还剩22页未读，
继续阅读
高中第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用综合训练题
展开
这是一份高中第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用综合训练题，共25页。
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是 ( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(11)
C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
2.(5分)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
3．(5分)已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(7)
4．(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A.eq \f(6\r(5),5) B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)
5.(5分)如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P点到直线AB的距离为________．
6．(5分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为( )
A.eq \f(\r(6),3)a B.eq \f(\r(3),6)a C.eq \f(\r(3),4)a D.eq \f(\r(6),6)a
7．(5分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面α，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(11),11) D.eq \f(2\r(11),11)
8．(5分)(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16 B．－4
C．4 D．16
9．(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
提升篇
10．(5分)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为( )
A.eq \f(\r(21),2) B.eq \f(\r(26),2)
C.eq \f(\r(29),2) D.eq \f(\r(23),2)
11．(5分)已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是( )
A.eq \r(5) cm B.eq \r(6) cm
C．2eq \r(3) cm D．2eq \r(6) cm
12．(5分)四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
13．(5分)(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为( )
A.eq \f(a,2) B.eq \f(\r(2),2)a
C.eq \f(\r(3),2)a D.eq \f(\r(6),2)a
14.(5分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
15.(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
16.(15分)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
1.4.2 用空间向量研究夹角问题（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)(多选)下列说法不正确的是( )
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是[0°，180°]
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
2．(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.eq \f(3\r(70),70)
C．－eq \f(3\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70)
3.(5分)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
4.(5分)已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
5．(5分)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．60°或30°
6．(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5)
C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
7.(5分)在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
8．(5分)(多选)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角ABDC的大小可能为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
9．(5分)在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角AOxB，使∠AOB＝90°，则cs θ为( )
A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(4,9) D．－eq \f(4,9)
10.(5分)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为____________．
提升篇
11．(5分)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
12．(5分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
13．(5分)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
15.(5分)已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________．
16.(5分)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为________．
17.(5分)将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角ABDC的正弦值为________．
18.(15分)如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
1.4.2 用空间向量研究距离问题（练习）
(50分钟 90分)
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是 ( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(11)
C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
B 解析：如图所示，|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))2＝|eq \(AN,\s\up6(→))|2＋|eq \(NM,\s\up6(→))|2＋|eq \(MB,\s\up6(→))|2＋2eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＋2eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))
＝9＋4＋25＋2×3×2×cs 60°
＝44，故|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(11).
2.(5分)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
eq \r(2a2＋b2＋2ab) 解析：设AC与BD相交于O点，A1A与平面OAB所成的角θ满足cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs 120°,cs 45°)))＝eq \f(\r(2),2).
因为eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以|eq \(A1C,\s\up6(→))|2＝|eq \(A1A,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(A1A,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs θ＝b2＋2a2＋2×b×eq \r(2)a×eq \f(\r(2),2)＝2a2＋b2＋2ab，
所以A1C＝eq \r(2a2＋b2＋2ab).
3．(5分)已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(7)
D 解析：由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PD⊥AD,DC⊥AD))⇒∠PDC为二面角PADC的平面角，如图所示，过P作PH⊥DC于H.
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
因为∠PDC＝60°，PD＝2，
所以PE＝eq \r(3).
因为EF＝AD＝2，
所以由勾股定理可得PE＝eq \r(PH2＋HE2)＝eq \r(7).
故选D.
4．(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A.eq \f(6\r(5),5) B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)
B 解析：以eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BB1,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则eq \(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，
所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(5),5).
所以点A到直线BE的距离
d＝|AB|sin〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(4\r(5),5).
5.(5分)如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P点到直线AB的距离为________．
eq \f(5,6) 解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以AN＝eq \f(3,4)，NM＝eq \f(1,2)，PM＝eq \f(2,3)，
所以PN＝eq \r(PM2＋MN2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq \f(5,6).
即P点到直线AB的距离为eq \f(5,6).
6．(5分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为( )
A.eq \f(\r(6),3)a B.eq \f(\r(3),6)a C.eq \f(\r(3),4)a D.eq \f(\r(6),6)a
D 解析：以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(a，a，0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，A1(a，0，a)，
所以eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，eq \(A1M,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(a,2))).
