高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第09课时n次独立重复试验与二项分布(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第09课时n次独立重复试验与二项分布(原卷版+解析)，共28页。
【回归教材】
1.条件概率与概率的乘法公式
（1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．简称条件概率．
（2）读法：一般把读作
（3）乘法公式：① ．
②公式的推导依据：，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．
2.条件概率的性质
（1）设，则1． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ．
（3）设和B互为对立事件，则 . （4）．
3.全概率公式
若样本空间中的事件满足：
（1）任意两个事件均 ，即，． （2） ．
（3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．
上述公式可借助图形来理解：
4.事件的相互独立性
（1）相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
（2）相互独立事件的性质：当事件A，B相互独立时，则事件 与事件 相互独立，事件 与事件 相互独立，事件 与事件 相互独立．
5.二项分布
(1)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，
则 ，此时称随机变量X服从 ，记为 ，
并称p为成功概率
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝
【典例讲练】
题型一 条件概率与全概率公式
【例1-1】设，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是__________.
【例1-3】一电器商城出售的某种家电产品来自甲､乙､丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为，且它们的产品合格率分别为96%，95%，98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为___________.
归纳总结：
【练习1-1】新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为___________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为___________.
题型二 相互独立事件的概率
【例2-1】已知事件相互独立，且，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、. 求：
（1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率；
（3）恰有一人译出密码的概率； （4）至多一人译出密码的概率；
（5）至少一人译出密码的概率.
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥B．
C．与对立D．与相互独立
【练习2-2】某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为，，，且三人是否晋级彼此独立.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； (2)求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.
题型三 独立重复试验
【例3-1】【多选】下列说法正确的是（ ）．
A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则
B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响
C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同
D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，
【例3-2】某项比赛规则是3局2胜，甲乙两人进行比赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获胜的概率为______.
归纳总结：
【练习3-1】甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多得2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛结束时甲得2分乙得0分的概率为___________，设比赛停止时已打局数为，则___________.
题型四 二项分布
【例4-1】已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【例4-3】福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次．
(1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，求的分布列．
归纳总结：
【练习4-1】【多选题】如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B． C． D．
【练习4-2】某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的.用表示这4次射击中命中目标的次数，求随机变量的分布列和期望.
【完成课时作业（七十一）】
【课时作业（七十一）】
A组 础题巩固
1．设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（ ）
A．B．C．D．
2．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为，若第一步成功，第二步失败的概率为，若前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
4．【多选题】同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B． C．D．
5．【多选题】已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5 B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1 D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
6．记为事件的对立事件，且，则___________.
7．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p．
(1)求p的值．
(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望．
8．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
B组 挑战自我
1．【多选题】如图所示的电路由，两个系统组成，其中M，N，P，Q，L是五个不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出现故障的概率分别为，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率为 B．系统正常工作的概率为
C．系统正常工作的概率为 D．系统，均正常工作的概率为
2．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M，则______．
3．每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人.记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.求当最大时，的取值.
第 9 课时 n次独立重复试验与二项分布
编写：廖云波
【回归教材】
1.条件概率与概率的乘法公式
（1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．简称条件概率．
（2）读法：一般把读作在事件A发生条件下事件B发生的概率
（3）乘法公式：① ．
②公式的推导依据：，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．
2.条件概率的性质
（1）设，则1． （2）如果B和C是两个互斥事件，那么．
（3）设和B互为对立事件，则. （4）．
3.全概率公式
若样本空间中的事件满足：
（1）任意两个事件均互斥，即，． （2）．
（3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式．
上述公式可借助图形来理解：
4.事件的相互独立性
（1）相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
（2）相互独立事件的性质：当事件A，B相互独立时，则事件________与事件________相互独立，事件________与事件________相互独立，事件________与事件________相互独立．
5.二项分布
(1)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，
则，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，
并称p为成功概率
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)
【典例讲练】
题型一 条件概率与全概率公式
【例1-1】设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用条件概率的公式算出，也利用条件概率公式算出最终答案
【详解】因为，且，所以
，所以，
故选：D.
【例1-2】某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是__________.
【答案】
【分析】设A=“家用小电器不合格”，B=“家用小电器在网上购买的”，由条件概率的计算公式可得答案.
