高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第09课时抛物线及其性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第09课时抛物线及其性质(原卷版+解析)，共34页。
【回归教材】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2.抛物线的几何性质
【典例讲练】
题型一 抛物线定义的应用
【例1-1】设定点，动圆过点且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【例1-3】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为__________.
【例1-4】若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
归纳总结：
【练习1-1】已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【练习1-2】已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【练习1-3】已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型二 抛物线的标准方程
【例2-1】根据下列条件确定抛物线的标准方程.
（1）关于y轴对称且过点(-1，-3)； （2）过点(4，-8)；
（3）焦点在x-2y-4=0上； （4）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
【例2-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
归纳总结：
【练习2-1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)； （2）焦点在直线x+3y+15=0上.
【练习2-2】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
题型三 抛物线的几何性质
【例3-1】已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【例3-2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
归纳总结：
【练习3-1】过抛物线的焦点且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为______．
【练习3-2】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
【完成课时作业（五十八）】
【课时作业（五十八）】
A组 础题巩固
1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
2．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ）
A．4B．C．8D．
4．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点，直线AF交抛物线C的准线l于点B，且，则（ ）
A．B．4C．D．6
6．已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．【多选题】在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值
8．【多选题】设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
9．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为________．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线．垂足为B，若，则___________．
11．设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则_ ___．
12．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．
13．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
14．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上， 则 ．
15．如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点、、均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值.
B组 能力提升
1．设点在抛物线上，是焦点，则（ ）
A．880B．878C．876D．882
已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，
的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
4．如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
标准方程
图 形
几
何
性
质
范 围
对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点
坐标原点(0，0)
离心率
焦半径公式
第 9 课时 抛物线及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2.抛物线的几何性质
【典例讲练】
题型一 抛物线定义的应用
【例1-1】设定点，动圆过点且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为.
故选A.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案.
【例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由到其焦点的距离求得横坐标，进一步求得纵坐标，则答案可求.
【详解】
由题意知，焦点坐标为，准线方程为，
由到焦点距离等于到准线距离，得，则，
，可得，
故选：A.
【例1-3】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义求解.
【详解】
解：如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
【例1-4】若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可求解.
【详解】
由题意，可知抛物线的焦点，
由抛物线的定义有,
所以最小值为，此时点为直线与抛物线的交点，
而直线的方程求得为：，
所以有，解得或（舍），
所以
归纳总结：
【练习1-1】已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可求解.
【详解】
由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
【练习1-2】已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.
【详解】
如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C
【练习1-3】已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值.
【详解】
由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
题型二 抛物线的标准方程
【例2-1】根据下列条件确定抛物线的标准方程.
（1）关于y轴对称且过点(-1，-3)；
（2）过点(4，-8)；
（3）焦点在x-2y-4=0上；
（4）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
【答案】（1）；（2）y2=16x或x2=-2y；（3）x2=-8y或y2=16x；（4）y2=-12x.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求得抛物线的标准方程.
（2）利用待定系数法求得抛物线的标准方程.
（3）求得焦点坐标，由此求得抛物线的标准方程.
（4）求得双曲线左顶点坐标，由此求得抛物线的标准方程.
【详解】
（1）设抛物线方程为，代入得，
所以抛物线方程为.
（2）设抛物线方程为或，代入点得：
或，
所以或，
所以抛物线方程为或.
（3）点和在直线上.
所以或，即或，
所以抛物线方程为或.
（4）双曲线方程可化为，所以左顶点坐标为，
所以，
所以抛物线方程为.
【例2-2】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可
【详解】
依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线过点(3,-4)，可设抛物线方程为 (p>0)或 (p1>0)，将点代入求参数，写出抛物线方程即可.
（2）由焦点在x+3y+15=0上，分焦点在x轴或y轴上，求焦点坐标，写出抛物线方程.
【详解】
（1）∵点(3,-4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0).
将(3,-4)的坐标分别代入方程中，
∴由，得：；由，得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为或.
【练习2-2】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】
将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
题型三 抛物线的几何性质
【例3-1】已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出的值，然后可算出答案.