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·eq \(DB,\s\up6(→))＝0且n·eq \(DM,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋ay＝0，,ax＋\f(a,2)z＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x＋\f(z,2)＝0，))
令z＝2，则n＝(－1，1，2)为平面MBD的一个法向量，
所以点A1到平面MBD的距离为
d＝eq \f(|n·\(A1M,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(a,\r(6))＝eq \f(\r(6),6)a.
7．(5分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面α，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(11),11) D.eq \f(2\r(11),11)
D 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)．
所以eq \(GE,\s\up6(→))＝(2，4，－2)，eq \(GF,\s\up6(→))＝(4，2，－2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(→))＝2x＋4y－2z＝0，,n·\(GF,\s\up6(→))＝4x＋2y－2z＝0.))
令x＝1，则y＝1，z＝3.
所以n＝(1，1，3)是平面EFG的一个法向量．
而eq \(EB,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，
所以d＝eq \f(|n·\(EB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(2\r(11),11).
故选D.
8．(5分)(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16 B．－4
C．4 D．16
AC 解析：因为n＝(－2，－2，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－2，z)，且d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋4＋z|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(|6＋z|,3)＝eq \f(10,3)，所以z＝4或－16.
9．(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
B 解析：建立如图所示空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0，1，0)，
所以eq \(D1A,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(D1A,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝y＝0.))
令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量．
所以点O到平面ABC1D1的距离
d＝eq \f(|n·\(OC1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
提升篇
10．(5分)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为( )
A.eq \f(\r(21),2) B.eq \f(\r(26),2)
C.eq \f(\r(29),2) D.eq \f(\r(23),2)
B 解析：易得BC的中点D坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(3,2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)，－\f(3,2)))，故BC边上的中线长为|AD|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(26,4))＝eq \f(\r(26),2).
11．(5分)已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是( )
A.eq \r(5) cm B.eq \r(6) cm
C．2eq \r(3) cm D．2eq \r(6) cm
B 解析：如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝eq \r(2)BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝eq \r(6) cm.
12．(5分)四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
C 解析：因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．
因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2eq \r(3)，OB＝2.
则A(2eq \r(3)，0，0)，B(0，2，0)，C(－2eq \r(3)，0，0)，O1(0，0，3)．
设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(O1B,\s\up6(→))，n⊥eq \(O1C,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y－3z＝0，,－2\r(3)x－3z＝0.))若z＝2，则x＝－eq \r(3)，y＝3，
所以n＝(－eq \r(3)，3，2)是平面O1BC的一个法向量．
设点E到平面O1BC的距离为d，
因为E是O1A的中点，所以eq \(EO1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，0，\f(3,2)))，
则d＝eq \f(|\(EO1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,2)，
所以点E到平面O1BC的距离等于eq \f(3,2).
13．(5分)(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为( )
A.eq \f(a,2) B.eq \f(\r(2),2)a
C.eq \f(\r(3),2)a D.eq \f(\r(6),2)a
BC 解析：如图所示，求PQ的长度，需先将PQ表示出来，再用代数方法解决．
eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))两两夹角均为60°，
设eq \(PA,\s\up6(→))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，eq \(DQ,\s\up6(→))＝μeq \(DC,\s\up6(→))(0≤μ≤1)，
则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DQ,\s\up6(→))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋μ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)·eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→)).
所以|eq \(PQ,\s\up6(→))|2＝λ2|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋(1－μ)2|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋μ2|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2λ(μ－1)·eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2(1－μ)μeq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－2λμeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))).
因为0≤λ≤1，0≤μ≤1，所以eq \f(a2,2)≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|2≤a2，所以eq \f(\r(2),2)a≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|≤a，故选BC.
14.(5分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
eq \f(\r(6),2) 解析：以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，可得E(1，1，eq \r(2))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(\r(2),2))).
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(\r(2),2)))，所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)，
所以|EF|＝eq \f(\r(6),2).
15.(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
eq \f(3\r(5),10) 解析：取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A1(0，0，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0，1，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，D1(0，1，1)．
所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2)))，eq \(A1D1,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1D1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)z＝0，,y＝0.))
令z＝2，则x＝1.
所以n＝(1，0，2)是平面A1D1E的一个法向量．
又eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－1))，
所以点F到平面A1D1E的距离
d＝eq \f(|\(A1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2)),\r(5))＝eq \f(3\r(5),10).
