资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题
展开
这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题，文件包含专题39圆锥曲线中的定点定值问题人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题39圆锥曲线中的定点定值问题人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc29989" 【知识梳理】 PAGEREF _Toc29989 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12647" 【考点1：椭圆中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc12647 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14725" 【考点2：双曲线中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc14725 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc15814" 【考点3：抛物线中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc15814 \h 23【知识梳理】1、涉及直线过定点的问题：若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+λg(x,y)=0，令f(x,y)且g(x,y)=0，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。2、圆锥曲线中定点问题的一般解题方法：①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点；②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x，y)＝0，,g(x，y)＝0))解得点的坐标即为定点．3、解决圆锥曲线中的定值的基本方法定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。【考点1：椭圆中的定点定值问题】【知识点：椭圆中的定点定值问题】1．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆的左、右顶点，过其焦点的直线与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点(异于A，B)，直线，交于点，求证：为定值.【答案】证明见解析【分析】直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程进行联立得，根据韦达定理找到，坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出，两点的坐标，其中点坐标，由直线方程可直接表示出，即，点坐标需联立直线与直线的方程，求出然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知，即，则，所以，,当直线斜率不存在时，直线与直线平行，无交点，不满足题意；所以直线斜率存在，设直线的斜率为，因为直线过椭圆焦点，且与轴有交点，所以，则直线的方程为，，设，，，如图所示： 则，直线的方程为，直线的方程为，联立，整理得：，且，，，所以，，联立，解得：，所以，因为，所以，即：为定值.2．（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，设点，坐标代入关系化简整理可得；（2）由点为定点，设的斜率为，动直线，利用与椭圆相交解得的坐标，并代入直线的方程，构造关于都满足的一元二次方程，从而由斜率和为定值，得到的关系，从而求得点.【详解】（1）由点是椭圆的上、下顶点，则，由得，，化简整理得，，即，且点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.故所求点的轨迹方程为；（2）由（1）知，设的斜率为，设动直线，由题意知，直线，直线，联立得，，因为直线与椭圆交于两点，所以，因为点在直线上，则，化简得，，同理可得，，所以，是方程的两根，由韦达定理知，，由题意知与的斜率之和为定值，设（为常数），则，代入直线方程得，令，解得，代入直线方程得，故直线过定点，又点在圆上，则有，解得，即点的坐标为.【点睛】在解析几何中，常常涉及到一些轮换对称性质的式子（如两根，如两斜率等等），由于式子中的量（如与，与）满足同样的代数关系，因此常用同构的代数方法来解决，其中最重要的同构手段则是构造二次方程，可以通过韦达定理得到题设或结论中的和、积、平方和等轮换对称式，从而找到关系解决问题.3．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若，过作直线与轨迹交于两点（不与重合），记直线与的斜率分别为，证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到，表示出斜率后化简即可得证.【详解】（1）圆，圆心，半径因为线段的垂直平分线和半径相交于，所以，所以，所以点H的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.故，所以点H的轨迹L的方程是.（2）证明：因为直线l不与重合，所以直线l斜率不为0，故设.所以，所以为定值.4．（2023上·北京西城·高二北师大实验中学校考期中）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】(1)；(2)是定值1.【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；（2）分类讨论是否为0，联立直线PQ与椭圆方程，直线OT方程，结合韦达定理判定三点纵坐标关系即可.【详解】（1）由椭圆性质可知：，，，，所以由题意可知：，即椭圆方程为：；（2）由上可知，当时，则重合，此时由椭圆的对称性可知，则；当时，则，由，可知直线为，设，，纵坐标，易知此时，联立直线与椭圆方程可得，所以，联立直线与方程，即，对于，综上可知为定值1.5．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知椭圆过点，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以直线的方程为. 当直线的斜率为时，，此时，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，原点到直线的距离为，由消去并化简得，设，，则.所以，则，解得（舍去）. 综上所述，直线的方程为或.（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，则，由，，. 依题意可知直线的斜率存在，直线的方程为，令，得，同理可求得，所以，所以线段PQ的中点为定点.【点睛】求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.6．（2023上·北京·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的标准方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）得，所以椭圆的方程为：.（2） 设直线：，则，消得：，，所以，设，，所以，，因为，所以，，7．