【详解】设A=“家用小电器不合格”，B=“家用小电器在网上购买的”，则
，，故
故答案为：
【例1-3】一电器商城出售的某种家电产品来自甲､乙､丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为，且它们的产品合格率分别为96%，95%，98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为___________.
【答案】0.96
【分析】易知取到合格品的情况有三种，分别算出每一种合格品的概率即可.
【详解】由题意知，取到合格品的情况又三种：甲厂合格、乙厂合格、丙厂合格概率分别为所以渠道合格品的概率为
故答案为：0.96
归纳总结：
【练习1-1】新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为___________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为___________.
【答案】 0.83##； .
【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，根据事全概率公式以及贝叶斯公式计算可得答案.
【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，
事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，
则，，，
，，，
所以小明被感染的概率为
；
小明被感染,则是被第三代感染的概率为
故答案为：0.83；.
题型二 相互独立事件的概率
【例2-1】已知事件相互独立，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据事件，，，都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.
【详解】由题意，事件相互独立，则，，都相互独立，
事件与事件为对立事件，且，则，故正确；事件与事件为相互独立，则，故正确；
事件相互独立，事件为和事件，则，故C错误；
事件，相互独立，而事件为和事件，
所以，故D正确.
故选：C.
【例2-2】甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、. 求：
（1）两个人都译出密码的概率；
（2）两个人都译不出密码的概率；
（3）恰有一人译出密码的概率；
（4）至多一人译出密码的概率；
（5）至少一人译出密码的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式可求得结果；
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率公式可求得结果；
（3）利用相互独立事件的概率乘法公式结合互斥事件的概率加法公式可求得结果；
（4）结合（1）由对立事件的概率公式可求得结果；
（5）结合（2）由对立事件的概率公式可求得结果.
【详解】记事件为“甲独立地译出密码”，事件为“乙独立地译出密码”.
（1）两个人都译出密码的概率为.
（2）两个人都译不出密码的概率为.
（3）恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，
即，
∴
.
（4）至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
∴其概率为.
（5）至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码，
∴其概率为.
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥B．
C．与对立D．与相互独立
【答案】BD
【分析】AC选项可以根据互斥和对立的定义判断，D选项可以通过判断是否成立，B选项依据“正难则反” 的思路计算.
【详解】A选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为4，于是与可以同时发生，并不互斥，A选项错误；
两次都不出现奇数点的事件记为，依题意，于是，B选项正确；
C选项，当第一次投出奇数点，第二次投出偶数点，那么事件同时发生了，并不互斥，根据互斥和对立的关系，与也不对立，C选项错误；
D选项，，两次投掷的点数相同，显然是6种情况，于是，意为两次投出的点数均为偶数，显然只有3种情况，于是，符合独立事件的定义，故D选项正确.
故选：BD
【练习2-2】某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为，，，且三人是否晋级彼此独立.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率即可；（2）分成三种情况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.
(1)
设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意；
(2)
设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为，依题意.
题型三 独立重复试验
【例3-1】【多选】下列说法正确的是（ ）．
A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则
B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响
C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同
D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，
【答案】ABD
【分析】根据重伯努利试验的特征和二项分布的定义可依次判断各个选项得到结果.
【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验．
在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误．
二项分布的定义为：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，
则这个事件恰好发生次的概率，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．故A正确，D正确．
故选：ABD．
【例3-2】某项比赛规则是3局2胜，甲乙两人进行比赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获胜的概率为______.
【答案】
【分析】由题可知甲获胜的有两类，和，然后利用独立事件概率公式计算即得.
【详解】因为甲获胜的方式有和两种，
所以甲获胜的概率为.
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多得2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛结束时甲得2分乙得0分的概率为___________，设比赛停止时已打局数为，则___________.
【答案】
【分析】比赛结束时甲得2分乙得0分的情况是比赛进行了2局，甲2局都胜；表示的是前4局中没有分出胜负，即前2局中各胜一局，第3、4局各胜一局，代入计算即可得出答案.
【详解】比赛结束时甲得2分乙得0分的情况是比赛进行了2局，甲2局都胜，所以，
则比赛结束时甲得2分乙得0分的概率为.
因为表示的是前4局中没有分出胜负，即前2局中各胜一局，第3、4局各胜一局，
所以.
故答案为：；
题型四 二项分布
【例4-1】已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.
