高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第7课时幂函数及幂、指数、对数函数的综合应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第7课时幂函数及幂、指数、对数函数的综合应用(原卷版+解析)，共28页。
【回归教材】
1.幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
2.五种常见幂函数
3.幂函数性质
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
【典例讲练】
题型一 幂函数的图像与性质
【例1-1】已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（ ）
A． B． C．或 D．
【例1-2】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
、、 B．、、
C．、、 D．、、
【例1-3】若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．
归纳总结：
【练习1-1】已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．
【练习1-2】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
B．
C．D．
题型二 幂函数性质的应用
【例2-1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】幂函数过点，则______，若，则实数的取值范围是______．
【例2-3】幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
归纳总结：
【练习2-1】已知，，，则的大小关系是_____________.
【练习2-2】不等式的解为______．
题型三 幂、指数、对数函数的综合应用
【例3-1】【多选题】已知，且，若，则的大小关系可以是（ ）
A． B．C．D．
【例3-2】已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1B．2C．D．
【例3-3】已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④B．②③C．①③D．②④
归纳总结：
【练习3-1】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-2】已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【请完成课时作业（十三）】
【课时作业（十三）】
A组 基础题
1．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
B．
C．D．
2．已知幂函数上单调递增，则（ ）
A．0B．C．D．
3．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．在函数，，，，四个函数中，当时，使成立的函数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
9．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A．B．C．D．
10．【多选题】若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．【多选题】已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．函数y定义域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，单调区间________．
13．写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．
14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
B组 能力提升能
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是方程的根，是方程的根，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
第 7 课时 幂函数及幂、指数、对数函数的综合应用
编写：廖云波
【回归教材】
1.幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
2.五种常见幂函数
3.幂函数性质
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
【典例讲练】
题型一 幂函数的图像与性质
【例1-1】已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
因为函数为幂函数，则，即，解得或.
若，函数解析式为，该函数在定义域上不单调，舍去；
若，函数解析式为，该函数在定义域上为增函数，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
【例1-2】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
【答案】D
由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，
结合选项知，指数的值依次可以是．
故选：D.
【例1-3】若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．
【答案】
因为过定点，
将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，
所以过定点.
故答案为.
归纳总结：
【练习1-1】已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．
【答案】A
由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为.
故选：A.
【练习1-2】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.
故选：D
题型二 幂函数性质的应用
【例2-1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
整理可得，利用幂函数，指数函数的单调性判断．
【详解】
，
幂函数在R上单调递增，
指数函数在R上单调递增，，
∴
故选：A．
【例2-2】幂函数过点，则______，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数所过的点求解析式，再由所得幂函数的单调性解不等式，求a的范围.
【详解】
设幂函数解析式为，将代入得，
所以，在上单调递减，
所以，可得．
故答案为：，
【例2-3】幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解.
【详解】
有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】已知，，，则的大小关系是_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由幂函数的单调性求解即可
【详解】
，，，则
，
，
，
又幂函数在单调递增，，
所以
【练习2-2】不等式的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】
将不等式转化成
（Ⅰ） ，解得 ；
（Ⅱ） ，解得 ；
（Ⅲ） ，此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
题型三 幂、指数、对数函数的综合应用
【例3-1】【多选题】已知，且，若，则的大小关系可以是（ ）
A． B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
在同一坐标系中画出函数y＝ex，y＝lnx，的图象，然后观察与他们的交点即可得到答案.
【详解】
如图，在同一坐标系中画出函数y＝ex，y＝lnx，的图象，
当直线与三者都相交时，交点的横坐标即为的值，由图知，当从大变到小时，依次出现c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c．
故选：ACD.
【例3-2】已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，分别是函数，的图象与直线交点的横坐标，由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以两交点的中点就是直线与的交点，求出交点坐标，再利用中点坐标公式可求出的值
【详解】
由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
【例3-3】已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
由进行化简，得到，结合函数的单调性判断出正确答案.
【详解】
单调递增，
，
又在上单增，.
而，
故，
故选：B
归纳总结：
【练习3-1】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的单调性可知的范围，即可求解.
