高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精讲)(原卷版+解析)，共25页。

【知识储备】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d或Sn＝eq \f(n(a1＋an),2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
【题型精讲】
【题型一 等差数列基本量的运算】
必备技巧 等差数列中的基本计算
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
例1 (2023·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70B．C．D．105
例2 (2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
例3 (2023·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
例4 (2023·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10 C.eq \f(5,2) D.eq \f(5,4)
【题型精练】
1. (2023·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. (2023·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4. (2023·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169B．144C．12D．13
【题型二 等差数列的性质及应用】
必备技巧 等差数列的性质
1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
例5 (2023·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9B．16C．20D．27
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
例7 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
例8 (2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【题型精练】
1．(2023·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
2. (2023·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【题型三 等差数列的判定与证明】
必备技巧 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
例9 (2023·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
[题型精练]
1．(2023·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.
2. (2023·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
3. (2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq \f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
必备技巧 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d0时，Sn有最小值；当d0，d0时，Sn有最小值；当d