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人教A版（2019）高中数学选修一讲义07直线与圆的综合
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直线与圆的综合 学习目标1．掌握直线和圆位置关系相关应用问题．2．掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题．3．掌握求解与圆有关的最值问题和与圆有关的对称问题的方法．【备注】1、本讲的重点是掌握直线和圆位置关系相关应用问题（求切线方程问题、求切线长问题、求相交弦长问题）、掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题、掌握求解与圆有关的轨迹问题、最值问题和与圆有关的对称问题的方法．2、关联知识：直线方程、圆的方程．一、 直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法 ①求过圆上一点 的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若 ，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ． ②求过圆外一点 的圆的切线方程 几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得 ，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次 方程，由 求得 ，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得 值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．1 经典例题 1. 过点 与圆 所引的切线方程为 ． 【备注】本题由于点 在直线外，所以应用方法②，这里需要注意考虑切线斜率是否存在问题 【答案】【解析】，点 在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，可设过点 的切线方程为 ， 圆心 到切线的距离等于半径 ，可得 ， 解得 ，从而切线为 ． 【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算 2. 过点 的直线 与圆 相切，则直线 在 轴上的截距为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题虽然没有直接表示 在圆上，但是将点代入圆的方程会发现此点为切点 【答案】D 【解析】根据题意，圆 ，对于点 ， 有 ， 即点 在圆 上， 则切线 的方程为 ， 变形可得 ， 直线 在 轴上的截距为 ．故选 ． 【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的斜截式方程 3. 若过点 总可以作两条直线与圆 相切，则实数 的取值范围 是 ． 【备注】本题首先需要知道点与圆有两条切线的情况为：点在圆外【答案】 【解析】利用点与圆的位置关系可知点在圆外就可以作两条切线．圆的方程可化为．则有 ． 解得 或 ，故实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算；逻辑推理 【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题巩固练习 1. 过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 【答案】【解析】由圆的方程找出圆心坐标为，半径， 所以点 到圆心的距离 ， 则点 在圆上， 所以过此点半径所在直线的斜率为 ， 所以切线方程的斜率为 ，又过 ， 则切线方程 ， 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】圆的切线的相关问题 2. 已知圆 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，圆心在 轴正半轴上， ∴设圆心 ． ∵直线 与圆 相切， ∴圆心到直线 的距离 ，解得 ． ∴圆心坐标为 ，则圆 的方程为 ， 化简得 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程 2. 求圆的切线长求切线长 过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为： 先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ． 经典例题 1. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题根据求切线长的方法转化求直线到圆心的距离的最小值【答案】B 【解析】设切线长为 ，直线上一点到圆心的距离为 ， 则 ，因为 的最小值为， 所以切线长的最小值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；两点间距离公式 2. 已知圆 的圆心在第一象限内，圆 关于直线 对称，与 轴相切，被直线 截得的弦长为 ．（ 1 ）（ 2 ）求圆 的方程．若点 在直线上运动，过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 点，求 四边形 面积的最小值． 【备注】本题不难，求面积的最小值实际上就是求切线长的最小值，直接利用求切线长的方法即可；在求解过程中可以发现转化求解圆心到直线的最小值满足条件 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设圆 的标准方程为：，（，）， 所以圆心 为 ， 由圆 关于直线 对称有： ①， 与 轴相切： ②， 点 到 的距离为： ， 被直线 截得的弦长为 有： ， 结合②有： ， 所以 ， 又 ， 所以 ， ， 所以圆的标准方程为： ． （ 2 ）由 ， 与圆相切，所以 ，，， 由 ≌ ， 所以 四边形 ， 又 ， 且 （当 时取等） 所以 四边形所以四边形面积的最小值为（当．时取等）， 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程；面积问题；最值问题 巩固练习 1. 点 是直线 上的动点，由点 向圆 作切线，则切线长可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】根据题意，由点 向圆 作切线，设 为切点，连接 、 ，如图： 圆 ，其圆心为 ，半径 ， 则切线长 ， 当 最小时， 最小， 当 与直线 垂直时， 取最小值，则 ， 所以 ，分析选项： 、 ， 都满足， 符合题意． 故选：【标注】．【知识点】圆的切线的相关问题 2. 由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆 的圆心 ， 半径 ， ∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小， 则此时就是 到 的距离： ，由勾股定理切线长最小值为：． 故选 ．【标注】【素养】数学运算 【知识点】直线与圆的相离问题 3. 已知圆 经过点 ，且圆心为 ． （ 1 ）求圆 的标准方程． （ 2 ）过点 作圆 的切线，求该切线的方程及切线长． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） 或【解析】（ 1 ）由题意知，圆 的半径； ．， （ 2 ）所以圆 的标准方程为由题意知切线斜率存在，故设过点．的切线方程为， 即 ， 则 ， 所以 ，解得 或 ， 故所求切线的方程为 或 ． 由圆的性质易得所求切线长为【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题． 3. 直线与圆相交的弦长问题 设直线 的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法： （1）几何法如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法 ①将方程组 消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于 或 的关系式，则 通常把 叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式 求得．【备注】此部分内容为拓展内容，为求圆锥曲线中弦长问题做铺垫经典例题 1. 已知圆的方程为 ，过该圆内一点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四 边形 的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵圆的方程为 ， ∴圆心坐标为 ，半径 ， ∵ 是该圆内一点， ∴经过 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦， 结合题意，设 是经过 点的直径， BD是与 垂直的弦， ， ∵ ， ∴由垂径定理，得 ， 因此，四边形 的面积是 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 2. 若直线 将圆 的圆周分成长度之比为 的两段弧，则实数 的所有可能取值 是 ． 【备注】本题根据直线与圆的相交情况求参，建议老师采用数形结合给学生讲解【答案】 【解析】直线 把圆 分成长度之比为 的两段弧， ∴劣弧所对的圆心角为 ， ∴圆心到直线 的距离 ， ∴【标注】．【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】逻辑推理；数学运算 3. 