【详解】由，得，解得
所以.
故选：D.
【例4-2】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值.
【详解】因为 ，若最大，则
，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.
故选：C.
【例4-3】福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次．
(1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，求的分布列．
【答案】(1) (2)的分布列见解析
【分析】（1）先求出1次制作成功的概率，在结合二项分布概率公式，即可求解；（2）若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为，的可能取值为0，1，2，3，4，即可得的分布列.
（1）由题意可知，1次制作成功的概率为，
所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，，
它的分布列为
即
归纳总结：
【练习4-1】【多选题】如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】设，则，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．
【详解】设，依题意，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
由二项式系数的性质可知中，最大，
则，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：ABD.
【练习4-2】某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的.用表示这4次射击中命中目标的次数，求随机变量的分布列和期望.
【答案】分布列见解析；
期望：，
【分析】先分析的可能取值为0,1,2,3,4，再由二项分布知识可得概率和分布列.
【详解】每次射击都有两种可能的结果：命中目标或没有命中目标，并且每次射击命中目标的概率
都是，每次射击没有命中目标的概率均为.在4次射击中，命中目标的次
数的可能取值为0,1,2,3,4.
事实上，当时，4次射击有次命中目标，有次没有命中目
标，这包含种情况.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，可
得
的分布如下表：
则
【完成课时作业（七十一）】
【课时作业（七十一）】
A组 础题巩固
1．设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的方差公式可求得，再根据二项分布的概率求解即可
【详解】因为，故，故
故选：B
2．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为，若第一步成功，第二步失败的概率为，若前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对立事件、条件概率、全概率的公式代入即可得出答案.
【详解】记事件表示“制作石墨烯发热膜第i步时失败”（i＝1，2，3），
记事件B表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为，
所以．
故选：B.
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
4．【多选题】同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由相互独立事件的乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B；
【详解】因为事件A，B，C两两相互独立，所以，
，，所以，故A正确．
易知，，所以，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
5．【多选题】已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
【答案】AB
【分析】由二项分布的概率公式以及期望方差公式依次判断即可.
【详解】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A正确；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B正确；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C错误；
对于D，至少命中两次的概率，D错误.
故选：AB.
6．记为事件的对立事件，且，则___________.
【答案】##0.75
【分析】利用条件概率公式可得，进而即得.
【详解】因为，
∴，
∴.
故答案为：.
7．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p．
(1)求p的值．
(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望.
(1)
设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中无成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”，
则
，
解得．
(2)
设这3件中成品的件数为Y．
由题可知．
因为，
所以，
，
，
，
所以X的分布列为
所以．
8．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
（1）平均年龄 （岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
B组 挑战自我
1．【多选题】如图所示的电路由，两个系统组成，其中M，N，P，Q，L是五个不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出现故障的概率分别为，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率为B．系统正常工作的概率为
C．系统正常工作的概率为D．系统，均正常工作的概率为
【答案】BD
【分析】对于A，利用独立事件的概率公式求解即可，对于B，先求出系统不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于C，先求出系统不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于D，利用独立事件的概率公式求解即可，
【详解】设事件A，B，C，D，E分别表示M，N，P，Q，L元件出现故障，则，，，，所以元件M，N均正常工作的概率为，A错误，
系统正常工作的概率为，B正确；
系统正常工作的概率为，C错误；
系统，均正常工作的概率为，D正确.
故选：BD.
2．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M，则______．
【答案】
【分析】设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，，然后根据二项分布的知识算出答案即可.
【详解】由题意知，它的分布列为，k＝0，1，2，3，4，5，
所以．
设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，它的分布列为，
且事件，
又事件，，之间互斥，且X与Y相互独立，
所以．
故答案为：；.
3．每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人.记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在(单位：小时)内的概率，其中.求当最大时，的取值.
【答案】(1)分布列见解析；
(2).
【分析】（1）根据分层抽样的性质，结合古典概型的计算公式进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合二项分布的性质进行求解即可.
(1)
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为：
(2)
（2）由概率和为1得：，
解得：.
学生日平均阅读时间在的概率，则，
因此有且，解得，
当时，最大.
X
0
1
2
3
4
P
x
0
1
2
3
4
P

X
0
10
20
30
P
0
1
2
3