（2023上·福建福州·高二校联考期中）已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以为直径的圆过原点即可.【详解】（1） 因为点是线段的垂直平分线上的一点所以因为所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆其中，，所以点Q的轨迹C的方程为：（2） （i）当直线垂直于x轴时，不妨设，，此时，所以，故以为直径的圆过点.（ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为，即.由得，所以，，所以，所以，故以为直径的圆过点.综上所述，以为直径的圆过定点.8．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2） 设，联立直线和椭圆方程可得：，消去可得：，所以，即，则，， ，把韦达定理代入可得：，整理得，又，而点到直线的距离，所以，把代入，则，可得是定值1．【考点2：双曲线中的定点定值问题】【知识点：双曲线中的定点定值问题】1．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知，且，不妨设，则，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，结合，即得，故得，即.又可设，则，而，故，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解.2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 .【答案】【分析】根据焦点到准线的距离可求得双曲线方程，设，与双曲线方程联立，由韦达定理可表示出点坐标，当时，知为轴；当时，同理可得点坐标，从而求解出直线的方程，进而确定所过定点坐标.【详解】到右准线的距离为，，解得：，，双曲线；，由题意可设，，则，由得：，与双曲线有两个交点，，则，；当时，点与点重合，此时直线为轴；当时，将上式点坐标中的换成，可得；①当直线不垂直于轴时，，则直线，化简得：，直线过定点；②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点；综上所述：直线过定点.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.3．（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．【答案】(1)(2)斜率之积为定值4，证明见解析【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程；（2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值.【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即，双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得．所以双曲线C的标准方程为.（2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下：过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为，与双曲线方程联立解得，，.直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为，双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点，由，消去得，设，，有，，，，当直线QA，QB的斜率均存在，.所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．（2023上·浙江绍兴·高二绍兴一中校考期中）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，定值为1【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及列方程组求解可得；（2）设是双曲线上任一点，取点，计算得定值．【详解】（1）由题意得，解得，故双曲线C的方程为；（2）法一：存在点B，使得对双曲线上任意一点P（其中），都有为定值1，证明如下：设是双曲线上任意一点P（其中），则，即=4∴．法二：设定点为，设是双曲线上任意一点P（其中），则，即=4，，，由于，而是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由得，满足，所以存在定点，使得为定值且定值为1.5．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；（2）设，则，设点、、，利用向量的坐标运算可得出，，结合平方差公式以及双曲线的方程计算出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由题意可得，整理可得.所以，曲线的方程为.（2）证明：如下图所示：因为，设，则，设点、、，由可得，即，所以，，由可得，即，所以，，所以， ，，所以，，即，所以，点在定直线上.【点睛】方法点睛：本题使用向量方法得到若干方程后，将这些方程进行整体处理，已达到消元的目的，这个方法比联立方程的计算量要小，不失为一中巧妙的方法.6．（2023上·广西·高三统考阶段练习）已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)是，定值为．【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.【详解】（1）将点和点的坐标代入，得，解得所以双曲线的离心率．（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．联立得，设，，则，，所以．，直线：．设，．联立得，则且，则，所以，所以为定值，定值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【考点3：抛物线中的定点定值问题】【知识点：抛物线中的定点定值问题】1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，若不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点．【答案】证明见解析【分析】根据题意可知，可得斜率之积为，记，，代入抛物线方程，由根与系数的关系可得，代入直线方程即可得解.【详解】证明：因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即．如图，设，，则，．将直线，变形得，记，，则直线可化为，将“”代入抛物线的方程得，整理得，因为，方程两边同除以，得，易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，代入求直线方程得，即，当时，，故直线恒过定点．2．（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．(1)求抛物线的方程；(2)过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．【答案】(1)(2)直线与直线的交点都在上【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，根据抛物线定义及求得；（2）分别表示出直线与方程，联立得交点的横坐标为定值.