圆 ： 被直线 ： 截得的弦长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题题眼，若已知过定点的直线，则当过圆心与定点的直线与已知直线垂直时，弦长最短【答案】B 【解析】由 ，得 ， 则圆心坐标为 ，半径为 ． 直线 即 ，过定点 ， 当过圆心与定点的直线与直线 垂直时，弦长最短， 此时 ，则弦长为 ． 故选： ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 4. 直线经过点 被圆 截得的弦长为 ，求此弦所在直线方程． 【备注】本题需要进行分类讨论，考虑直线斜率是否存在的情况；当斜率存在时，设出直线的点斜式方程，利用几何法求解即可 【答案】【解析】或方法一：（1）当斜率 不存在时，过点 的直线方程为 代入 ，得 ∴弦长为 （2）当斜率 存在时，设所求方程 即 由已知，弦心距 ∴ 解得 所以此直线方程为 即 所以所求直线方程为 或 方法二：当斜率 存在时，设所求方程 即 由已知弦心距 ∴ 解得 所以此直线方程为 即方法三：由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， ∵直线被圆截得的弦长为 ， ∴弦心距 ，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为 ， ∴所求直线的方程为 ， ∴圆心到所设直线的距离， 解得： ，此时所求方程为即， 综上，此弦所在直线的方程为 或 . 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题 5. 若圆 与 轴、 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题需要学生理解，由于圆与 、 轴均有公共点，所以在求与 轴有交点时，令 ,转化 关于 的一元二次方程有解，利用判别式求解即可；求与 轴有交点方法一样【答案】A 【解析】∵圆 与 轴有公共点， 则当 时， 有解， ，解得 ， ∴ ，又∵圆 与 轴有公共点， 则当 时， 有解， ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 ． 故选： ． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 6. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率的取值 范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题老师主要让学生理解：至少有 个不同的点到 的距离为 ,根据圆的半径为 ，那么为了满足此条件圆心到直线的距离需要【答案】C 【解析】至少有 个不同的点到 的距离为 ， ∴圆心到 的距离 ， 圆心 ， 直线 ， 则 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选 ．【标注】【素养】数学抽象；数学运算；逻辑推理 【思想】数形结合思想【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；求斜率的范围 7. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题注意曲线是在 轴上面的半圆；并且找到满足题意得临界点，一个是过点,另一个是与半圆相切得的时候； 注意相切的时候有一个交点，所以此部分值取不到【答案】D 【解析】曲线 是以 为圆心， 为半径的位于 轴上方的半圆， 当直线过点 时，有两交点，此时 ， 当直线 与曲线相切时，有一个交点， 即圆心到直线 的距离 ， 得 或 （舍去）， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 巩固练习 1. 已知圆 关于 轴对称，经过点 且被 轴分成两段弧长之比为 .则圆 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一： 由题意得： ， ∴圆 的方程为 ． 故选 ．方法二：由已知圆心在 轴上，且 轴所分劣弧所对圆心角为 ， 设圆心 ，半径为 ，则 ， ，解得 ，即 ， ，即 ， 故圆 的方程为故选 ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程 2. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】解：由题意知，圆心为 ，半径为 ． 因为直线 被圆 截得的弦长为 ， 所以圆心到直线的距离 ， 解得 ， 由 ， 得 或 ． 故选A． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 3. 若过点 的直线 被圆 截得的弦长最短，则直线 的方程是 ，此时的弦长 为 ． 【答案】【解析】;若该直线截圆的弦长最短， 而已知圆的半径为定值，因此由圆心距定理， 可知当圆心 到该直线 的距离 最长即可， 所以设该直线 的方程为： ， 而显然 ， 点在圆内，因此当与圆心连线的斜率与 垂直时， 最大，此时有：， 所以 ， 所以直线 的方程为： ， ， ，所以弦长为 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题 4. 过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则直线 的方程为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】∵圆 ，即 ，圆心 ，半径为 ， 若 ，则圆心 到直线 距离 ， 若直线 的斜率不存在，即 ， 此时圆心 到直线 距离为 不满足条件，若直线 的斜率存在，则可设直线 的方程为， 即 ， 则 ， 解得 或 ，此时直线 的方程为，或． 故选： ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程 5. 若圆 上至少有三个不同点的直线 的距离为 ，则 的取值范围是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 整理成 ， ∴圆心 ，半径 ， 要求：圆上至少有三个不同的点到直线 距离为 ， 则圆心到直线距离 ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】逻辑推理；数学运算【思想】数形结合思想 6. 已知直线 的方程为 ，若直线 与曲线 相交，则直线 斜率 的取值范围为 （ ）． A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 ，过定点 ， ，圆心 ， 的下半圆， 当 过点 时， ， 当 过 点时， ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 4. 知识总结（一）圆的切线方程的求法 ①求过圆上一点 的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若 ，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ． ②求过圆外一点 的圆的切线方程 几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得 ，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次 方程，由 求得 ，切线方程即可求出． （二）求圆的切线长 过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为： 先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ． （三）直线与圆相交的弦长问题 设直线 的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法： 几何法如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算． 二、 圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有： 圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数 与 外离 4 与 外切 3 与 相交 2 与 内切 1 与 内含 0 经典例题1. 若圆 ：与圆 ：相交，则 的取值范围为． 【备注】本题求出两圆的圆心距，再根据两圆相交时圆心距的范围求参即可：【答案】 【解析】 ，可得 ，解得： ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】圆与圆的位置判断 2. 两圆 与 的公切线有（ ）． A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【备注】判断两圆的位置关系，再根据位置关系判断公切线条数【答案】C 【解析】 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 两圆的圆心距为 ，故两圆外切，所以两圆有 条公切线． 【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程 巩固练习 1. 已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，那么这两个圆的位置关系不可能 是（ ）． A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 【答案】C【解析】，又因为，所以两圆不可能内含，故选 ． 【标注】【知识点】圆与圆的位置判断 2. 圆 与圆 的公切线的条数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 的方程即 即圆心 半径为 ， 圆 的方程为 ，圆心 半径为 ， 两圆心的距离为 ， ，故两圆相交，两圆的公切线有 条. 