高中数学北师大版 (2019)选择性必修第二册6.2 函数的极值综合训练题

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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修第二册6.2 函数的极值综合训练题，共8页。试卷主要包含了故选A，设函数f=ex+4，则f的等内容，欢迎下载使用。

2.6.2　函数的极值

1.设a
【答案】C
【解析】y'=(x-a)(3x-a-2b)，
由y'=0得x1=a，x2=a+2b3.
当x=a时，y取得极大值0，
当x=a+2b3时，y取得极小值且极小值为负，故选C.
2.若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1，1)
B.(-∞，-1)
C.(1，+∞)
D.(-∞，-1)和(1，+∞)
【答案】A
【解析】令f'(x)=3x2-3a=0，得x=±a，
令f'(x)>0，得x>a或x<-a;
令f'(x)<0，得-a 即f(x)在x=-a处取极大值，在x=a处取极小值.
∵函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f(a)=2，f(-a)=6，
即aa-3aa+b=2且-aa+3aa+b=6，得a=1，b=4，
∴f'(x)=3x2-3.由f'(x)<0，得-1 则f(x)的单调递减区间为(-1，1).故选A.
3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为(　　)
A.a=3，b=-3或a=-4，b=11
B.a=-4，b=2或a=-4，b=11
C.a=-4，b=11
D.以上都不对
【答案】C
【解析】f'(x)=3x2-2ax-b，
则f'(1)=3-2a-b=0，①
f(1)=1-a-b+a2=10，②
由①②可得a=3,b=-3或a=-4,b=11.
对a=3,b=-3,f'(x)=3(x-1)2≥0，无极值点，当a=-4，b=11时满足题意，
∴a=-4，b=11.
4.函数f(x)=34x4+23ax3+2x2+b，若f(x)仅在x=0处有极值，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-23)∪[23，+∞)
B.(-∞，-23]∪[23，+∞)
C.(-23，23)
D.[-23，23]
【答案】D
【解析】f'(x)=3x3+2ax2+4x，
令f'(x)=3x3+2ax2+4x=0，可得x=0或3x2+2ax+4=0，∵f(x)仅在x=0处有极值，
∴Δ=4a2-48≤0，
∴-23≤a≤23，故选D.
5.设函数f(x)=(2x2-3x)ex+4，则f(x)的(　　)
A.极小值点为32，极大值点为-1
B.极小值点为-1，极大值点为32
C.极小值点为1，极大值点为-32
D.极小值点为-32，极大值点为1
【答案】C
【解析】∵f(x)=(2x2-3x)ex+4，
∴f'(x)=(2x2+x-3)ex=(2x+3)(x-1)ex，
令f'(x)>0，解得x>1或x<-32，
令f'(x)<0，解得-32 故f(x)在-∞，-32内单调递增，在-32，1内单调递减，在(1，+∞)内单调递增，
故x=-32是极大值点，x=1是极小值点.
6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　　　　　.
【答案】y=-1e
【解析】令y'=ex+xex=(1+x)ex=0，
得x=-1，∴y=-1e，
∴在极值点处的切线方程为y=-1e.
7.设函数f(x)=sin x-cos x+x+1，0 【答案】π+2　3π2
【解析】因为f(x)=sin x-cos x+x+1，0 所以f'(x)=1+2sinx+π4，0 f(x)，f'(x)随x的变化情况如下表:
x
(0，π)
π
π，3π2
3π2
3π2，2π
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
π+2
↘
3π2
↗

由上表知，f(x)的极大值为π+2，极小值为3π2.
8.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值，则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为　　　　　　　　.
【答案】-5
【解析】∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值，
且f'(x)=(x2+c)+(x-2)×2x，
∴f'(2)=0，∴(c+4)+(2-2)×4=0，
∴c=-4，
∴f'(x)=(x2-4)+(x-2)×2x.
∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.
9.已知函数f(x)=ex(4x+4)-x2-4x，求:
(1)f(x)的单调区间;
(2)f(x)的极大值.
解(1)f'(x)=ex(4x+4)+4ex-2x-4
=4ex(x+2)-2(x+2)=(x+2)(4ex-2)，
令f'(x)=0，解得x=-2或x=ln12，显然-2 当x<-2或x>ln12时，f'(x)>0，f(x)为增函数，
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，ln12，+∞;
当-2 所以f(x)的单调递减区间为-2，ln12.
(2)由(1)知，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=-4e-2-4+8=4-4e-2.

10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，f'(-2)=0，f'(2)=0，并且当x<-2时，f'(x)>0;当-22时，f'(x)>0，故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).
11.若函数y=x2ex在区间(1-a，a+1)上存在极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A.(3，+∞) B.(1，+∞)
C.(-1，+∞) D.(-3，+∞)
【答案】A
【解析】f'(x)=2xex+x2ex=x(2+x)ex，
∵函数f(x)=x2ex在区间(1-a，a+1)上存在极值点，∴f'(x)=0在区间(1-a，a+1)上有解，
令f'(x)=0，解得x=0或-2，
易知x=0或x=-2是函数f(x)的极值点，
∴1-a<0 解得a>3，
∴实数a的取值范围为(3，+∞).
故选A.
12.函数f(x)=2sin x-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列{an}，设Sn是数列{an}的前n项和，则cos S2 021=(　　)
A.1 B.12 C.-12 D.0
【答案】B
【解析】f'(x)=2cos x-1(x>0)，
f'(x)是周期为2π的周期函数，
令f'(x)=0，则cos x=12，
在区间(0，2π]上，x=π3,5π3，
作出f'(x)的图象:

可得f(x)在(0，2π]上的极大值点为x=π3，
所以{an}是首项为a1=π3，公差为d=2π的等差数列，所以S2 021=2 021×π3+2 021×2 0202×2π，
所以cos S2 021=cos2 021×π3+2 021×2 0202×2π
=cos-2 021π3=cos-674π+π3
=cosπ3=12.
故选B.
13.若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1，x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围是(　　)
A.(-∞，16] B.(-∞，16)
C.(16，+∞) D.[16，+∞)
【答案】B
【解析】因为函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1，x2，
所以f'(x)=3x2-6ax+12=3(x2-2ax+4)=0的两个不相等的根为x1，x2，
则Δ=4a2-16>0且a>0，解得a>2，x1+x2=2a，x1x2=4，
所以f(x1)+f(x2)=x13+x23-3a(x12+x22)+12(x1+x2)
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)
=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a
=-4a3+24a(a>2)，
令h(a)=-4a3+24a(a>2)，则h'(a)=-12a2+24<0，即h(a)在(2，+∞)内单调递减，
所以h(a) 14.(多选题)对于函数f(x)=16ln(1+x)+x2-10x，下列说法正确的是(　　)
A.x=3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调增区间是(-1，1)，(2，+∞)
C.f(x)在区间(1，2)内单调递减
D.直线y=16ln 3-16与函数y=f(x)的图象有2个交点
【答案】AC
【解析】f'(x)=16x+1+2x-10
=2(x-1)(x-3)x+1(x>-1)，
∴当-10，当13时，f'(x)>0，
∴f(x)在(-1，1)内单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增，
故x=3是f(x)的极小值点，故A正确，B错误，C正确;
由单调性可知f(3) 而f(2)=16ln 3-16，
故直线y=16ln 3-16与y=f(x)的图象有3个交点，故D错误.
15.设a∈R，若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点，则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】(-∞，-1)
【解析】∵y=ex+ax，∴y'=ex+a，由题意知，ex+a=0有大于0的实根.令y1=ex，y2=-a，则两曲线的交点在第一象限，如图所示，结合图形可得-a>1，解得a<-1.

16.已知函数f(x)=aex-e-x-(a+1)x(a>1).
(1)若a=e，讨论函数f(x)的单调性.
(2)若函数f(x)的极大值点和极小值点分别为x1，x2，试判断方程f(x1)-f(x2)=4是否有解?若有解，求出相应的实数a;若无解，请说明理由.
解(1)当a=e时，f(x)=ex+1-e-x-(e+1)x，
∵f'(x)=ex+1+e-x-(e+1)
=e2x+1+1-(e+1)exex=(ex+1-1)(ex-1)ex，
∴当x∈(-∞，-1)，x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减.
(2)f'(x)=aex+e-x-(a+1)=(ex-1)(a-e-x)=ae-x(ex-1)ex-1a，
令f'(x)=0，得x1=-ln a或x2=0，
∵a>1，∴-ln a<0，
当x<-ln a或x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当-ln a ∴当x1=-ln a时，函数取得极大值，且f(x1)=f(-ln a)=1-a+(a+1)ln a，
当x2=0时，函数取得极小值，且f(x2)=f(0)=a-1，
令g(x)=2-2x+(x+1)ln x(x>1)，
则g'(x)=ln x+1x-1，
令u(x)=g'(x)，则u'(x)=x-1x2>0，
∴u(x)在(1，+∞)上为增函数，
即g'(x)=u(x)>u(1)=0，
∴g(x)在(1，+∞)上为增函数，
∴方程g(x)=4在(1，+∞)上至多有一个实数解，
又g(e2)=2-2e2+2(e2+1)=4，
即方程f(x1)-f(x2)=4有解，
∴实数a=e2.
17.坐标平面内，由A，B，C，D四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象，过A，D两点，且在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若曲线y=f(x)是由A(0，0)，B(1，4)，C(3，2)，D(4，0)四点所决定的“贝茨曲线”，试回答下列问题:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:函数g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a>0)总存在两个极值点x1，x2，且当g(x1)+g(x2)≤0时，a的最小值为1.
(1)解∵f(x)的图象过点A(0，0)，D(4，0)，
∴f(x)有两个零点0，4，
∴设f(x)=x(x-4)(kx+m)(其中k≠0)，
则f'(x)=kx(x-4)+(kx+m)(2x-4).
∵在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C，由f'(0)=4，f'(4)=-2，
解得m=-1，k=18，
∴f(x)=18x(x-4)(x-8).
(2)证明g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a>0)，
则g'(x)=3x2-6ax-3，
∵Δ=(-6a)2-4×3×(-3)=36a2+36>0，
∴g'(x)有两个不相等的根x1，x2，易知x1，x2是g(x)的两个极值点.
∴x1+x2=--6a3=2a，x1x2=-33=-1，
∴g(x1)+g(x2)=x13-3ax12-3x1+5a+x23-3ax22-3x2+5a
=x13+x23-3a(x12+x22)-3(x1+x2)+10a
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]-3(x1+x2)+10a
=2a(4a2+3)-3a(4a2+2)-6a+10a
=-4a3+4a=4a(1-a2)，
∵g(x1)+g(x2)≤0，∴4a(1-a2)≤0，
∵a>0，∴1-a2≤0，∴a≥1，即a的最小值为1.