【详解】（1）由题意设直线，，，联立方程组，消得，，所以，，解得，即指物线的方程为．（2）由（1）可知，，．设直线，，,联立方程组，消得， 所以，．直线的斜率为，所以直线，即，同理可得直线，从而，即，解得，所以直线与直线的交点都在上．3．（2023上·北京东城·高二汇文中学校考期中）设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；(2)求证：直线恒过定点．【答案】(1)，相切(2)证明见解析【分析】（1）设过点的切线方程，代入，整理得，令，可得，的坐标，进而可得的中点，根据即可求解圆的方程，从而可判断圆与直线相切；（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线的方程，从而可得结论；【详解】（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，，因为的中点，且,从而过，，三点的圆的圆心为，半径为，故其方程为．圆心坐标为，半径为，圆与直线相切（2）由已知得，求导得，切点分别为,，,，故过点,的切线斜率为，从而切线方程为,即,又切线过点,，所以得①,即,同理可得过点,的切线为，又切线过点,，所以得②即,即点,,,均满足,故直线的方程为,又,为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点,【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4．（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．(1)求圆M的方程；(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得，即可得到圆的半径，从而得到结果；（2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值.【详解】（1）设抛物线上的点，又，所以，当且仅当时取等号．所以MN的最小值．所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．所以，所以圆M的方程为．（2）设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零．设切线方程为，即．又圆M：，由相切得．整理得：，依题意知，所以，联立，得，依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为，则，．所以＝．5．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可.（2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可.【详解】（1）依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在轴上，设抛物线方程为：，当时，，则，则抛物线方程为：.（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：，设，由，得，，则，则，因为三点共线，，则，，当时，重心G不会落在x轴上，所以，解得：，同理可得：，又，则，则该定值为6．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）设圆心，由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得，化简即可求解；（2）设直线BD的方程、，联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得，结合两点求斜率公式可得，即可证明.【详解】（1）设圆心，半径为，由圆心为的动圆过点，所以，又圆心为的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以，此时，解得，所以曲线E是抛物线，其方程为；（2）易知直线BD的斜率不为0，设直线BD的方程为，即，，消去x，得，或，设，则，，所以，即为定值1.
专题3.9 圆锥曲线中的定点定值问题 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc29989" 【知识梳理】 PAGEREF _Toc29989 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12647" 【考点1：椭圆中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc12647 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14725" 【考点2：双曲线中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc14725 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc15814" 【考点3：抛物线中的定点定值问题】 PAGEREF _Toc15814 \h 23【知识梳理】1、涉及直线过定点的问题：若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+λg(x,y)=0，令f(x,y)且g(x,y)=0，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。2、圆锥曲线中定点问题的一般解题方法：①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点；②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x，y)＝0，,g(x，y)＝0))解得点的坐标即为定点．3、解决圆锥曲线中的定值的基本方法定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。【考点1：椭圆中的定点定值问题】【知识点：椭圆中的定点定值问题】1．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆的左、右顶点，过其焦点的直线与椭圆交于C，D两点，并与轴交于点(异于A，B)，直线，交于点，求证：为定值.【答案】证明见解析【分析】直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程进行联立得，根据韦达定理找到，坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出，两点的坐标，其中点坐标，由直线方程可直接表示出，即，点坐标需联立直线与直线的方程，求出然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知，即，则，所以，,当直线斜率不存在时，直线与直线平行，无交点，不满足题意；所以直线斜率存在，设直线的斜率为，因为直线过椭圆焦点，且与轴有交点，所以，则直线的方程为，，设，，，如图所示： 则，直线的方程为，直线的方程为，联立，整理得：，且，，，所以，，联立，解得：，所以，因为，所以，即：为定值.2．（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，设点，坐标代入关系化简整理可得；（2）由点为定点，设的斜率为，动直线，利用与椭圆相交解得的坐标，并代入直线的方程，构造关于都满足的一元二次方程，从而由斜率和为定值，得到的关系，从而求得点.