【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程 2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程 设圆 ① 圆 ② ①-②得： ③ 方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题 1.已知圆（ 1 ）（ 2 ）与圆相交于两点． 【备注】本题（1）联立两个的方程相减即可（2）求得一个圆圆心到直线的距离，再利用巩固定理求得弦长的一半，进而求得弦长 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设两圆的交点为，，则 ， 的坐标满足方程组 两式相减得 ， （ 2 ）此方程即为过 ， 两点的直线方程，所以两圆的公共弦所在直线的方程为圆 可化为 ，圆 的圆心为．， 半径长 ， 到直线 的距离 ， 则弦长 ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程 2. 两圆 和 相交于两点 ， ，则线段 的长为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题与上题思路一样，先求出相交弦的直线方程，再根据点到直线的距离公式求得弦心距，再利用勾股定理求解即可【答案】C 【解析】根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 两圆 和 相交于两点 ， ， 直线 的方程为 ， 变形可得： ，即 ． 圆 的圆心到直线 的距离 ， 则 ． 故选： ． 【标注】【知识点】相交弦所在直线方程；圆的弦长的相关问题 巩固练习 1. 已知圆 ，圆 ． （ 1 ）（ 2 ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长． 【答案】（ 1 ） ， ， ， ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）圆 ，圆心 ，半径 ， 圆心 ，圆心 ， 半径 ， （ 2 ），所以两个圆的圆心距为 ．公共弦所在的直线方程 为：， 圆心 到直线 的距离为： ， 所以公共弦长为： ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程；两点间距离公式 2. 两圆相交于两点 和 ，且两圆圆心都在直线 上，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】两圆的交点为 ， ， 直线 的斜率为 ， 与直线 垂直，所以 的斜率为 ， 所以， ， 设 的中点为 ，所以 ， 把 代入 ，可得， ， 所以，【标注】．【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】数学运算3. 知识总结 （一）两圆的位置关系设，则有： 圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数 与 外离 4 与 外切 3 与 相交 2 与 内切 1 与 内含 0 （二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆① 圆 ② ①-②得： ③ 方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、 与圆有关的应用 1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题 1. 在直角坐标系中，点 在圆 上移动，动点 和定点 连线的中点为 ，求中点 的轨迹方程．【备注】本题主要利用中点坐标公式，表示出点 ，再根据点 在圆上，代入即可；求轨迹方程，我们一般思想是“求谁设谁” 【答案】【解析】设线段中点 的坐标为．， 的坐标为． 则因为 为 和定点 的中点． 所以 ，则 ． 又因为点 在曲线 上移动，所以 ． 即 ． 整理得： ． 所以中点 的轨迹方程为：【标注】【知识点】求曲线方程的问题． 2. 已知点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ，则弦 的中点 的轨迹方程 （ ）． A. B. C. D. 【备注】本题有些难度，需要学生了解直径所对的圆周角为直角，反之也成立【答案】A 【解析】点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ， 则： ， 点 在以 为直径的圆上， 则：圆心坐标为 ，直径为 ，所以：点 的轨迹方程为：． 故选 ．【标注】【知识点】求曲线方程的问题 3. 已知定点 ， 是圆 上一动点， 的平分线交 于点 ，求 的轨迹方程． 【备注】角平分线的性质推导 【答案】 ， ． 【解析】由角平分线的性质， ， 设 ， ， 则 ， ， 即 ， ， ∴ ， 即 ， 化简得【标注】，注意【知识点】求曲线方程的问题． 巩固练习 1. 已知直角坐标系中 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是 ；轨迹 为 ． 【答案】 ; 圆 【解析】设 ，由 ， 得 ， 两边平方并整理得： ． ∴点 的轨迹方程是： ． 故答案为： ；圆． 【标注】【知识点】圆的一般方程问题 2. 已知 为圆 上一动点，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程． 【答案】【解析】设圆．上一动点 为， 所求点 为 ，由 为 中点， 得 即 ， 由 在 上即 ， 得 即 ， 故 的轨迹方程为 ． 【标注】【知识点】求点的轨迹；圆的标准方程问题 2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的 平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为. 【备注】直线中的最值形式：（1）斜率型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为过点和的直线斜率 的最值；（2）截距型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问 题；经典例题 1. 已知 ， ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ． （ 1 ）求动点 的轨迹方程． （ 2 ）点 在轨迹 上，求 最小值． 【备注】本题（1）利用题中给的条件设点，表示出距离，化简即可； （2）本题题眼主要是将 看成点 与点（ ， ）的斜率，转化求斜率的最小值， 再根据点 在圆上，所以直线 与圆的圆心距离小于等于半径 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ， 设 为 ， ， 化简可得： ， ∴轨迹 为以 为圆心， 为半径的圆， 其轨迹方程为 ． （ 2 ）原式 ， 即表示为 点与 点之间的斜率， 设过 点的直线为 ， 则该直线到 圆心的距离 ， 解得 ， ∴【标注】．【知识点】圆的轨迹相关问题；求点的轨迹 2. 已知直线 ，点 是圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值 为 ． 【备注】圆上的点到圆外直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径；最短距离等于圆心到直线的距离减半径【答案】 【解析】【标注】圆心为【素养】数学运算，易知距离的最小值． 【知识点】直线与圆相关的最值问题 3. 在平面直角坐标系 中，（ 1 ）求点 的轨迹方程．，动点 满足． （ 2 ）设 为圆 ： 上的动点，求 的最小值． 【备注】本题（2）主要根据题意，将 转化为 ,再利用数形结合可观察到当 、 、 三点共线时取得最小值 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设点， 则由 可得 ， 整理可得： ， （ 2 ）所以点 的轨迹方程为：由圆 的方程可得：，半径为．， 因为 ， 所以 ， 由图可知当 ， ， 三点共线时， 取得最小值， y O x 所以 ， 因为 ， ， 所以 ． 【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题；利用距离的几何意义求最值；求曲线方程的问题 4. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 ， 的距离 之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯 圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ．当 ， ， 三点不共线时， 面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题时求圆的轨迹方程与最值的综合问题；本题在求得点 的轨迹采用数形结合，画出图象，可知当以 为底边， 到 的最远距离为半径【答案】B 【解析】设 ，因为 ， 所以 ， 化简整理可得 ，即 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 又 ，且点 ， 在直径上，故当点 到圆的直径距离最大的时候，的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即 的高的最大值为 ， 所以 面积的最大值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题 5. 如图所示，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴非负半轴上，点 在第一象限，且 ， ，那么 ， 两点间距离的（ ）． A. 最大值是 ，最小值是 B. 最大值是 ，最小值是 C. 最大值是 ，最小值是 D. 