16.(15分)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)).
(1)设DH⊥平面PEF，垂足为H，则eq \(DH,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(DF,\s\up6(→))＋zeq \(DP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y，\f(1,2)x＋y，z))，其中x＋y＋z＝1.
因为eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－1))，
所以eq \(DH,\s\up6(→))·eq \(PE,\s\up6(→))＝x＋eq \f(1,2)y＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y))－z
＝eq \f(5,4)x＋y－z＝0.
同理，x＋eq \f(5,4)y－z＝0.
又x＋y＋z＝1，由此解得x＝y＝eq \f(4,17)，z＝eq \f(9,17).
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,17)，\f(6,17)，\f(9,17)))＝eq \f(3,17)(2，2，3)．
所以|eq \(DH,\s\up6(→))|＝eq \f(3\r(17),17).
即点D到平面PEF的距离为eq \f(3\r(17),17).
(2)设AH′⊥平面PEF，垂足为H′，则eq \(AH′,\s\up6(→))∥eq \(DH,\s\up6(→)).
设eq \(AH′,\s\up6(→))＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则
eq \(EH′,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AH′,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))＋(2λ，2λ，3λ)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2λ，2λ－\f(1,2)，3λ)).
所以eq \(AH′,\s\up6(→))·eq \(EH′,\s\up6(→))＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝eq \f(1,17).
所以eq \(AH′,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,17)，\f(2,17)，\f(3,17)))＝eq \f(1,17)(2，2，3)，
所以|eq \(AH′,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),17).
而直线AC∥平面PEF，
所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
1.4.2 用空间向量研究夹角问题（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)(多选)下列说法不正确的是( )
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是[0°，180°]
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
ABD 解析：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是[0°，180°]，而异面直线夹角为(0°，90°]，B不正确；二面角的范围是[0°，180°]，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确．
2．(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.eq \f(3\r(70),70)
C．－eq \f(3\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70)
A 解析：建立如图所示空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以eq \(BD1,\s\up6(→))＝(－2，－2，3)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)．
所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝0.
3.(5分)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
eq \f(4,5) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．设AB＝1，则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，eq \(A1B,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，
cs〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(→))·\(AD1,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(→))||\(AD1,\s\up6(→))|)＝eq \f(－4,\r(5)×\r(5))＝－eq \f(4,5)，
所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq \f(4,5).
4.(5分)已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
eq \f(\r(15),15) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，eq \(A′C,\s\up6(→))＝(a，a，－a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)，0))，
所以cs〈eq \(A′C,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A′C,\s\up6(→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A′C,\s\up6(→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(15),15).
所以直线A′C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
5．(5分)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．60°或30°
C 解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，所以直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
6．(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5)
C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，2，1)．
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2，0)，eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2，0，1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为n⊥eq \(BD,\s\up6(→))，n⊥eq \(BB1,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x－2y＝0，,2z＝0，)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－y，,z＝0.))
令y＝1，则n＝(－1，1，0)是平面D1BD的一个法向量．
所以cs〈n，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(BE,\s\up6(→)),|n||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(10),5).
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sin θ＝|cs〈n，eq \(BE,\s\up6(→))〉|＝eq \f(\r(10),5).
7.(5分)在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
30° 解析：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，
则eq \(CA,\s\up6(→))＝(2a，0，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝(a，a，0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
因为n⊥eq \(CA,\s\up6(→))，n⊥eq \(AP,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax＝0，,－ax－\f(a,2)y＋\f(a,2)z＝0，))所以x＝0，y＝z，
令y＝1，则n＝(0，1，1)是平面PAC的一个法向量，
所以cs〈eq \(CB,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(CB,\s\up6(→))·n,|\(CB,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以〈eq \(CB,\s\up6(→))，n〉＝60°，
所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.
8．(5分)(多选)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角ABDC的大小可能为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
BC 解析：二面角的范围是[0，π]，且与法向量的夹角相等或互补．
9．(5分)在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角AOxB，使∠AOB＝90°，则cs θ为( )
A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(4,9) D．－eq \f(4,9)
C 解析：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝eq \r(13)，折叠后，∠AOB＝90°，
所以AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(26).