【详解】（1）由点是椭圆的上、下顶点，则，由得，，化简整理得，，即，且点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.故所求点的轨迹方程为；（2）由（1）知，设的斜率为，设动直线，由题意知，直线，直线，联立得，，因为直线与椭圆交于两点，所以，因为点在直线上，则，化简得，，同理可得，，所以，是方程的两根，由韦达定理知，，由题意知与的斜率之和为定值，设（为常数），则，代入直线方程得，令，解得，代入直线方程得，故直线过定点，又点在圆上，则有，解得，即点的坐标为.【点睛】在解析几何中，常常涉及到一些轮换对称性质的式子（如两根，如两斜率等等），由于式子中的量（如与，与）满足同样的代数关系，因此常用同构的代数方法来解决，其中最重要的同构手段则是构造二次方程，可以通过韦达定理得到题设或结论中的和、积、平方和等轮换对称式，从而找到关系解决问题.3．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若，过作直线与轨迹交于两点（不与重合），记直线与的斜率分别为，证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到，表示出斜率后化简即可得证.【详解】（1）圆，圆心，半径因为线段的垂直平分线和半径相交于，所以，所以，所以点H的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.故，所以点H的轨迹L的方程是.（2）证明：因为直线l不与重合，所以直线l斜率不为0，故设.所以，所以为定值.4．（2023上·北京西城·高二北师大实验中学校考期中）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】(1)；(2)是定值1.【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；（2）分类讨论是否为0，联立直线PQ与椭圆方程，直线OT方程，结合韦达定理判定三点纵坐标关系即可.【详解】（1）由椭圆性质可知：，，，，所以由题意可知：，即椭圆方程为：；（2）由上可知，当时，则重合，此时由椭圆的对称性可知，则；当时，则，由，可知直线为，设，，纵坐标，易知此时，联立直线与椭圆方程可得，所以，联立直线与方程，即，对于，综上可知为定值1.5．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知椭圆过点，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以直线的方程为. 当直线的斜率为时，，此时，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，原点到直线的距离为，由消去并化简得，设，，则.所以，则，解得（舍去）. 综上所述，直线的方程为或.（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，则，由，，. 依题意可知直线的斜率存在，直线的方程为，令，得，同理可求得，所以，所以线段PQ的中点为定点.【点睛】求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.6．（2023上·北京·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的标准方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）得，所以椭圆的方程为：.（2） 设直线：，则，消得：，，所以，设，，所以，，因为，所以，，7．（2023上·福建福州·高二校联考期中）已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以为直径的圆过原点即可.【详解】（1） 因为点是线段的垂直平分线上的一点所以因为所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆其中，，所以点Q的轨迹C的方程为：（2） （i）当直线垂直于x轴时，不妨设，，此时，所以，故以为直径的圆过点.（ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为，即.由得，所以，，所以，所以，故以为直径的圆过点.综上所述，以为直径的圆过定点.8．（2023上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2） 设，联立直线和椭圆方程可得：，消去可得：，所以，即，则，， ，把韦达定理代入可得：，整理得，又，而点到直线的距离，所以，把代入，则，可得是定值1．【考点2：双曲线中的定点定值问题】【知识点：双曲线中的定点定值问题】1．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知，且，不妨设，则，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，结合，即得，故得，即.又可设，则，而，故，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解.2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 .【答案】【分析】根据焦点到准线的距离可求得双曲线方程，设，与双曲线方程联立，由韦达定理可表示出点坐标，当时，知为轴；当时，同理可得点坐标，从而求解出直线的方程，进而确定所过定点坐标.【详解】到右准线的距离为，，解得：，，双曲线；，由题意可设，，则，由得：，与双曲线有两个交点，，则，；当时，点与点重合，此时直线为轴；当时，将上式点坐标中的换成，可得；①当直线不垂直于轴时，，则直线，化简得：，直线过定点；②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点；综上所述：直线过定点.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.3．（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．【答案】(1)(2)斜率之积为定值4，证明见解析【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程；（2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值.【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即，双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得．所以双曲线C的标准方程为.（2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下：过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为，与双曲线方程联立解得，，.直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为，双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点，由，消去得，设，，有，，，，当直线QA，QB的斜率均存在，.所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．（2023上·浙江绍兴·高二绍兴一中校考期中）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，定值为1【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及列方程组求解可得；（2）设是双曲线上任一点，取点，计算得定值．