最大值是 ，最小值是 【备注】本题在观察可发现，点 、 的轨迹是以 为直径的圆上；所以 最大值是距离长为直径 的时候，而最短距离根据三角形三边关系 ,由于 长不变，所以只有当 为 时， 最短【答案】A 【解析】方法一：因为 ， ∴ 、 在以 为直径的圆上； 又根据题意， ，作出点 的轨迹如图示： 最长距离为 ，即 恰为直径时： 最短距离为 ，此时 或 与原点重合：方法二：可以将题目理解为一个以 为直径的圆中， 点为不动点， 点是在圆上的动点，当为直径时， 距离最大，当 点与 ， 重合时， 距离最小，根据条件可知， ， ， ，四点共圆，且 直径，所以 最大值为该圆的直径 ； 的最小值为 点与 或 重合时，为 ．所以当 时，距离最大． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】圆的轨迹相关问题巩固练习 1. 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值 范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方法一：设圆 的圆心为 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ， 则圆心 ， ， 所以圆心 到直线 的距离为 ， 可得 ， ， 由已知条件可得 ， 所以 面积的最大值为 ， 面积的最小值为 ， 综上， 面积的取值范围是 ． 方法二：∵直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ∴令 ，得 ，令 ，得 ， 则 ， ， ， ∵点 在圆 上， ∴设 ， ∴点 到直线 的距离： ， ∵ ， ∴ ， ∴面积的取值范围是：． 故选 ．【标注】【知识点】直线与圆的位置关系 2. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ． 【答案】【解析】 y 为圆的方程，即 ； x O 圆心为 ，半径为 ，目标函数 ， 所以求 的取值范围即是求圆上的点与原点连线的斜率的取值范围，如图，易知在点 处斜率取得最大值，在点 处斜率取得最小值， 易得 ， ， 所以 的取值范围为 ． 【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题 3. 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最大值为 ． 【答案】【解析】如图所示，设，连接 ，可知圆心轨迹 是以点 为圆心，半径为 的圆， O由勾股定理可得：， 所以圆心到原点的最大值为 ． 故答案为 ． 【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题 4. 若点 在圆 上运动， ，则 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由圆的方程得：圆心坐标 ，半径 ， ∵ ，∴ 点轨迹为： ，即 ， ∴圆心到直线距离： ， ∴ ． 故选 ．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；数学抽象 【知识点】直线与圆相关的最值问题；点到直线的距离公式3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题 1. 圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【备注】此题考查圆关于直线对称问题，实则考查点关于直线对称问题；设出圆心 关于直线对称的圆心 ，利用两点的中点在直线上以及 的斜率与已知直线斜率相乘为 即可求解【答案】C 【解析】圆 即圆 ，它的圆心为 半径为 ，设圆心 关于直线 对称点为 ，则由 ， 则圆 关于直线 对称的圆 的方程为 即 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题 2. 已知圆 上两点 ， 关于直线 对称，则圆的半径为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题同样需要分析题意，，根据点 、 关于直线 对称，则圆的圆心在直线 上 【答案】B 【解析】∵ ， 关于直线 对称， ∴直线经过圆的圆心，代入圆心坐标， ∴ ， ∴【标注】．【知识点】直线与圆的对称问题 3. 已知圆 ： 关于直线 对称的圆为圆 ： ，则直线 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题根据关于直线对称的圆的半径相等，所以可求出参数 ,在根据两个圆的圆心的中点坐标在直线 上，并且利用两个圆心所在直线斜率与直线 的斜率相乘等于【答案】A 【解析】圆 ： 的圆心坐标为 ，半径为 ． 圆 ： ，即 ，其圆心坐标为 ，半径为 ． 由题意， ，解得 ． ∴圆 的圆心为 ，则 与 的中点为 ，直线 的斜率为 ， ∴直线 的方程为 ，即 ． 故选 ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题【素养】数学运算；逻辑推理 4. 若圆 ： 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小 值是（ ）． A. B. C. D. 【备注】此题比较综合，圆的自对称问题，由于圆关于直线对称，所以圆心在直线上；得到 、 的关系式，再利用切线长公式求解 、 另一个关系式，消元，得到关于一个参数的二次函数的关系式，利用二次函数的图象与性质求解即可【答案】B 【解析】由题知圆 的圆心 ，半径为 ， 因为圆 关于直线 对称， 所以圆心 在直线 上， 所以 ，即 ， 所以由点 向圆所作的切线长为 ， 当 时，切线长最小，最小值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线与圆的对称问题 5. 在平面直角坐标系 中，若圆 ： （ ）上存在点 ，且点 关于直线 的对称点 在圆 ： 上，则 的取值范围是 ． 【备注】本题题眼：圆 关于直线 的对称点 在圆 等价于圆 关于直线 的对称圆 与圆 相交；根据两圆相交时圆心距的范围求参即可： 【答案】【解析】若圆 ：（）上存在点 ， 且点 关于直线 的对称点 在圆 ： 上， 等价为若圆 ： （ ）直线 的对称圆与圆 ： 相交， 则圆 ： （ ）直线 的对称圆为圆 ： （ ）， 则圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ， 则 ， 若两圆相交则满足 ， 即 ， 得 ，得 ， 即 ， 即 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】直线与圆的对称问题 6. 点 ， 分别为圆 与圆 上的动点，点 在直线 上 运动，则 的最小值为 ． 【备注】本题考查"将军饮马"问题,将其中一个圆作关于直线 的对称圆，对称圆圆心与另一 个圆的圆心的连线与两个圆的交点的距离即为 的最小值 【答案】【解析】设圆 是圆关于直线对称的圆， 可得 ，圆 方程为 ， 可得当点 位于线段 上时，线段 长是圆 与圆 上两个动点之间的距离最小值， 此时的最小值为 ，，圆的半径 ， ∵ ， 可得 ， 故答案为 ． 【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；直观想象 【知识点】直线与圆的对称问题巩固练习 1. 已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知圆心为 ，所求直线的斜率为 ，由直线方程得斜截式，得 ，即 【标注】．故选 ．【知识点】直线与圆的位置关系 2. 圆 ： 上有两个点 和 关于直线 对称，则 （ ）． A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】由题意，得直线 经过圆心 ， 所以 ，解得 ． 【标注】【知识点】直线与圆的对称问题 3. 圆 关于直线 对称，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 关于直线 对称． 则直线过圆心 ． 即 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；直线与圆的对称问题 4. 已知圆 ： 关于直线 ： 对称，则原点 到直线 的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵圆 ： ， 即 关于直线 ： 对称， ∴直线 过圆心 ， 代入 ， 得 ： ， 故原点 到直线 ： 的距离为： ． 故选 ．【标注】【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的对称问题 4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为. （3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】 出门测 1. 从直线 上的点向定圆 作切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设直线上的点为 ，圆心为 ，切点为 ， 则切线长为 ， 即 ， 则 最小值，即为求 最小值， 因为 是直线 ： 的动点 ， ∴ ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题 2. 从圆 外一点 向圆引两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】y 3 2 1 x –3 –2 –1O–1 –2 –31 2 3 如图，∵圆，， ， 为圆切线， ∴ ， ，， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题 3. 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则 线段 的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆 心 ，半径 ， 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂 直，则有，解可得， 解可得 ， 又由 ， 解可得： ; 故选 ．y5 x 【标注】5 1【知识点】圆的切线的相关问题 42