【详解】
由题可知，解得，所以的面积为，
故选：C
【例3-2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知，求出，结合抛物线的定义，求出到准线的距离．
【详解】
解：由抛物线，可知，即（为坐标原点），
过点作轴的垂线
，垂足为，
因为，即，
由，可知，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
归纳总结：
【练习3-1】过抛物线的焦点且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知是等边三角形，求出该三角形的边长，即可得解.
【详解】
设直线交轴于点，因为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为，
由抛物线的定义可得，易知轴，则，，
故是等边三角形，
则，，
因此，到直线的距离为.
故答案为：.
【练习3-2】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】
法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
【完成课时作业（五十八）】
【课时作业（五十八）】
A组 础题巩固
1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义判断即可
【详解】
动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：C．
2．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由点在抛物线上可得抛物线的方程为，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得解.
【详解】
由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，
则抛物线的焦点到准线的距离等于.
故选：B
3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线定义得，求出，再分析求解即可.
【详解】
根据抛物线定义得：，解得，所以，
所以.
故选：B.
4．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】
解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
5．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点，直线AF交抛物线C的准线l于点B，且，则（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义及三角形平行线分线线段成比例定理即可求解.
【详解】
由题意可知，过点作交于点，直线交轴于点,如图所示
由，得，即.
在中，，
由，得，即，所以,即,
所以,
由抛物线的定义知，.
故选：D.
6．已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
若轴，准线，根据抛物线定义有，且、，即可求值.
【详解】
若轴，准线，如下图示：
令，而，
所以，又，
所以.
故选：C
7．【多选题】在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【详解】
解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；
，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；
故选：BCD
8．【多选题】设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（ ）
A．B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】
根据题意，作出示意图,
因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为的面积为|BF|2＝9，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
故选：BC.
9．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设点，分析可得，由平面内两点间的距离公式结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】
设点，则，易知点，由题意可得，则，
所以，，
当且仅当时，取得最小值.
故答案为：.
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线．垂足为B，若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
由的长求出点纵坐标，从而可得点坐标，由此可得结论．
【详解】
如图，抛物线的准线与轴交点为，由已知得，，
，又，则，在轴上方，，
所以，，
所以轴，从而是正方形，．
故答案为：．
11．设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【答案】##
【解析】
【分析】
当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【详解】
如图所示，
过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
所以点到直线的距离为，
所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，
过点作直线垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，
因此．
故答案为：
12．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得点在圆上，可知直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，即可求得正数的取值范围.
【详解】
由题意可得、，
设，则，，
又，则，即，
又因为点在直线上，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，因此，的取值范围是.
故答案为：.
13．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.
【详解】
如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
14．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上， 则 __．
【答案】
【解析】
【分析】
作辅助线，由可知，由三角形相似结合抛物线定义可求得，从而推得 ，从而由求得答案.
【详解】
如图，设抛物线准线交x轴与点K,
分别过作垂直于抛物线的准线于
由，得 ，
由抛物线定义可知
由 得

则，
，
故答案为：．
15．如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点、、均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出、的值，由已知可得，求出的值，再利用斜率公式可求得的值.
(1)
解：根据题意设抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线方程可得，
所以，抛物线的方程为.
(2)
证明：由题意可知直线、的倾斜角互补，
若轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，若直线轴，则、重合，不合乎题意，
所以，直线的斜率不为零，，同理，
由已知，可得，
因此，.
故直线的斜率为定值.
B组 能力提升
1．设点在抛物线上，是焦点，则（ ）
A．880B．878C．876D．882
【答案】A
【解析】
【分析】
根据焦半径公式，结合等差数列求和，即可求解.
【详解】
由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式，
所以
.
故选：A
2．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.
【详解】
由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：B.
3．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
确定圆心坐标以及抛物线的焦点和准线，结合图形的结合性质可得，结合抛物线定义可得，即可得的最小值.
【详解】
由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
4．如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，
四边形的面积，
又，所以，
由抛物线定义，得，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
标准方程
图 形
几
何
性
质
范 围
对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点
坐标原点(0，0)
离心率
焦半径公式