【详解】（1）由题意得，解得，故双曲线C的方程为；（2）法一：存在点B，使得对双曲线上任意一点P（其中），都有为定值1，证明如下：设是双曲线上任意一点P（其中），则，即=4∴．法二：设定点为，设是双曲线上任意一点P（其中），则，即=4，，，由于，而是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由得，满足，所以存在定点，使得为定值且定值为1.5．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；（2）设，则，设点、、，利用向量的坐标运算可得出，，结合平方差公式以及双曲线的方程计算出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由题意可得，整理可得.所以，曲线的方程为.（2）证明：如下图所示：因为，设，则，设点、、，由可得，即，所以，，由可得，即，所以，，所以， ，，所以，，即，所以，点在定直线上.【点睛】方法点睛：本题使用向量方法得到若干方程后，将这些方程进行整体处理，已达到消元的目的，这个方法比联立方程的计算量要小，不失为一中巧妙的方法.6．（2023上·广西·高三统考阶段练习）已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)是，定值为．【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.【详解】（1）将点和点的坐标代入，得，解得所以双曲线的离心率．（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．联立得，设，，则，，所以．，直线：．设，．联立得，则且，则，所以，所以为定值，定值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【考点3：抛物线中的定点定值问题】【知识点：抛物线中的定点定值问题】1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，若不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点．【答案】证明见解析【分析】根据题意可知，可得斜率之积为，记，，代入抛物线方程，由根与系数的关系可得，代入直线方程即可得解.【详解】证明：因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即．如图，设，，则，．将直线，变形得，记，，则直线可化为，将“”代入抛物线的方程得，整理得，因为，方程两边同除以，得，易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，代入求直线方程得，即，当时，，故直线恒过定点．2．（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．(1)求抛物线的方程；(2)过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．【答案】(1)(2)直线与直线的交点都在上【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，根据抛物线定义及求得；（2）分别表示出直线与方程，联立得交点的横坐标为定值.【详解】（1）由题意设直线，，，联立方程组，消得，，所以，，解得，即指物线的方程为．（2）由（1）可知，，．设直线，，,联立方程组，消得， 所以，．直线的斜率为，所以直线，即，同理可得直线，从而，即，解得，所以直线与直线的交点都在上．3．（2023上·北京东城·高二汇文中学校考期中）设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；(2)求证：直线恒过定点．【答案】(1)，相切(2)证明见解析【分析】（1）设过点的切线方程，代入，整理得，令，可得，的坐标，进而可得的中点，根据即可求解圆的方程，从而可判断圆与直线相切；（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线的方程，从而可得结论；【详解】（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，，因为的中点，且,从而过，，三点的圆的圆心为，半径为，故其方程为．圆心坐标为，半径为，圆与直线相切（2）由已知得，求导得，切点分别为,，,，故过点,的切线斜率为，从而切线方程为,即,又切线过点,，所以得①,即,同理可得过点,的切线为，又切线过点,，所以得②即,即点,,,均满足,故直线的方程为,又,为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点,【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4．（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．(1)求圆M的方程；(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得，即可得到圆的半径，从而得到结果；（2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值.【详解】（1）设抛物线上的点，又，所以，当且仅当时取等号．所以MN的最小值．所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．所以，所以圆M的方程为．（2）设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零．设切线方程为，即．又圆M：，由相切得．整理得：，依题意知，所以，联立，得，依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为，则，．所以＝．5．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可.（2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可.【详解】（1）依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在轴上，设抛物线方程为：，当时，，则，则抛物线方程为：.（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：，设，由，得，，则，则，因为三点共线，，则，，当时，重心G不会落在x轴上，所以，解得：，同理可得：，又，则，则该定值为6．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）设圆心，由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得，化简即可求解；（2）设直线BD的方程、，联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得，结合两点求斜率公式可得，即可证明.【详解】（1）设圆心，半径为，由圆心为的动圆过点，所以，又圆心为的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以，此时，解得，所以曲线E是抛物线，其方程为；（2）易知直线BD的斜率不为0，设直线BD的方程为，即，，消去x，得，或，设，则，，所以，即为定值1.
相关资料
更多