直线与圆的综合 学习目标1．掌握直线和圆位置关系相关应用问题．2．掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题．3．掌握求解与圆有关的最值问题和与圆有关的对称问题的方法．【备注】1、本讲的重点是掌握直线和圆位置关系相关应用问题（求切线方程问题、求切线长问题、求相交弦长问题）、掌握圆与圆的位置关系及判断方法并会求解相关数学问题、掌握求解与圆有关的轨迹问题、最值问题和与圆有关的对称问题的方法．2、关联知识：直线方程、圆的方程．一、 直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法 ①求过圆上一点 的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若 ，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ． ②求过圆外一点 的圆的切线方程 几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得 ，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次 方程，由 求得 ，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得 值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．1 经典例题 1. 过点 与圆 所引的切线方程为 ． 【备注】本题由于点 在直线外，所以应用方法②，这里需要注意考虑切线斜率是否存在问题 【答案】【解析】，点 在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，可设过点 的切线方程为 ， 圆心 到切线的距离等于半径 ，可得 ， 解得 ，从而切线为 ． 【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算 2. 过点 的直线 与圆 相切，则直线 在 轴上的截距为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题虽然没有直接表示 在圆上，但是将点代入圆的方程会发现此点为切点 【答案】D 【解析】根据题意，圆 ，对于点 ， 有 ， 即点 在圆 上， 则切线 的方程为 ， 变形可得 ， 直线 在 轴上的截距为 ．故选 ． 【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的斜截式方程 3. 若过点 总可以作两条直线与圆 相切，则实数 的取值范围 是 ． 【备注】本题首先需要知道点与圆有两条切线的情况为：点在圆外【答案】 【解析】利用点与圆的位置关系可知点在圆外就可以作两条切线．圆的方程可化为．则有 ． 解得 或 ，故实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算；逻辑推理 【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题巩固练习 1. 过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 【答案】【解析】由圆的方程找出圆心坐标为，半径， 所以点 到圆心的距离 ， 则点 在圆上， 所以过此点半径所在直线的斜率为 ， 所以切线方程的斜率为 ，又过 ， 则切线方程 ， 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】圆的切线的相关问题 2. 已知圆 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，圆心在 轴正半轴上， ∴设圆心 ． ∵直线 与圆 相切， ∴圆心到直线 的距离 ，解得 ． ∴圆心坐标为 ，则圆 的方程为 ， 化简得 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程 2. 求圆的切线长求切线长 过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为： 先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ． 经典例题 1. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题根据求切线长的方法转化求直线到圆心的距离的最小值【答案】B 【解析】设切线长为 ，直线上一点到圆心的距离为 ， 则 ，因为 的最小值为， 所以切线长的最小值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；两点间距离公式 2. 已知圆 的圆心在第一象限内，圆 关于直线 对称，与 轴相切，被直线 截得的弦长为 ．（ 1 ）（ 2 ）求圆 的方程．若点 在直线上运动，过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 点，求 四边形 面积的最小值． 【备注】本题不难，求面积的最小值实际上就是求切线长的最小值，直接利用求切线长的方法即可；在求解过程中可以发现转化求解圆心到直线的最小值满足条件 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设圆 的标准方程为：，（，）， 所以圆心 为 ， 由圆 关于直线 对称有： ①， 与 轴相切： ②， 点 到 的距离为： ， 被直线 截得的弦长为 有： ， 结合②有： ， 所以 ， 又 ， 所以 ， ， 所以圆的标准方程为： ． （ 2 ）由 ， 与圆相切，所以 ，，， 由 ≌ ， 所以 四边形 ， 又 ， 且 （当 时取等） 所以 四边形所以四边形面积的最小值为（当．时取等）， 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程；面积问题；最值问题 巩固练习 1. 点 是直线 上的动点，由点 向圆 作切线，则切线长可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】根据题意，由点 向圆 作切线，设 为切点，连接 、 ，如图： 圆 ，其圆心为 ，半径 ， 则切线长 ， 当 最小时， 最小， 当 与直线 垂直时， 取最小值，则 ， 所以 ，分析选项： 、 ， 都满足， 符合题意． 故选：【标注】．【知识点】圆的切线的相关问题 2. 由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆 的圆心 ， 半径 ， ∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小， 则此时就是 到 的距离： ，由勾股定理切线长最小值为：． 故选 ．【标注】【素养】数学运算 【知识点】直线与圆的相离问题 3. 已知圆 经过点 ，且圆心为 ． （ 1 ）求圆 的标准方程． （ 2 ）过点 作圆 的切线，求该切线的方程及切线长． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） 或【解析】（ 1 ）由题意知，圆 的半径； ．， （ 2 ）所以圆 的标准方程为由题意知切线斜率存在，故设过点．的切线方程为， 即 ， 则 ， 所以 ，解得 或 ， 故所求切线的方程为 或 ． 由圆的性质易得所求切线长为【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；圆的标准方程问题． 3. 直线与圆相交的弦长问题 设直线 的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法： （1）几何法如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法 ①将方程组 消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于 或 的关系式，则 通常把 叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式 求得．【备注】此部分内容为拓展内容，为求圆锥曲线中弦长问题做铺垫经典例题 1. 已知圆的方程为 ，过该圆内一点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四 边形 的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵圆的方程为 ， ∴圆心坐标为 ，半径 ， ∵ 是该圆内一点， ∴经过 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦， 结合题意，设 是经过 点的直径， BD是与 垂直的弦， ， ∵ ， ∴由垂径定理，得 ， 因此，四边形 的面积是 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 2. 若直线 将圆 的圆周分成长度之比为 的两段弧，则实数 的所有可能取值 是 ． 【备注】本题根据直线与圆的相交情况求参，建议老师采用数形结合给学生讲解【答案】 【解析】直线 把圆 分成长度之比为 的两段弧， ∴劣弧所对的圆心角为 ， ∴圆心到直线 的距离 ， ∴【标注】．【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】逻辑推理；数学运算 3. 圆 ： 被直线 ： 截得的弦长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题题眼，若已知过定点的直线，则当过圆心与定点的直线与已知直线垂直时，弦长最短【答案】B 【解析】由 ，得 ， 则圆心坐标为 ，半径为 ． 