由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(A′B′,\s\up6(→))＋eq \(B′B,\s\up6(→))，得
|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝|eq \(AA′,\s\up6(→))|2＋|eq \(A′B′,\s\up6(→))|2＋|eq \(B′B,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AA′,\s\up6(→))|·|eq \(B′B,\s\up6(→))|·cs(π－θ)．
所以26＝9＋16＋9＋2×3×3×cs(π－θ)，
所以cs θ＝eq \f(4,9).
10.(5分)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为____________．
±eq \f(\r(15),6) 解析：设a＝(0，－1，3)，b＝(2，2，4)，
则cs〈a，b〉＝eq \f(10,\r(10)×\r(24))＝eq \f(\r(15),6).
又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±eq \f(\r(15),6).
提升篇
11．(5分)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
A 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
设AA1＝2AB＝2，
则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，
故eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\(DC1,\s\up6(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋2z＝0.))
令z＝1，则y＝－2，x＝2，
即n＝(2，－2，1)是平面BDC1的一个法向量．
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈n，eq \(DC,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·\(DC,\s\up6(→)),|n||\(DC,\s\up6(→))|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,3×1)))＝eq \f(2,3).
12．(5分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，eq \r(2)，0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(2)，－1)．
即n＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，
所以cs〈eq \(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(PC,\s\up6(→))·n,|\(PC,\s\up6(→))||n|)＝－eq \f(1,2)，
所以〈eq \(PC,\s\up6(→))·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
13．(5分)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
D 解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝eq \r(3)，所以O(0，0，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，
易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))为平面BDF的一个法向量．
由eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，
可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，eq \r(3)，eq \r(3))．
所以cs〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(21),7)，sin 〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(7),7)，
所以tan〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(3),3).
故二面角CBFD的正切值为eq \f(2\r(3),3).
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
eq \f(\r(3),3) 解析：cs〈v1，v2〉＝eq \f(v1·v2,|v1||v2|)＝eq \f(3＋3,\r(6)×\r(18))＝eq \f(\r(3),3).
所以两直线所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
15.(5分)已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________．
eq \f(\r(2),3) 解析：如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝2，则O(0，0，0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(2\r(6),3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),3)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)，\f(\r(6),3)))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(2\r(6),3)))为平面BCD的一个法向量，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(3),3)，\f(\r(6),3)))，
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(4,3),\f(2\r(6),3)×\r(3))＝eq \f(\r(2),3).
所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为eq \f(\r(2),3).
16.(5分)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为________．
eq \f(2,5) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
设正方形的边长为2，
则A(0，0，0)，F(2，1，0)，E(1，0，0)．
设M(0，m，2)(0≤m≤2)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq \(ME,\s\up6(→))＝(1，－m，－2)，
cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AF,\s\up6(→))·\(ME,\s\up6(→)),|\(AF,\s\up6(→))||\(ME,\s\up6(→))|)))＝eq \f(2－m,\r(5)×\r(5＋m2)).
令t＝2－m(0≤t≤2)，
cs θ＝eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\f(5,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,t)－\f(2,3)))\s\up12(2)))
≤eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\f(5,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(2,3)))\s\up12(2)))＝eq \f(2,5).
17.(5分)将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角ABDC的正弦值为________．
eq \f(2\r(5),5) 解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0)).
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
由于eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BD,\s\up6(→))＝0，)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \r(3)，z＝1，所以n＝(1，－eq \r(3)，1)是平面ABD的一个法向量，
所以cs〈n，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(5),5)，所以二面角A-BD-C的正弦值为eq \f(2 \r(5),5).
18.(15分)如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，则eq \(DA,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(CC′,\s\up6(→))＝(0，0，1)，连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设eq \(DH,\s\up6(→))＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉＝60°，
又由eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DH,\s\up6(→))＝|eq \(DA,\s\up6(→))||eq \(DH,\s\up6(→))|cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉，
可得2m＝eq \r(2m2＋1)，
解得m＝eq \f(\r(2),2).