【详解】
由，所以，，，
所以，
故选：B
【练习3-2】已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】
函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
由图象可知，故A正确；
由，可得或，结合图象可知，故B错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；
又，且，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：B.
【请完成课时作业（十三）】
【课时作业（十三）】
A组 基础题
1．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】
根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
2．已知幂函数上单调递增，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得且，从而可求出的值
【详解】
因为幂函数上单调递增，
所以且，
解得，
故选：A
3．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
【答案】C
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.
【详解】
设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在在单调递减，C正确，
故选：C
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.
【详解】
由题意，，易知函数在R上单调递减（减+减），而，所以.
故选：D.
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质可知，根据幂函数的性质可知，由此即可得到结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在上单调递增，所以，所以.
故选：B.
6．设，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和三角函数的性质可得，结合指数函数、对数函数的单调性求出的范围，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
则，
，
，
所以，
故选：D
7．在函数，，，，四个函数中，当时，使成立的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断使成立的函数图象“上凸”，再结合图像依次判断4个选项即可.
【详解】
当时，使成立，
则表示连接两点的线段中点的纵坐标小于曲线在中点处的纵坐标，
即的图象“上凸”，
由图象可直观得到：当时，，，的图象都不是上凸的，
只有为“上凸”的函数．
故选：A．
8．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知构造函数，利用，，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.
【详解】
构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.
由，，
得，，所以.
故选：B.
9．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果.
【详解】
由的图象如下：
由图知：当时，，D可能；
当时，，B可能；
当时，，A可能.
故选：C
10．【多选题】若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
由指对幂函数的单调性及指对幂运算依次判断4个选项即可.
【详解】
对于A，由为增函数知，A正确；对于B，由在为增函数知，B正确；
对于C，取，则，则，C错误；
对于D，易得，则，则，D错误.
故选：AB.
11．【多选题】已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.
【详解】
由题设，，，，
所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
由图及、对称性知：，且，
所以A、D正确，B、C错误.
故选：AD
12．3．函数y定义域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，单调区间________．
【答案】 {x|x≠0} {y|y＞0} 偶函数 (﹣∞，0)，(0，＋∞)．
【解析】
【分析】
把函数y化为根式的形式，求出它的定义域和值域；再根据函数奇偶性与单调性的定义进行判断，即可得出正确的结论．
【详解】
∵函数y，
∴x2≠0，
解得x≠0，
∴函数y的定义域是{x|x≠0}；
又y＞0，
∴函数y的值域是{y|y＞0}；
又对定义域内的任意x，有f(﹣x)f(x)，
∴y＝f(x)是定义域上的偶函数；
又y＝f(x)，
当x＞0时，f(x)是减函数，
x＜0时，f(x)是增函数，
∴(﹣∞，0)和(0，＋∞)是函数的单调区间．
故答案为：{x|x≠0}；{y|y＞0}；偶函数；(﹣∞，0)，(0，＋∞)．
13．写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数.
【详解】
的定义域为，在区间递增，
且，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】
幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
B组 能力提升能
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；
【详解】
解：令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以
又
所以，即.
故选：A
2．已知是方程的根，是方程的根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知是与的图象的交点横坐标，是与的图象的交点横坐标，函数与的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，利用对称性可求得结果.
【详解】
方程可变形为，方程可变形为，
所以，是与的图象的交点横坐标，是与的图象的交点横坐标，
因为与互为反函数，这两个函数的图象关于直线对称，
在函数图象上任取一点，该点关于直线的对称点的坐标为，
由可得，则点也在函数的图象上，
故函数的图象关于直线对称，
所以，点与点关于直线对称，所以，故.
故选：D.
3．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出，从而可比较出三个数的大小
【详解】
因为在上为增函数，且，
所以，
因为，所以，即，
令（），得，
所以在上递增，
所以，所以，
令，则，即，即，
所以，
故选：D
4．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合，作出函数的图象与直线，可得，即求.
【详解】
∵函数有两个不同的零点，
∴函数的图象与直线有两个交点，
作出函数与直线的图象，如图
则，即，
∴.
故选：D.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点