直线 即 ，过定点 ， 当过圆心与定点的直线与直线 垂直时，弦长最短， 此时 ，则弦长为 ． 故选： ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 4. 直线经过点 被圆 截得的弦长为 ，求此弦所在直线方程． 【备注】本题需要进行分类讨论，考虑直线斜率是否存在的情况；当斜率存在时，设出直线的点斜式方程，利用几何法求解即可 【答案】【解析】或方法一：（1）当斜率 不存在时，过点 的直线方程为 代入 ，得 ∴弦长为 （2）当斜率 存在时，设所求方程 即 由已知，弦心距 ∴ 解得 所以此直线方程为 即 所以所求直线方程为 或 方法二：当斜率 存在时，设所求方程 即 由已知弦心距 ∴ 解得 所以此直线方程为 即方法三：由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， ∵直线被圆截得的弦长为 ， ∴弦心距 ，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为 ， ∴所求直线的方程为 ， ∴圆心到所设直线的距离， 解得： ，此时所求方程为即， 综上，此弦所在直线的方程为 或 . 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题 5. 若圆 与 轴、 轴均有公共点，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题需要学生理解，由于圆与 、 轴均有公共点，所以在求与 轴有交点时，令 ,转化 关于 的一元二次方程有解，利用判别式求解即可；求与 轴有交点方法一样【答案】A 【解析】∵圆 与 轴有公共点， 则当 时， 有解， ，解得 ， ∴ ，又∵圆 与 轴有公共点， 则当 时， 有解， ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 ． 故选： ． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 6. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率的取值 范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题老师主要让学生理解：至少有 个不同的点到 的距离为 ,根据圆的半径为 ，那么为了满足此条件圆心到直线的距离需要【答案】C 【解析】至少有 个不同的点到 的距离为 ， ∴圆心到 的距离 ， 圆心 ， 直线 ， 则 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选 ．【标注】【素养】数学抽象；数学运算；逻辑推理 【思想】数形结合思想【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；求斜率的范围 7. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题注意曲线是在 轴上面的半圆；并且找到满足题意得临界点，一个是过点,另一个是与半圆相切得的时候； 注意相切的时候有一个交点，所以此部分值取不到【答案】D 【解析】曲线 是以 为圆心， 为半径的位于 轴上方的半圆， 当直线过点 时，有两交点，此时 ， 当直线 与曲线相切时，有一个交点， 即圆心到直线 的距离 ， 得 或 （舍去）， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 巩固练习 1. 已知圆 关于 轴对称，经过点 且被 轴分成两段弧长之比为 .则圆 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一： 由题意得： ， ∴圆 的方程为 ． 故选 ．方法二：由已知圆心在 轴上，且 轴所分劣弧所对圆心角为 ， 设圆心 ，半径为 ，则 ， ，解得 ，即 ， ，即 ， 故圆 的方程为故选 ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程 2. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】解：由题意知，圆心为 ，半径为 ． 因为直线 被圆 截得的弦长为 ， 所以圆心到直线的距离 ， 解得 ， 由 ， 得 或 ． 故选A． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题 3. 若过点 的直线 被圆 截得的弦长最短，则直线 的方程是 ，此时的弦长 为 ． 【答案】【解析】;若该直线截圆的弦长最短， 而已知圆的半径为定值，因此由圆心距定理， 可知当圆心 到该直线 的距离 最长即可， 所以设该直线 的方程为： ， 而显然 ， 点在圆内，因此当与圆心连线的斜率与 垂直时， 最大，此时有：， 所以 ， 所以直线 的方程为： ， ， ，所以弦长为 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；圆的弦长的相关问题 4. 过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则直线 的方程为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】∵圆 ，即 ，圆心 ，半径为 ， 若 ，则圆心 到直线 距离 ， 若直线 的斜率不存在，即 ， 此时圆心 到直线 距离为 不满足条件，若直线 的斜率存在，则可设直线 的方程为， 即 ， 则 ， 解得 或 ，此时直线 的方程为，或． 故选： ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程 5. 若圆 上至少有三个不同点的直线 的距离为 ，则 的取值范围是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 整理成 ， ∴圆心 ，半径 ， 要求：圆上至少有三个不同的点到直线 距离为 ， 则圆心到直线距离 ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】逻辑推理；数学运算【思想】数形结合思想 6. 已知直线 的方程为 ，若直线 与曲线 相交，则直线 斜率 的取值范围为 （ ）． A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 ，过定点 ， ，圆心 ， 的下半圆， 当 过点 时， ， 当 过 点时， ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 4. 知识总结（一）圆的切线方程的求法 ①求过圆上一点 的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率 ，则由垂直关系知切线的斜率 ，由点斜式方程可得切线方程．若 ，则切线方程为 ；若 不存在，则切线方程为 ． ②求过圆外一点 的圆的切线方程 几何法：设切线方程 ，即 ．由圆心到直线的距离等于半径，可得 ，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次 方程，由 求得 ，切线方程即可求出． （二）求圆的切线长 过圆外一点 作圆 ： 的切线，其切线长的求法为： 先利用两点间距离公式求点 到圆心 的距离为 ，再利用勾股定理求出切线长 ． （三）直线与圆相交的弦长问题 设直线 的方程 ，圆 的方程为 ，求弦长有以下几种方法： 几何法如图，结合弦心距 、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算． 二、 圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有： 圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数 与 外离 4 与 外切 3 与 相交 2 与 内切 1 与 内含 0 经典例题1. 若圆 ：与圆 ：相交，则 的取值范围为． 【备注】本题求出两圆的圆心距，再根据两圆相交时圆心距的范围求参即可：【答案】 【解析】 ，可得 ，解得： ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】圆与圆的位置判断 2. 两圆 与 的公切线有（ ）． A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【备注】判断两圆的位置关系，再根据位置关系判断公切线条数【答案】C 【解析】 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 两圆的圆心距为 ，故两圆外切，所以两圆有 条公切线． 【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程 巩固练习 1. 已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，那么这两个圆的位置关系不可能 是（ ）． A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 【答案】C【解析】，又因为，所以两圆不可能内含，故选 ． 【标注】【知识点】圆与圆的位置判断 2. 圆 与圆 的公切线的条数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 的方程即 即圆心 半径为 ， 圆 的方程为 ，圆心 半径为 ， 两圆心的距离为 ， ，故两圆相交，两圆的公切线有 条. 【标注】【知识点】两圆的公切线条数及方程 2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程 设圆 ① 圆 ② ①-②得： ③ 方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题 1.