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
(1)因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，即DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是 ( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(11)
C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
2.(5分)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
3．(5分)已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(7)
4．(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A.eq \f(6\r(5),5) B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)
5.(5分)如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P点到直线AB的距离为________．
6．(5分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为( )
A.eq \f(\r(6),3)a B.eq \f(\r(3),6)a C.eq \f(\r(3),4)a D.eq \f(\r(6),6)a
7．(5分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面α，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(11),11) D.eq \f(2\r(11),11)
8．(5分)(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16 B．－4
C．4 D．16
9．(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
提升篇
10．(5分)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为( )
A.eq \f(\r(21),2) B.eq \f(\r(26),2)
C.eq \f(\r(29),2) D.eq \f(\r(23),2)
11．(5分)已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是( )
A.eq \r(5) cm B.eq \r(6) cm
C．2eq \r(3) cm D．2eq \r(6) cm
12．(5分)四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
13．(5分)(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为( )
A.eq \f(a,2) B.eq \f(\r(2),2)a
C.eq \f(\r(3),2)a D.eq \f(\r(6),2)a
14.(5分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
15.(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
16.(15分)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
1.4.2 用空间向量研究夹角问题（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)(多选)下列说法不正确的是( )
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是[0°，180°]
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
2．(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.eq \f(3\r(70),70)
C．－eq \f(3\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70)
3.(5分)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
4.(5分)已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
5．(5分)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．60°或30°
6．(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5)
C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
7.(5分)在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
8．(5分)(多选)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角ABDC的大小可能为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
9．(5分)在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角AOxB，使∠AOB＝90°，则cs θ为( )
A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(4,9) D．－eq \f(4,9)
10.(5分)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为____________．
提升篇
11．(5分)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
12．(5分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
13．(5分)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
15.(5分)已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________．
16.(5分)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为________．
17.(5分)将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角ABDC的正弦值为________．
18.(15分)如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
1.4.2 用空间向量研究距离问题（练习）
(50分钟 90分)
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是 ( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(11)
C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
B 解析：如图所示，|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))2＝|eq \(AN,\s\up6(→))|2＋|eq \(NM,\s\up6(→))|2＋|eq \(MB,\s\up6(→))|2＋2eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＋2eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))
＝9＋4＋25＋2×3×2×cs 60°
＝44，故|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(11).
2.(5分)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
eq \r(2a2＋b2＋2ab) 解析：设AC与BD相交于O点，A1A与平面OAB所成的角θ满足cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs 120°,cs 45°)))＝eq \f(\r(2),2).
因为eq \(A1C,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以|eq \(A1C,\s\up6(→))|2＝|eq \(A1A,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(A1A,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs θ＝b2＋2a2＋2×b×eq \r(2)a×eq \f(\r(2),2)＝2a2＋b2＋2ab，
所以A1C＝eq \r(2a2＋b2＋2ab).
3．(5分)已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(7)
D 解析：由eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PD⊥AD,DC⊥AD))⇒∠PDC为二面角PADC的平面角，如图所示，过P作PH⊥DC于H.
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
因为∠PDC＝60°，PD＝2，
所以PE＝eq \r(3).
因为EF＝AD＝2，
所以由勾股定理可得PE＝eq \r(PH2＋HE2)＝eq \r(7).
故选D.
4．(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A.eq \f(6\r(5),5) B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)
B 解析：以eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BB1,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则eq \(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，
所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(5),5).
所以点A到直线BE的距离
d＝|AB|sin〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(4\r(5),5).
5.(5分)如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P点到直线AB的距离为________．
eq \f(5,6) 解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以AN＝eq \f(3,4)，NM＝eq \f(1,2)，PM＝eq \f(2,3)，
所以PN＝eq \r(PM2＋MN2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq \f(5,6).
即P点到直线AB的距离为eq \f(5,6).
6．(5分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为( )
A.eq \f(\r(6),3)a B.eq \f(\r(3),6)a C.eq \f(\r(3),4)a D.eq \f(\r(6),6)a
D 解析：以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(a，a，0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，A1(a，0，a)，
所以eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，eq \(A1M,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(a,2))).
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·eq \(DB,\s\up6(→))＝0且n·eq \(DM,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋ay＝0，,ax＋\f(a,2)z＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x＋\f(z,2)＝0，))
令z＝2，则n＝(－1，1，2)为平面MBD的一个法向量，
所以点A1到平面MBD的距离为
d＝eq \f(|n·\(A1M,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(a,\r(6))＝eq \f(\r(6),6)a.
