数学选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性优秀课件ppt

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1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想.2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性． 核心素养：数学运算、直观想象
判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法：2.图象法：3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系:
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
导数与函数的的单调性之间的关系
函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
即时训练判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)
一 利用导数判断函数的单调性
反思感悟判断函数y＝f (x)的单调性第1步：确定函数的定义域；第2步：求出导数f ′(x)的零点；第3步：用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
跟踪训练 1.函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)A．增函数　　　　B．减函数 C．先增后减 D．不确定
解析 ∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cs x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
2.求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间.
解 函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
3.求函数f (x)＝x2e－x的单调区间.
二 导数与函数图象间的关系
反思感悟函数图象与导函数图象之间的关系研究一个函数的图象与其导函数图象之间关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间上递增，在哪个区间上递减；对于导函数，要注意其图象在哪个区间上大于0，在哪个区间上小于0，并分析这些区间与原函数单调区间是否一致.
即时训练导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
解析 当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.
例3 设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．
三 含参函数的单调性问题
反思感悟利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间.
即时训练试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
2.已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
3．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)
解析　∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．
解析 ∵f (x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
6.已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
解　f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
1.知识清单：（1）导数与函数单调性的关系.（2）原函数的图象与导函数的图象.2. 易错提醒：在解决有关图象问题时，注意分清是原函数的图象还是导函数的图象.
1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到的情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．