高中数学6.1 函数的单调性优秀课件ppt

这是一份高中数学6.1 函数的单调性优秀课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了函数单调性判定，单调函数的图象特征，增函数，减函数，5结论，请注意，有“”等内容，欢迎下载使用。

判断函数单调性有哪些方法？
首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D 上是减函数；
若 f(x) 在D上是增函数或减函数，
则 f(x) 在D上具有严格的单调性。
D = ( a , b )
(2)作差f(x1)－f(x2) (作商)
用定义法证明函数的单调性的一般步骤：
(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.
(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与0比较)
(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
本章学后，此方法基本上就被淘汰
切线斜率 的正负
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
注意：若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y = f(x)单调递增;若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
例1 讨论函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的单调性.
解 f'(x)=6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3).设 f'(x)＞0,则 6(x+2)(x-3)＞0,即 x＜-2 或 x＞3.故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)＞0,因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增；当x∈(-2,3)时,f'(x)＜0,因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减.
函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画出函数的大致图象.图2-14即为函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的大致图象.
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增，如图(1)所示；
例2 已知导函数 的下列信息:
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数 的图象的大致形状.
变式：已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示,则 的图象最有可能的是( )
1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“∪” 联系，而只能用“ ，”隔开
例： f(x)=x3, f(x)=x-sinx
已知函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:（1）若f(x)在区间(a,b)上是增函数, 则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立;（2）若f(x)在区间(a,b)上是减函数, 则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立. 然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.
逆向问题——已知单调性求参数
f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
例3.讨论二次函数 的单调区间.
在R上是减函数，则（ ）
2.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数f ' (x)的图象可能是（ ）
区间为
4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____.
5.讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9<0,解得16。如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数
的图象可能是（ ）
评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系.
解析:由条件，函数 上是减函数，则 .
7. 函数 f (x) 的导函数 f ′(x) 的图象如图所示，则下列判断中正确的是 ( )A．函数 f (x) 在区间 (-3，0) 上是减函数B．函数 f (x) 在区间 (1，3) 上是减函数C．函数 f (x)在区间 (0，2) 上是减函数D．函数 f (x) 在区间 (3，4) 上是增函数
所以， f (x) 在 (−∞，−1) 和 (2，+∞) 上都单调递增，在 (−1，2) 上单调递减.
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必须是定义域内的某个区间。
＊ 用导数求函数的单调区间：
小结求解函数单调区间的步骤
（1）确定函数y=f(x)的定义域D；
（2）求导数 f′ (x)；
（3）解不等式f′ (x)>0，解集在定义域内 D 的部分为增区间；
（4）解不等式f′ (x)<0，解集在定义域D内的部分为减区间．