7．(5分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面α，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(11),11) D.eq \f(2\r(11),11)
D 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)．
所以eq \(GE,\s\up6(→))＝(2，4，－2)，eq \(GF,\s\up6(→))＝(4，2，－2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(→))＝2x＋4y－2z＝0，,n·\(GF,\s\up6(→))＝4x＋2y－2z＝0.))
令x＝1，则y＝1，z＝3.
所以n＝(1，1，3)是平面EFG的一个法向量．
而eq \(EB,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，
所以d＝eq \f(|n·\(EB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(2\r(11),11).
故选D.
8．(5分)(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16 B．－4
C．4 D．16
AC 解析：因为n＝(－2，－2，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－2，z)，且d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋4＋z|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(|6＋z|,3)＝eq \f(10,3)，所以z＝4或－16.
9．(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
B 解析：建立如图所示空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0，1，0)，
所以eq \(D1A,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(D1A,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝y＝0.))
令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量．
所以点O到平面ABC1D1的距离
d＝eq \f(|n·\(OC1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
提升篇
10．(5分)已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为( )
A.eq \f(\r(21),2) B.eq \f(\r(26),2)
C.eq \f(\r(29),2) D.eq \f(\r(23),2)
B 解析：易得BC的中点D坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(3,2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)，－\f(3,2)))，故BC边上的中线长为|AD|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(26,4))＝eq \f(\r(26),2).
11．(5分)已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是( )
A.eq \r(5) cm B.eq \r(6) cm
C．2eq \r(3) cm D．2eq \r(6) cm
B 解析：如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝eq \r(2)BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝eq \r(6) cm.
12．(5分)四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
C 解析：因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．
因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2eq \r(3)，OB＝2.
则A(2eq \r(3)，0，0)，B(0，2，0)，C(－2eq \r(3)，0，0)，O1(0，0，3)．
设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(O1B,\s\up6(→))，n⊥eq \(O1C,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y－3z＝0，,－2\r(3)x－3z＝0.))若z＝2，则x＝－eq \r(3)，y＝3，
所以n＝(－eq \r(3)，3，2)是平面O1BC的一个法向量．
设点E到平面O1BC的距离为d，
因为E是O1A的中点，所以eq \(EO1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，0，\f(3,2)))，
则d＝eq \f(|\(EO1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,2)，
所以点E到平面O1BC的距离等于eq \f(3,2).
13．(5分)(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为( )
A.eq \f(a,2) B.eq \f(\r(2),2)a
C.eq \f(\r(3),2)a D.eq \f(\r(6),2)a
BC 解析：如图所示，求PQ的长度，需先将PQ表示出来，再用代数方法解决．
eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))两两夹角均为60°，
设eq \(PA,\s\up6(→))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，eq \(DQ,\s\up6(→))＝μeq \(DC,\s\up6(→))(0≤μ≤1)，
则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DQ,\s\up6(→))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋μ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)·eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→)).
所以|eq \(PQ,\s\up6(→))|2＝λ2|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋(1－μ)2|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋μ2|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2λ(μ－1)·eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2(1－μ)μeq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－2λμeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))).
因为0≤λ≤1，0≤μ≤1，所以eq \f(a2,2)≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|2≤a2，所以eq \f(\r(2),2)a≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|≤a，故选BC.
14.(5分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
eq \f(\r(6),2) 解析：以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，可得E(1，1，eq \r(2))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(\r(2),2))).
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，－\f(\r(2),2)))，所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)，
所以|EF|＝eq \f(\r(6),2).
15.(5分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
eq \f(3\r(5),10) 解析：取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A1(0，0，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0，1，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，D1(0，1，1)．
所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2)))，eq \(A1D1,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1D1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)z＝0，,y＝0.))
令z＝2，则x＝1.
所以n＝(1，0，2)是平面A1D1E的一个法向量．
又eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－1))，
所以点F到平面A1D1E的距离
d＝eq \f(|\(A1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2)),\r(5))＝eq \f(3\r(5),10).
16.(15分)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)).
(1)设DH⊥平面PEF，垂足为H，则eq \(DH,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(DF,\s\up6(→))＋zeq \(DP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y，\f(1,2)x＋y，z))，其中x＋y＋z＝1.
因为eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，－1))，
所以eq \(DH,\s\up6(→))·eq \(PE,\s\up6(→))＝x＋eq \f(1,2)y＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y))－z
＝eq \f(5,4)x＋y－z＝0.