已知圆（ 1 ）（ 2 ）与圆相交于两点． 【备注】本题（1）联立两个的方程相减即可（2）求得一个圆圆心到直线的距离，再利用巩固定理求得弦长的一半，进而求得弦长 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设两圆的交点为，，则 ， 的坐标满足方程组 两式相减得 ， （ 2 ）此方程即为过 ， 两点的直线方程，所以两圆的公共弦所在直线的方程为圆 可化为 ，圆 的圆心为．， 半径长 ， 到直线 的距离 ， 则弦长 ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程 2. 两圆 和 相交于两点 ， ，则线段 的长为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题与上题思路一样，先求出相交弦的直线方程，再根据点到直线的距离公式求得弦心距，再利用勾股定理求解即可【答案】C 【解析】根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 两圆 和 相交于两点 ， ， 直线 的方程为 ， 变形可得： ，即 ． 圆 的圆心到直线 的距离 ， 则 ． 故选： ． 【标注】【知识点】相交弦所在直线方程；圆的弦长的相关问题 巩固练习 1. 已知圆 ，圆 ． （ 1 ）（ 2 ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长． 【答案】（ 1 ） ， ， ， ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）圆 ，圆心 ，半径 ， 圆心 ，圆心 ， 半径 ， （ 2 ），所以两个圆的圆心距为 ．公共弦所在的直线方程 为：， 圆心 到直线 的距离为： ， 所以公共弦长为： ． 【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题；相交弦所在直线方程；两点间距离公式 2. 两圆相交于两点 和 ，且两圆圆心都在直线 上，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】两圆的交点为 ， ， 直线 的斜率为 ， 与直线 垂直，所以 的斜率为 ， 所以， ， 设 的中点为 ，所以 ， 把 代入 ，可得， ， 所以，【标注】．【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数 【素养】数学运算3. 知识总结 （一）两圆的位置关系设，则有： 圆心距与半径的关系 圆与圆的位置关系 公切线条数 与 外离 4 与 外切 3 与 相交 2 与 内切 1 与 内含 0 （二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆① 圆 ② ①-②得： ③ 方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、 与圆有关的应用 1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题 1. 在直角坐标系中，点 在圆 上移动，动点 和定点 连线的中点为 ，求中点 的轨迹方程．【备注】本题主要利用中点坐标公式，表示出点 ，再根据点 在圆上，代入即可；求轨迹方程，我们一般思想是“求谁设谁” 【答案】【解析】设线段中点 的坐标为．， 的坐标为． 则因为 为 和定点 的中点． 所以 ，则 ． 又因为点 在曲线 上移动，所以 ． 即 ． 整理得： ． 所以中点 的轨迹方程为：【标注】【知识点】求曲线方程的问题． 2. 已知点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ，则弦 的中点 的轨迹方程 （ ）． A. B. C. D. 【备注】本题有些难度，需要学生了解直径所对的圆周角为直角，反之也成立【答案】A 【解析】点 和圆 ： ，过点 的动直线与圆 交于 ， ， 则： ， 点 在以 为直径的圆上， 则：圆心坐标为 ，直径为 ，所以：点 的轨迹方程为：． 故选 ．【标注】【知识点】求曲线方程的问题 3. 已知定点 ， 是圆 上一动点， 的平分线交 于点 ，求 的轨迹方程． 【备注】角平分线的性质推导 【答案】 ， ． 【解析】由角平分线的性质， ， 设 ， ， 则 ， ， 即 ， ， ∴ ， 即 ， 化简得【标注】，注意【知识点】求曲线方程的问题． 巩固练习 1. 已知直角坐标系中 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是 ；轨迹 为 ． 【答案】 ; 圆 【解析】设 ，由 ， 得 ， 两边平方并整理得： ． ∴点 的轨迹方程是： ． 故答案为： ；圆． 【标注】【知识点】圆的一般方程问题 2. 已知 为圆 上一动点，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程． 【答案】【解析】设圆．上一动点 为， 所求点 为 ，由 为 中点， 得 即 ， 由 在 上即 ， 得 即 ， 故 的轨迹方程为 ． 【标注】【知识点】求点的轨迹；圆的标准方程问题 2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的 平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为. 【备注】直线中的最值形式：（1）斜率型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为过点和的直线斜率 的最值；（2）截距型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问 题；经典例题 1. 已知 ， ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ． （ 1 ）求动点 的轨迹方程． （ 2 ）点 在轨迹 上，求 最小值． 【备注】本题（1）利用题中给的条件设点，表示出距离，化简即可； （2）本题题眼主要是将 看成点 与点（ ， ）的斜率，转化求斜率的最小值， 再根据点 在圆上，所以直线 与圆的圆心距离小于等于半径 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ， 设 为 ， ， 化简可得： ， ∴轨迹 为以 为圆心， 为半径的圆， 其轨迹方程为 ． （ 2 ）原式 ， 即表示为 点与 点之间的斜率， 设过 点的直线为 ， 则该直线到 圆心的距离 ， 解得 ， ∴【标注】．【知识点】圆的轨迹相关问题；求点的轨迹 2. 已知直线 ，点 是圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值 为 ． 【备注】圆上的点到圆外直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径；最短距离等于圆心到直线的距离减半径【答案】 【解析】【标注】圆心为【素养】数学运算，易知距离的最小值． 【知识点】直线与圆相关的最值问题 3. 在平面直角坐标系 中，（ 1 ）求点 的轨迹方程．，动点 满足． （ 2 ）设 为圆 ： 上的动点，求 的最小值． 【备注】本题（2）主要根据题意，将 转化为 ,再利用数形结合可观察到当 、 、 三点共线时取得最小值 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）设点， 则由 可得 ， 整理可得： ， （ 2 ）所以点 的轨迹方程为：由圆 的方程可得：，半径为．， 因为 ， 所以 ， 由图可知当 ， ， 三点共线时， 取得最小值， y O x 所以 ， 因为 ， ， 所以 ． 【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题；利用距离的几何意义求最值；求曲线方程的问题 4. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 ， 的距离 之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯 圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ．当 ， ， 三点不共线时， 面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题时求圆的轨迹方程与最值的综合问题；本题在求得点 的轨迹采用数形结合，画出图象，可知当以 为底边， 到 的最远距离为半径【答案】B 【解析】设 ，因为 ， 所以 ， 化简整理可得 ，即 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 又 ，且点 ， 在直径上，故当点 到圆的直径距离最大的时候，的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即 的高的最大值为 ， 所以 面积的最大值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题 5. 如图所示，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴非负半轴上，点 在第一象限，且 ， ，那么 ， 两点间距离的（ ）． A. 最大值是 ，最小值是 B. 最大值是 ，最小值是 C. 最大值是 ，最小值是 D. 最大值是 ，最小值是 【备注】本题在观察可发现，点 、 的轨迹是以 为直径的圆上；所以 最大值是距离长为直径 的时候，而最短距离根据三角形三边关系 ,由于 长不变，所以只有当 为 时， 最短【答案】A 【解析】方法一：因为 ， ∴ 、 在以 为直径的圆上； 又根据题意， ，作出点 的轨迹如图示： 最长距离为 ，即 恰为直径时： 最短距离为 ，此时 或 与原点重合：方法二：可以将题目理解为一个以 为直径的圆中， 点为不动点， 点是在圆上的动点，当为直径时， 距离最大，当 点与 ， 重合时， 距离最小，根据条件可知， ， ， ，四点共圆，且 直径，所以 最大值为该圆的直径 ； 的最小值为 点与 或 重合时，为 ．