分别为e，c，d，其中e所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值点
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f′(－1)＝f′(1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
∴a＝eq \f(1,2)，b＝0，c＝－eq \f(3,2).
(2)f(x)＝eq \f(1,2)x3－eq \f(3,2)x，
∴f′(x)＝eq \f(3,2)x2－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点．
反思感悟 一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么x＝x0是极大值点．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么x＝x0是极小值点．
跟踪训练2 求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点．
解 f′(x)＝9x2－1，
令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(1,3)，x2＝eq \f(1,3).
当x＜－eq \f(1,3)时，f′(x)＞0，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))上单调递增；当－eq \f(1,3)＜x＜eq \f(1,3)时，f′(x)＜0，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))上单调递减，
所以x1＝－eq \f(1,3)是函数的极大值点．
当－eq \f(1,3)＜x＜eq \f(1,3)时，f′(x)＜0，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))上单调递减；当x＞eq \f(1,3)时，f′(x)＞0，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))上单调递增，
所以x2＝eq \f(1,3)是函数的极小值点．
三、求函数的极值
例3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；
(2)f(x)＝eq \f(ln x,x).
解 (1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0.
(2)函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2).
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝eq \f(1,e)，没有极小值．
反思感悟 求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练3 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝sin x－cs x＋x＋1(0(2)f(x)＝x2e－x.
解 (1)由f(x)＝sin x－cs x＋x＋1,0知f′(x)＝cs x＋sin x＋1＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，0令f′(x)＝0，从而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)，
又0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，当x＝eq \f(3π,2)时，f(x)有极小值eq \f(3π,2)；当x＝π时，f(x)有极大值π＋2.
(2)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝eq \f(4,e2).
1.知识清单：
(1)函数极值的定义．
(2)函数极值的判定及求法．
2．方法归纳：数形结合思想、方程思想．
3．常见误区：
(1)忽视求定义域．
(2)导数值为零不是此点为极值点的充要条件．
1．函数y＝x＋ln x的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
答案 D
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，∵y′＝1＋eq \f(1,x)>0，∴函数y＝x＋ln x无极值．
2．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案 D
解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
4．若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A．x＝1是极小值点
B．x＝0是极小值点
C．x＝2是极小值点
D．函数f(x)在(1,2)上单调递增
答案 C
解析 由图象得f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，∴x＝2是极小值点，故选C.
课时对点练
1．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
答案 BC
解析 y′＝3x2≥0恒成立，所以函数y＝x3在R上单调递增，无极值点，A不符合；y′＝2x，当x>0时，函数y＝x2＋1单调递增，当x<0时，函数y＝x2＋1单调递减，B符合；结合该函数图象可知，函数y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，C符合；函数y＝2x在R上单调递增，无极值点，D不符合．
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A．－e B．－1
C．1－e D．0
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3．关于函数的极值，下列说法正确的是( )
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案 D
解析 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错误，C显然错误．
4.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案 C
解析 若f′(x)的符号在x0处由正变负，则f(x0)是极大值，若f′(x)的符号在x0处由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知f(x)有两个极大值点，两个极小值点．
5.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)单调递增
B．在(3,4)上函数f(x)单调递减
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
答案 D
解析 根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．
6．(多选)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列命题正确的是( )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
答案 CD
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值．
7．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
答案 a＋4eq \r(2) a－4eq \r(2)
解析 f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－eq \r(2)或x＝eq \r(2).
所以f(x)极大值＝f(－eq \r(2))＝a＋4eq \r(2)，
f(x)极小值＝f(eq \r(2))＝a－4eq \r(2).
8．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝2x－eq \f(2,x)，且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
9．求函数y＝eq \f(1,4)x4－eq \f(1,3)x3的极值．
解 y′＝x3－x2＝x2(x－1)，
由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
所以极小值为f(1)＝－eq \f(1,12).
10．设函数f(x)＝aln x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(3,2)x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(1,2x2)＋eq \f(3,2)(x>0)．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(3,2)x＋1(x>0)，
f′(x)＝－eq \f(1,x)－eq \f(1,2x2)＋eq \f(3,2)
＝eq \f(3x2－2x－1,2x2)＝eq \f(3x＋1x－1,2x2).
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( )
A．极大值为eq \f(4,27)，极小值为0
B．极大值为0，极小值为eq \f(4,27)
C．极小值为－eq \f(4,27)，极大值为0
D．极大值为－eq \f(4,27)，极小值为0
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－2px－q，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝0，,f1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝2，,q＝－1.))
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,3)或x＝1，
易得当x＝eq \f(1,3)时，f(x)有极大值eq \f(4,27)；当x＝1时，f(x)有极小值0.
12．已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)>0的解集为{x|1A．1 B．2
C．0 D．不能判断
答案 B
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－\f(3,a)＝3，))
解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.
于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，
y′＝－3x2＋6x－2，
由Δ>0，得y′＝0有两个相异实根，
故函数y＝xf(x)有两个极值点．
13．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
答案 C
14．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝________.
答案 －3
解析 由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0，可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为在等比数列中，aeq \\al(2,5)＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3.
15．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )
A．[－2,2]
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵y＝3x－x3，
∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.
∵当x∈(－∞，－1)时，y′<0；当x∈(－1,1)时，y′>0；当x∈(1，＋∞)时，y′<0.
∴当x＝1时，y取极大值2，当x＝－1时，y取极小值－2.
∵直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同交点，
∴m的取值范围为－216．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠eq \f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠eq \f(2,3)，得－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>eq \f(2,3)，则－2a所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间为(－2a，a－2)，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
②若aa－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调递减区间为(a－2，－2a)，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
0
＋
f(x)
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值eq \f(1,e)
↘
x
(0，π)
π
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))
eq \f(3π,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
π＋2
↘
eq \f(3π,2)
↗
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
↗
eq \f(4,e2)
↘
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
↘
无极值
↘
极小值
↗
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