同理，x＋eq \f(5,4)y－z＝0.
又x＋y＋z＝1，由此解得x＝y＝eq \f(4,17)，z＝eq \f(9,17).
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,17)，\f(6,17)，\f(9,17)))＝eq \f(3,17)(2，2，3)．
所以|eq \(DH,\s\up6(→))|＝eq \f(3\r(17),17).
即点D到平面PEF的距离为eq \f(3\r(17),17).
(2)设AH′⊥平面PEF，垂足为H′，则eq \(AH′,\s\up6(→))∥eq \(DH,\s\up6(→)).
设eq \(AH′,\s\up6(→))＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则
eq \(EH′,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AH′,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))＋(2λ，2λ，3λ)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2λ，2λ－\f(1,2)，3λ)).
所以eq \(AH′,\s\up6(→))·eq \(EH′,\s\up6(→))＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝eq \f(1,17).
所以eq \(AH′,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,17)，\f(2,17)，\f(3,17)))＝eq \f(1,17)(2，2，3)，
所以|eq \(AH′,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),17).
而直线AC∥平面PEF，
所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
1.4.2 用空间向量研究夹角问题（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)(多选)下列说法不正确的是( )
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是[0°，180°]
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
ABD 解析：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是[0°，180°]，而异面直线夹角为(0°，90°]，B不正确；二面角的范围是[0°，180°]，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确．
2．(5分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.eq \f(3\r(70),70)
C．－eq \f(3\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70)
A 解析：建立如图所示空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以eq \(BD1,\s\up6(→))＝(－2，－2，3)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)．
所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝0.
3.(5分)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
eq \f(4,5) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．设AB＝1，则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，eq \(A1B,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，
cs〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(→))·\(AD1,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(→))||\(AD1,\s\up6(→))|)＝eq \f(－4,\r(5)×\r(5))＝－eq \f(4,5)，
所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq \f(4,5).
4.(5分)已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
eq \f(\r(15),15) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，eq \(A′C,\s\up6(→))＝(a，a，－a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)，0))，
所以cs〈eq \(A′C,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A′C,\s\up6(→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A′C,\s\up6(→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(15),15).
所以直线A′C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
5．(5分)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．60°或30°
C 解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，所以直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
6．(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5)
C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，2，1)．
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2，0)，eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2，0，1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为n⊥eq \(BD,\s\up6(→))，n⊥eq \(BB1,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x－2y＝0，,2z＝0，)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－y，,z＝0.))
令y＝1，则n＝(－1，1，0)是平面D1BD的一个法向量．
所以cs〈n，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(BE,\s\up6(→)),|n||\(BE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(10),5).
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sin θ＝|cs〈n，eq \(BE,\s\up6(→))〉|＝eq \f(\r(10),5).
7.(5分)在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
30° 解析：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，
则eq \(CA,\s\up6(→))＝(2a，0，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝(a，a，0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
因为n⊥eq \(CA,\s\up6(→))，n⊥eq \(AP,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax＝0，,－ax－\f(a,2)y＋\f(a,2)z＝0，))所以x＝0，y＝z，
令y＝1，则n＝(0，1，1)是平面PAC的一个法向量，
所以cs〈eq \(CB,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(CB,\s\up6(→))·n,|\(CB,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以〈eq \(CB,\s\up6(→))，n〉＝60°，
所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.
8．(5分)(多选)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq \f(π,3)，则二面角ABDC的大小可能为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
BC 解析：二面角的范围是[0，π]，且与法向量的夹角相等或互补．
9．(5分)在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角AOxB，使∠AOB＝90°，则cs θ为( )
A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(4,9) D．－eq \f(4,9)
C 解析：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝eq \r(13)，折叠后，∠AOB＝90°，
所以AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(26).
由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(A′B′,\s\up6(→))＋eq \(B′B,\s\up6(→))，得
|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝|eq \(AA′,\s\up6(→))|2＋|eq \(A′B′,\s\up6(→))|2＋|eq \(B′B,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AA′,\s\up6(→))|·|eq \(B′B,\s\up6(→))|·cs(π－θ)．
所以26＝9＋16＋9＋2×3×3×cs(π－θ)，
所以cs θ＝eq \f(4,9).