所以当 时，距离最大． 【标注】【素养】数学运算 【知识点】圆的轨迹相关问题巩固练习 1. 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值 范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方法一：设圆 的圆心为 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ， 则圆心 ， ， 所以圆心 到直线 的距离为 ， 可得 ， ， 由已知条件可得 ， 所以 面积的最大值为 ， 面积的最小值为 ， 综上， 面积的取值范围是 ． 方法二：∵直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ∴令 ，得 ，令 ，得 ， 则 ， ， ， ∵点 在圆 上， ∴设 ， ∴点 到直线 的距离： ， ∵ ， ∴ ， ∴面积的取值范围是：． 故选 ．【标注】【知识点】直线与圆的位置关系 2. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ． 【答案】【解析】 y 为圆的方程，即 ； x O 圆心为 ，半径为 ，目标函数 ， 所以求 的取值范围即是求圆上的点与原点连线的斜率的取值范围，如图，易知在点 处斜率取得最大值，在点 处斜率取得最小值， 易得 ， ， 所以 的取值范围为 ． 【标注】【知识点】直线与圆相关的最值问题 3. 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最大值为 ． 【答案】【解析】如图所示，设，连接 ，可知圆心轨迹 是以点 为圆心，半径为 的圆， O由勾股定理可得：， 所以圆心到原点的最大值为 ． 故答案为 ． 【标注】【知识点】圆的轨迹相关问题 4. 若点 在圆 上运动， ，则 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由圆的方程得：圆心坐标 ，半径 ， ∵ ，∴ 点轨迹为： ，即 ， ∴圆心到直线距离： ， ∴ ． 故选 ．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；数学抽象 【知识点】直线与圆相关的最值问题；点到直线的距离公式3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题 1. 圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【备注】此题考查圆关于直线对称问题，实则考查点关于直线对称问题；设出圆心 关于直线对称的圆心 ，利用两点的中点在直线上以及 的斜率与已知直线斜率相乘为 即可求解【答案】C 【解析】圆 即圆 ，它的圆心为 半径为 ，设圆心 关于直线 对称点为 ，则由 ， 则圆 关于直线 对称的圆 的方程为 即 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题 2. 已知圆 上两点 ， 关于直线 对称，则圆的半径为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题同样需要分析题意，，根据点 、 关于直线 对称，则圆的圆心在直线 上 【答案】B 【解析】∵ ， 关于直线 对称， ∴直线经过圆的圆心，代入圆心坐标， ∴ ， ∴【标注】．【知识点】直线与圆的对称问题 3. 已知圆 ： 关于直线 对称的圆为圆 ： ，则直线 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题根据关于直线对称的圆的半径相等，所以可求出参数 ,在根据两个圆的圆心的中点坐标在直线 上，并且利用两个圆心所在直线斜率与直线 的斜率相乘等于【答案】A 【解析】圆 ： 的圆心坐标为 ，半径为 ． 圆 ： ，即 ，其圆心坐标为 ，半径为 ． 由题意， ，解得 ． ∴圆 的圆心为 ，则 与 的中点为 ，直线 的斜率为 ， ∴直线 的方程为 ，即 ． 故选 ． 【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求直线的方程；直线与圆的对称问题【素养】数学运算；逻辑推理 4. 若圆 ： 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小 值是（ ）． A. B. C. D. 【备注】此题比较综合，圆的自对称问题，由于圆关于直线对称，所以圆心在直线上；得到 、 的关系式，再利用切线长公式求解 、 另一个关系式，消元，得到关于一个参数的二次函数的关系式，利用二次函数的图象与性质求解即可【答案】B 【解析】由题知圆 的圆心 ，半径为 ， 因为圆 关于直线 对称， 所以圆心 在直线 上， 所以 ，即 ， 所以由点 向圆所作的切线长为 ， 当 时，切线长最小，最小值为 ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线与圆的对称问题 5. 在平面直角坐标系 中，若圆 ： （ ）上存在点 ，且点 关于直线 的对称点 在圆 ： 上，则 的取值范围是 ． 【备注】本题题眼：圆 关于直线 的对称点 在圆 等价于圆 关于直线 的对称圆 与圆 相交；根据两圆相交时圆心距的范围求参即可： 【答案】【解析】若圆 ：（）上存在点 ， 且点 关于直线 的对称点 在圆 ： 上， 等价为若圆 ： （ ）直线 的对称圆与圆 ： 相交， 则圆 ： （ ）直线 的对称圆为圆 ： （ ）， 则圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ， 则 ， 若两圆相交则满足 ， 即 ， 得 ，得 ， 即 ， 即 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】直线与圆的对称问题 6. 点 ， 分别为圆 与圆 上的动点，点 在直线 上 运动，则 的最小值为 ． 【备注】本题考查"将军饮马"问题,将其中一个圆作关于直线 的对称圆，对称圆圆心与另一 个圆的圆心的连线与两个圆的交点的距离即为 的最小值 【答案】【解析】设圆 是圆关于直线对称的圆， 可得 ，圆 方程为 ， 可得当点 位于线段 上时，线段 长是圆 与圆 上两个动点之间的距离最小值， 此时的最小值为 ，，圆的半径 ， ∵ ， 可得 ， 故答案为 ． 【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；直观想象 【知识点】直线与圆的对称问题巩固练习 1. 已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知圆心为 ，所求直线的斜率为 ，由直线方程得斜截式，得 ，即 【标注】．故选 ．【知识点】直线与圆的位置关系 2. 圆 ： 上有两个点 和 关于直线 对称，则 （ ）． A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】由题意，得直线 经过圆心 ， 所以 ，解得 ． 【标注】【知识点】直线与圆的对称问题 3. 圆 关于直线 对称，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 关于直线 对称． 则直线过圆心 ． 即 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；直线与圆的对称问题 4. 已知圆 ： 关于直线 ： 对称，则原点 到直线 的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵圆 ： ， 即 关于直线 ： 对称， ∴直线 过圆心 ， 代入 ， 得 ： ， 故原点 到直线 ： 的距离为： ． 故选 ．【标注】【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的对称问题 4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为 ，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为. （3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】 出门测 1. 从直线 上的点向定圆 作切线，则切线长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设直线上的点为 ，圆心为 ，切点为 ， 则切线长为 ， 即 ， 则 最小值，即为求 最小值， 因为 是直线 ： 的动点 ， ∴ ， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题 2. 从圆 外一点 向圆引两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】y 3 2 1 x –3 –2 –1O–1 –2 –31 2 3 如图，∵圆，， ， 为圆切线， ∴ ， ，， ∴ ． 故选 ．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题 3. 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则 线段 的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆 心 ，半径 ， 若圆 与圆 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂 直，则有，解可得， 解可得 ， 又由 ， 解可得： ; 故选 ．y5 x 【标注】5 1【知识点】圆的切线的相关问题 42
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