10.(5分)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为____________．
±eq \f(\r(15),6) 解析：设a＝(0，－1，3)，b＝(2，2，4)，
则cs〈a，b〉＝eq \f(10,\r(10)×\r(24))＝eq \f(\r(15),6).
又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±eq \f(\r(15),6).
提升篇
11．(5分)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
A 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
设AA1＝2AB＝2，
则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，
故eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\(DC1,\s\up6(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋2z＝0.))
令z＝1，则y＝－2，x＝2，
即n＝(2，－2，1)是平面BDC1的一个法向量．
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈n，eq \(DC,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·\(DC,\s\up6(→)),|n||\(DC,\s\up6(→))|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,3×1)))＝eq \f(2,3).
12．(5分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，eq \r(2)，0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(2)，－1)．
即n＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，
所以cs〈eq \(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(PC,\s\up6(→))·n,|\(PC,\s\up6(→))||n|)＝－eq \f(1,2)，
所以〈eq \(PC,\s\up6(→))·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
13．(5分)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
D 解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝eq \r(3)，所以O(0，0，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，
易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))为平面BDF的一个法向量．
由eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，
可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，eq \r(3)，eq \r(3))．
所以cs〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(21),7)，sin 〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(7),7)，
所以tan〈n，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(2\r(3),3).
故二面角CBFD的正切值为eq \f(2\r(3),3).
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．
eq \f(\r(3),3) 解析：cs〈v1，v2〉＝eq \f(v1·v2,|v1||v2|)＝eq \f(3＋3,\r(6)×\r(18))＝eq \f(\r(3),3).
所以两直线所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
15.(5分)已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________．
eq \f(\r(2),3) 解析：如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝2，则O(0，0，0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(2\r(6),3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),3)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)，\f(\r(6),3)))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(2\r(6),3)))为平面BCD的一个法向量，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(3),3)，\f(\r(6),3)))，
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(4,3),\f(2\r(6),3)×\r(3))＝eq \f(\r(2),3).
所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为eq \f(\r(2),3).
16.(5分)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cs θ的最大值为________．
eq \f(2,5) 解析：如图所示，建立空间直角坐标系．
设正方形的边长为2，
则A(0，0，0)，F(2，1，0)，E(1，0，0)．
设M(0，m，2)(0≤m≤2)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq \(ME,\s\up6(→))＝(1，－m，－2)，
cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AF,\s\up6(→))·\(ME,\s\up6(→)),|\(AF,\s\up6(→))||\(ME,\s\up6(→))|)))＝eq \f(2－m,\r(5)×\r(5＋m2)).
令t＝2－m(0≤t≤2)，
cs θ＝eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\f(5,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,t)－\f(2,3)))\s\up12(2)))
≤eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\f(5,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(2,3)))\s\up12(2)))＝eq \f(2,5).
17.(5分)将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角ABDC的正弦值为________．
eq \f(2\r(5),5) 解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0)).
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
由于eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BD,\s\up6(→))＝0，)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \r(3)，z＝1，所以n＝(1，－eq \r(3)，1)是平面ABD的一个法向量，
所以cs〈n，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(5),5)，所以二面角A-BD-C的正弦值为eq \f(2 \r(5),5).
18.(15分)如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，则eq \(DA,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(CC′,\s\up6(→))＝(0，0，1)，连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设eq \(DH,\s\up6(→))＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉＝60°，
又由eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DH,\s\up6(→))＝|eq \(DA,\s\up6(→))||eq \(DH,\s\up6(→))|cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉，
可得2m＝eq \r(2m2＋1)，
解得m＝eq \f(\r(2),2).
所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
(1)因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)．
因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，即DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
相关试卷
人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用巩固练习： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000323_t7/?tag_id=28" target="_blank">1.4 空间向量的应用巩固练习</a>，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学1.4 空间向量的应用巩固练习： 这是一份数学1.4 空间向量的应用巩固练习，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第06讲142用空间向量研究距离夹角问题原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第06讲142用空间向量研究距离夹角问题含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共138页， 欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用课时作业： 这是一份高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用课时作业，共17页。试卷主要包含了已知空间向量，，，，，，则，已知动点在正方体的对角线上，若，，与的夹角为，则的值为等内容，欢迎下载使用。
